北京市昌平区2023-2024学年高二下学期期末质量抽测数学试卷

昌平区2023—2024学年第二学期高二年级期末质量抽测数学试卷2024.7本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化简集合B，再利用交集的定义求解即得.【详解】集合，而，所以.故选：B2.若，，则为（）A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.【详解】:，,故选：A3.下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的奇偶性和单调性，得出结论．【详解】由于的定义域，不关于原点对称，不存在奇偶性，故排除A；由于y＝sinx是奇函数，在上不具有单调性，故排除B；由于y＝3是常函数，不具有单调性，排除C；由于是奇函数，且在区间上单调递增，符合题意．故选：D．4.已知数列的前项和，则（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】D【解析】【分析】根据计算可得.【详解】因为，则，，所以.故选：D5.函数的最大值为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式即可求解.【详解】由于，所以，当且仅当，即时等号成立，故最大值为，故选：B6.设，为非零实数，则“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】由可以得到，故充分性成立，当，时满足，但是推不出，故必要性不成立，所以“”是“”的充分而不必要条件.

故选：A7.若点关于轴的对称点为，则的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，利用和差角公式变形可得，从而求出的取值.【详解】因为点关于轴的对称点为，所以，即，即，所以，所以，，所以，，故符合题意的只有C.故选：C8.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由可得，即的图象在图象的上方，画出图象，即可得出答案.【详解】因为的定义域为，因为，，由可得，即的图象在图象的上方，画出的图象，如下图，由图可知：不等式的解集是.故选：D.9.把液体放在冷空气中冷却，如果液体原来的温度是，空气的温度是，则min后液体的温度可由公式求得．把温度是的液体放在的空气中冷却，液体的温度冷却到和所用时间分别为min，min，则的值约为（）（参考数据）A.2.7 B.3.7 C.4.7 D.5.7【答案】B【解析】【分析】根据题目给的温度公式，代入计算即可.【详解】由已知，，所以，，所以.故选：.10.已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（）A.10 B.11 C.1023 D.1024【答案】B【解析】【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值．【详解】依题意，对于中元素和，当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足，设集合中的元素记为，则的所有元素的位置至多有个，若位置为，其它位置为的元素有个，若全为的有个，综上中元素最多有个．故选：B．【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在平面直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴正半轴为始边，其终边经过点，则___________.【答案】##【解析】【分析】利用三角函数的定义计算可得.【详解】因为角的终边经过点，所以.故答案为：12.已知函数，则__________.【答案】##【解析】【分析】根据函数解析式直接代入计算可得.【详解】因为，所以.故答案为：13.我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中对于同余问题给出了较完整的解法，即“大衍求一术”，也称“中国剩余定理”．现有问题：将正整数中，被2除余1且被3除余2的数，按由小到大的顺序排成一列，则此列数中第10项为___________.【答案】59【解析】【分析】被2除余1且被3除余2的数构成公差为6的等差数列，由此即可得．【详解】依题意，设a满足被2除余1且被3除余2，则a加上2和3的最小公倍数6的整数倍后也能满足被2除余1且被3除余2．设被2除余1且被3除余2的数由小到大排列而成的数列为，由于被2除余1且被3除余2的最小正整数为5，则是首项为5，公差为6的等差数列，所以故答案为：59．14.已知函数，若在上是增函数，则的一个取值为____________；若在上不具有单调性，则的取值范围是___________.【答案】①.（满足的任意的值均可）②.【解析】【分析】首先分析各段函数的单调性，要使在上是增函数，则，求出的取值范围，则在上不具有单调性，即为刚刚求出的的范围的补集.【详解】因为在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，又，要使在上是增函数，则，解得；若在上不具有单调性，则或，即的取值范围是.故答案为：（满足的任意的值均可）；15.已知等差数列的前项和为，且.数列的前项和为.给出下列四个结论：①；②；③使成立的的最大值为4048；④当时，取得最小值.其中所有正确结论的序号是_____________.【答案】①②④【解析】【分析】由与的关系即可判断①；由等差数列的性质即可判断②③；由数列的正负规律即可判断④.【详解】，，所以，故①正确；因为数列为等差数列，所以，公差，所以，因为，所以，由，所以，即，故②正确；因为，，所以成立的最大值为，故③不正确；因为，，所以当时，，当时，，当时，，所以当时，取得最小值，故④正确.故答案：①②④.【点睛】方法点睛：解决数列前项和的最值问题的一般方法有以下两类：（1）先求出数列的前项和，再通过的符号研究数列的单调性求最值，或转化为求函数的最值求解；（2）不求数列的前项和，通过对数列通项的符号变化规律找到所有的正负转折项，如：利用条件来找最大时可能的项数，利用条件来找最小时可能的项数，需要注意的是，由于首项的特殊性（无前一项），最值也可能在处就取到.三、解答题（本大题共6小题，共85分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若在区间上的最大值为，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）依题意在区间上的最大值为，由的取值范围，求出的范围，结合正弦函数的性质得到，解得即可.【小问1详解】因为，所以的最小正周期；【小问2详解】由（1）可知，.因为在区间上的最大值为，所以在区间上的最大值为.因，，所以.所以，即所以实数的取值范围是.17.已知等比数列为递增数列，其前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公差为3的等差数列，求数列的通项公式及前项和.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）设等比数列的首项为，公比为，依题意得到关于、的方程组，解得、，即可求出通项公式；（2）依题意可得，利用分组求和法计算可得.【小问1详解】设等比数列的首项为，公比为，根据题意可得，解得或，因为等比数列为递增数列，所以，所以数列的通项公式为.【小问2详解】因为数列是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，所以.18.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调递增区间为和，递减区间为；（2）【解析】【分析】（1）求导，直接利用导数求单调区间即可；（2）由（1）的结论可得在上的单调性，求出函数在上的最大值，即可求解的取值范围．【小问1详解】因为，所以，令，即，解得或，且当时，，当时，，所以的单调递增区间为和，递减区间为；【小问2详解】由（1）知的单调递增区间为和，递减区间为；且，，所以在上的最大值为，因为关于x的不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立，即，所以，所以的取值范围为．19.设函数（，），其最小正周期为．（1）若，求的值；（2）已知在区间上单调递减，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求，的值．条件①：为函数图象的一个对称中心；条件②：函数图象的一条对称轴为；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）（2）选条件①：函数不存在；选条件②或③：，．【解析】【分析】（1）化简可得，再根据正弦函数的周期性，即可得解；（2）若选条件①：根据正弦函数的单调性、对称性和周期性，推出矛盾结果，可知不存在；若选条件②：由函数的单调性与周期性可求得，再利用，求解即可；若选条件③：由，求得，再结合及正弦函数的单调性与周期性，求出的值即可．【小问1详解】解：解：，若，则，解得：．【小问2详解】解：由（1）知，函数的最小值为，若选条件①：因为在区间上单调递减，所以，即，又，且为函数图象的一个对称中心，所以，即，与相矛盾，故函数不存在．若选条件②：因为在区间上单调递减，，且函数图象的一条对称轴为，所以，即，又，所以，所以，由，知，即，所以，，即，，又，所以，综上，，．若选条件③：因为，且，所以，即，或，又，所以，所以，由，知，即，所以，，即，，因为在区间上单调递减，所以，即，又，所以，取，则，综上所述：，．20.设函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极小值，求实数的取值范围；（3）若对任意的，恒成立，直接写出实数的范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）对函数求导后，分和讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值点；（3）由（2）可知当时，满足题意.【小问1详解】若，则，所以所以曲线在点处的切线方程为.小问2详解】，..①若，，当时，,单调递减，当时，,单调递增，所以在处取得极小值.②若，令,得或.若，即.当变化时，与的变化如下表：递增极大值递减极小值递增所以在，是增函数，在上是减函数.所以在处取得极小值.若,即,当时，，所以，单调递增．所以不是的极小值点．综上所述，实数的取值范围是【小问3详解】由（2）可知，当时，在上递减，在上递增，所以，所以对任意的，恒成立，所以满足题意，当时，在，是增函数，在上是减函数，当时，，所以，所以对任意的，恒成立，不可能为真，当时，在上递增，则，综上，，即实数的范围为【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数极值点问题，考查利用导数解决不等式恒成问题，第（2）问解题的关键是分类讨论，考查分类讨论思想和计算能力，属于较难题.21.已知无穷数列，给出以下定义：对于任意的，都有，则称数列为“数列”；特别地，对于任意的，都有，则称数列为“严格数列”.（1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“数列”，并说明理由；（2）证明：数列为“数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”；（3）已知数列为“严格数列”，且对任意的，，，.求数列的最小项的最大值.【答案】（1）是为“数列”，不是为“数列”；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据等差等比的求和公式可得，，即可利用定义以及作差法求解，（2）利用累加法，结合放缩法可得，，即可求证必要性，取即可求证充分性，（3）根据定义可得为单调递增数列，且，进而得，即可根据单调性得最小值为，结合放缩法和等差求和公式可得，即可求解.【小问1详解】由于为等差数列，所以，为等比数列，，任意的，都有An+故，所以数列是为“数列”，任意的，都有，故，所以数列不是为“数列”，【小问2详解】先证明必要性：因为为“数列”，所以对任意的，都有，即，所以对任意的，，，当时，有，所以，又，所以，又，故，即，故，再证明充分性：对于任意