沪教版七年级数学上册的知识点总结

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯

第九章整式

第一节整式的概念

9.1字母表示数

1、字母可以表示任意的数或符合某种条件的某个数，还可以表示具有某种规律

的数，甚至可以表示特定意义的公式。

2、在省略乘号时，要把数字写在字母前面，X用•来代替。如：2Xa写成2a

3、除法运算要用分数线来表示。如：C+2r要写成C

2r

9.2代数式

1、用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

2、单独的一个数或者一个字母也是代数式。如：a、0

3、等号和不等号都不属于运算符号，所以它们都不是代数式

9.3代数式的值

1、概念：用数值代替代数式里的字母，按代数式中的运算关系计算得出的结果

2、注意：（1）如果代数式中省略乘号，代入后要添上“X”

（2）如果字母的取值是分数，做乘方运算时要加上括号。如（!尸

2

（3）如果字母的取值是负数，代入后也要加上括号

（4）如果代数式表示的是一个具体的实际问题，那么不能使代数式失

去实际意义。如某班有a人，则a必须是正整数

3、求代数式的值的步骤：（1）代入数值；（2）计算出结果

9.4整式

一、单项式

1、单项式的概念：由数与字母的积或者字母与字母的积所组成的代数式。如立

4

2、单项式的类型：①数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子，如2a、ab

②单独的一个数；如T

③单独的一个字母.如m

注意：（1）单项式中不能含有加减运算⑵但若分母中含有字母，如』

m

3、单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数.

4、如何确定单项式的系数：先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定。

注意：（1）圆周率n是常数.单项式中出现n时，应看作系数；

（2）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；

（3）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如：1，必写成之必.

4-4'

5、单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.

注意：（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1,计算时不能将其遗漏；

（2）不能将数字的指数一同计算.

二、多项式

1、多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式.“几个”是指两个或两个以上.

2、多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.

注意：（1）多项式的每一项包括它前面的符号.

（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如：6/—2x-7是一个三项式.

3、多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.（不是

所有项的次数之和）

注意:一个多项式中的最高次项有时不止一个,在确定最高次项时,都应写出.

4、多项式没有系数，但对多项式的每一项来说都要系数，都要带上前面的符号

5、多项式的排列：按某个字母的指数从大到小的顺序排列，叫降哥排列

按某个字母的指数从小到大的顺序排列，叫升易排列

三、整式

1、单项式与多项式统称为整式.

2、单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示.

即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立.

3、分母中含有字母的式子一定不是整式.

第二节整式的加减

9.5合并同类项

1、同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式，几个常数

项也叫同类项。

2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项（不是同类项的不能合并，无

同类项的项不能遗漏）

3、合并同类项的法则：把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母和

字母的指数不变。

4、合并同类项的过程中可以运用加法的交换律、结合律和分配律。

5、求代数式的时候，先合并再代入，更简便。

9.6整式的加减

1、去括号法则：

括号前面是“+”号，去掉“+”号和括号，括号里的各项不变号；

括号前面是“-”号，去掉“-”号和括号，括号里的各项都变号。

2、添括号法则：

添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；

添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号。

3、一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。

注意：（1）整式加减的一般步骤是：①先去括号；②再合并同类项.

（2）两个整式相加减时，减数一定先要用括号括起来.

（3）整式加减的最后结果中：

①不能含有同类项，即要合并到不能再合并为止;

②一般按照某一字母的降募或升募排列；

③不能出现带分数，带分数要化成假分数。

第三节整式的乘法

9.7同底数嘉的乘法

1、a〃叫做募，读作：“a的n次方”或“a的n次哥”，其中a是底数,n是指数

2、同底数嘉的乘法性质

（其中都是正整数）.屋1•屋=心+”即同底数易相乘，底数不变，指数相加。

注意：（1）同底数易是指底数相同的募，底数可以是任意的实数，也可以是

单项式、多项式.

（2）三个或三个以上同底数累相乘时，也具有这一性质，

即a叫屋"="'+"+，（见n,p都是正整数）.

（3）逆用公式：把一个哥分解成两个或多个同底数易的积，其中它们

的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的哥的指数。即a"=/1

（m,〃都是正整数）。

3、把底数不同的幕转化成相同底数的哥时，常把4,8,16...转化成以2为底数

的哥的形式；把3,9,27...转化成以3为底数的鼎的形式；把25、125、...转

化成以5为底数的哥的形式等等

9.8塞的乘方

1、寨的乘方法则：（废了二。™7（其中根，〃都是正整数）.即易的乘方，底数不变，

指数相乘.

mp

注意：（1）公式的推广：^ayy=cr（awo,根,”,°均为正整数）

（2）逆用公式：amn=（am）n=（an）m,根据题目的需要常常逆用募

的乘方运算能将某些易变形，从而解决问题.

2、当遇到既有乘方又有乘法的混合运算时，一定要先乘方，在乘法。

3、如果底数中有负号，那么一定要先确定结果的符号。

9.9积的乘方

1、积的乘方法则

（abY=an-bn（其中〃是正整数）.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别

乘方，再把所得的累相乘.

注意：（1）公式的推广：（abc）"=a"（〃为正整数）.

（2）逆用公式：优力〃=（帅）"逆用公式适当的变形可简化运算过程，

尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：QJ°X210=QX2

2、积的乘方的底数是数字或字母的积的形式

（a+勿"牛an+b”,切莫把（砌"和（a+b）n混为一谈

9.10整式的乘法

1、单项式的乘法法则

单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单

项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.

注意：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数易的乘法

法则的综合应用.

（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各

单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符

号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数募的乘法，按

照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含

有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.

（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这

三部分组成.

（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.

2、单项式与多项式相乘的运算法则

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相

力口.§Pm(a+b+c)—ma+mb+me.

注意：(1)单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其

转化为多个单项式乘单项式的问题.

(2)单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的

项数相同.

(3)计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前

面的符号，同时还要注意单项式的符号.

(4)对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，

从而得到最简的结果.

3、多项式与多项式相乘的运算法则

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，

再把所得的积相加.即(0+6)(7〃+")=々^+。〃+力帆+力7.

注意：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应

该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类

项的要合并.特殊的二项式相乘：(x+a)(x+Z?)=三+[a+b^x+ab.

第四节乘法公式

9.11平方差公式

1、平方差公式：(a+b\a—b)=er—b2

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.

注意：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.

常见的变式有以下类型：

(1)位置变化：如(a+加(-b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型

(2)系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)(3)指数变化：如(/+/)(加-川)

(4)符号变化：如(-a-b)(a-b)(5)增项变化：$0(m+n+p)(jn-n+p)

(6)增因式变化：如(a-勿(。+与(。2+/?2)(/+)4)

2、平方差公式的特点是：左边的两个多项式中，各有一项相同，一项相反;

右边的结果是用相同的那一项的平方减去相反那一项的平方。运用这个特点，可

以非常方便地进行计算，避免一些符号变形带来的麻烦。

9.12完全平方公式

1、完全平方公式：(。+。)2="+2"+〃

{a—by=a2-2ab+b2

两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍.

注意：公式特点：左边是两数的和(或差)的平方，右边是二次三项式，

是这两数的平方和加(或减)这两数之积的2倍.以下是常见的变形：

a2+b2=(a+bp_2ab=(a—人)’+lab

+=(a-人『+4ab

2、补充公式：

(x+p){x+q)=x2+(p+q)x+pq；(a±Z?)(a2ab+b2)=a3±b3；

(a±Z>)3=a+3a2b+3ab'1+b3；(a+Z?+c)2=a2+Z?2+c2+2ab+2ac+2bc

3、利用乘法公式进行综合计算，如计算(x+y-z)(x+y+z)

4、注意(-a-bp=(a+6)2之间的转化

第5节因式分解

9.13提取公因数法

1、确定公因式的方法：提取的公因式应是各项系数的最大公因数(系数都是整

数时)与各项都含有的相同字母的最低次募的积。

2、注意：如果多项式的第一项的系数是负数，通常在提取公因式时连同负号一

起提出来，以保证括号内的第一项的系数是正的。

3、多项式中各项的公因式是一个多项式时，可以把这个多项式看成一个整体，

直接提取公因式。在提取一个多项式作为公因式时，要注意符号。一般的规律是：

Cy-x)2n+1=-(x-y)2n+1,(y-x)2n=(x-y)2n

4、经过一次提取公因式后，括号内若有同类项，则一定要合并，然后观察是否

还需要提取公因式。

9.14公式法

1、因式分解的平方差公式：a2-b2=(a+b\a-b)

2、注意：(1)分解因式时，有公因式一定要先提取

(2)分解因式要分解到每一个因式都不能再分解为止

3、能够利用平方差公式进行因式分解的多项式一定要满足下列条件：

(1)这个多项式时二项式(或可以看成是二项式)

(2)这个二项式能够写成两数(或两个式子)平方差的形式

人因式分解的完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b-=(a-b\

5、能够利用完全平方式的结构特征：(1)是一个三项式；(2)其中两项可写成

两数平方和的形式，另外一项是这两数积的两倍。

注意：在分解因式时，可以按照两数积的两倍的前面的符号来选择运用哪一个完

全平方公式。

6、运用整体的数学思想，可以把多项式(a+b)2-2(a+b)(a-b)+(a-b)2看作是

一个三项式，然后用完全平方公式去分解因式。

7、有些不是完全平方式的三项式，看能否先提取公因式，然后看提取公因式后

三项式是否完全平方式，若是，则要继续分解。

9.15十字相乘法

1、十字相乘法

利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.

C

对于二次三项式/+bx+c,若存在<,则JC2+Z?x+c=(x+p)(x+q)

p+q=b、八

2、运用整体的数学思想，可以把有些多项式转化成二次三项式，用十字相乘法。

3、如解：(1)因为

Jx-8x=-x

所以:原式=(x+7)(x—8)

9.16分组分解法

1、分组分解法分解因式常用的思路有:

方法分类分组方法特点

①按字母分组②按系数分组

二项、二项

四项③符合公式的两项分组

分组三项、一项先完全平方公式后平方差公式

分解五项三项、二项各组之间有公因式

法三项、三项

各组之间有公因式

六项二项、二项、二项

三项、二项、一项可化为二次三项式

2、如：把3or+4勿+4ay+3Z?x分解因式

解法一：3ax+4勿+4ay+3bx=(3ax+4«_y)+(3bx+4勿)

=a(3x+4y)+b(3x+4y)=(3x+4y)(a+Z?).

解法二：3ax+4by+4ay+3bx-(3ax+3bx)+(4ay+4by)

=3x(a+b)+4y(a+b)=(a+Z?)(3x+4y).

第六节整式的除法

9.17同底数幕的除法

1、同底数幕的除法法则

同底数易相除，底数不变，指数相减，即屋=诡i(。/0,仅、〃都是

正整数，并且加＞〃)

注意：(1)同底数易乘法与同底数累的除法是互逆运算.

(2)被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0

不能作除式.

(3)当三个或三个以上同底数易相除时，也具有这一性质.

(4)底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.

2、零指数幕

任何不等于0的数的0次累都等于1.即卅=1(aWo)

注意：底数。不能为0,0°无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的

积.因此常数项也叫。次单项式.

9.18单项式除以单项式

1、单项式除以单项式法则：

单项式相除，把系数与同底数募分别相除作为商的因式，对于只有被除式里

含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.

注意：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数易相除；③只在被除

式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.

（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数累

的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.

9.19多项式除以单项式

1、多项式除以单项式法则

多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相

力口.即^am+bm+cm^-^m—am-^m+bm-i-m+cm^-m=a+b+c

注意：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，

其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.

（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注

意符号的变化.

第十章分式

第一节分式

10.1分式的意义

1、分式的概念：分母中含有字母的数字叫分式。

2、如何区别分式和整式：看分母有没有含字母。（工是整式，因为n是常数）

TT

3、分式有意义条件：分母不等于0

分式无意义条件：分母等于0

分式值为0条件：分子为0,且分母不为0

分式值为1条件：分子分母相等

分式值为负数条件：分子小于0,分母大于0或分子大于0,分母小于0

10.2分式的基本性质

1、概念:分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变。

2、分式约分：把一个分式的分子与分母中相同的因式约去的过程

3、最简分式：分式的分子和分母没有相同的因式（1除外）

n-nnn

4、变括号法则：-=—

m—mmmm-m

5、化简结果必须要最简。

第二节分式的运算

10.3分式的乘除

ACAC

1、乘法法则:__v___—_____

BD~BD

ACAD

2、除法法则:

万,万一记

10.4分式的加减

1、同分母分式加减法则：分母不变，分子相加减，最后化简。

2、异分母分式加减法则：先通分，再按同分母法则相加减，最后化简。

3、通分：先确定公分母，公分母为分母各系数的最小公倍数，与字母因式最高

次易的积作为公分母。

4、运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面。

10.5可以化成一元一次方程的分式方程

1、概念：分母中含有未知数的方程叫分式方程

2、解分式方程的步骤：一、去分母（方程左右两边同时乘以公分母）；

二、解一元一次方程；

三、带入公分母检验X是否是原方程的根

（若公分母为。即为增根）

3、解分式应用题的常用关系式：时间=路程+速度

浓度=溶质+溶液或=溶质+（溶质+溶剂）

增长率=增长的数+原来的基数

工作时间=工作量！工作效率

顺水速度=静水速度+水流速度

逆水速度=静水速度一水流速度

10.6整数指数塞及其运算

1、零指数嘉：任何不等于零的数的零次幕都等于1,即a°=l（awO）.

要点诠释：同底数累的除法法则可以推广到整数指数易.即废二优=废~"

（OHO,m、〃为整数）当〃时，得到a°=l（a/0）.

2、负整数指数幕：「=[（aWO,〃是正整数）.推广：（当”=（即

aba

aman=am+n（m、〃为整数，"0）；

（ab）m=ambm（加为整数，awO,bwO）

（am）"=a""1（m、n为整数，aw0）.

3、科学记数法的一般形式

（1）把一个绝对值大于10的数表示成axlO"的形式lW|a|<10

（2）利用10的负整数次募表示一些绝对值较小的数，即axKT"的形式

其中：N的绝对值=小数点移动的位置

第十一章图形的运动

第一节图形的平移

第二节11.1平移的概念

1、概念：将图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的位置移动，叫平移.

如图：平移三角形ABC就可以得到三角形A，B，C，，

A'

点A和点A，,点B和,点C和点5是对应点，线段A人\

B和AB，,BC和B，C,AC和A'C是对应线段，ZAA/\

与NA，,NCVNC'是对应角./\B'C

2、平移的性质：B°

（1）图形平移后，对应点之间的距离、对应线段的长度、对应角的大小相等。

（2）图形平移后，图形的大小、形状都不变。

3、图形平移的距离：平移后各对应点之间的距离

4、平移的两个要素：平移的方向和平移的距离.

第二节图形的旋转

1L2旋转

1、概念：在平面内，将一个图形上的所有点绕一个定点按照某个方向转动一

个角度，这样的运动叫做图形的旋转.这个定点叫做旋转中心（如点0）,转动

的角度叫做旋转角（如NAOA，）.

如图：三角形A，B，L是三角形ABC绕点0旋转所得，则点A和点A',

点B和B',点C和点C'是对应点，线段AB和AB「BC和夕C',AC和A，

C是对应线段，，NBOB「NCOC’是旋转角.

AB

2、旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.

3、旋转的性质

(1)对应点到旋转中心的距离相等(0A=OAZ)；

(2)对应线段的长度相等(AB=AB，)；

(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角(NAOA，)

4、旋转的作图：在画旋转图形时，首先确定旋转中心，作图的步骤：

(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

(2)把连线按要求(顺时针或逆时针)绕旋转中心旋转一定的角度

(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点;

(4)连接所得到的各对应点.

11.3旋转对称图形与中心对称图形

1、旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，

这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转

角.(旋转角0°<a〈360°).

2、中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转180°后，与初始图形重

合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

3、旋转对称图形与中心对称图形的比较：

名称定义区别联系

旋转对如果一个图形绕着某一点旋旋转角度不一旋转对称图形只有旋转

称图形转一定角度(小于周角)后能定是180。180°才是中心对称图

与原图形完全重合，那么这形，而中心对称图形一

个图形叫做旋转对称图形定是旋转对称图形

中心对如果一个图形绕某一点旋转必须旋转180°

称图形180。后能与自身重合,那么

这个图形叫做中心对称图形

4、旋转对称图形不一定是中心对称图形

中心对称图形一定是旋转对称图形

5、常见的中心对称图形：线段、平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆

11.4中心对称

1、概念：把一个图形绕着某一个点旋转180°后，和另一个图形重合，那么叫

做这两个图形关于这个点对称也叫做这两个图形中心

对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点

叫做关于中心的对称点.

2、性质：（1）中心对称是旋转角为180。的旋转对称；

（2）寻找对称中心，只需分别联结两对对应点，所得

两条直线的交点就是对称中心;

（3）对称点所连线段经过对称中心，而且被对称中心平分.

3、中心对称与中心对称图形的区别与联系:

中心对称中心对称图形

①指一个图形本身成中心

①指两个全等图形之间的

区对称.

相互位置关系.

别②对称中心是图形自身或

②对称中心不定.

内部的点.

如果将中心对称的两个图

如果把中心对称图形对称

联形看成一个整体（一个图

的部分看成是两个图形，那

系形），那么这个图形就是中

么它们又是关于中心对称.

心对称图形.

第三节图形的翻折

11.5翻折与轴对称图形

1、轴对称图形的定义：一个图形沿着某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能

互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.

2、一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条

3、常见的轴对称图形有：线段、角、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩

形、正方形、等腰梯形、圆。

11.6轴对称

1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重

合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴.两个图

形中的对应点，叫做关于这条直线的对称点.

要点诠释：

1.轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够

完全重合.

2.成轴对称的两个图形对应线段的长度和对应角的大小相等，他们的形状

相同，大小不变.

2.轴对称与轴对称图形的区别与联系：

（1）轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；

（2）轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个

整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部

分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.

3、对称轴的作法：在成轴对称的两个图形中，分别联结两对对应点，取中点，

联结两个中点所得的直线就是对称轴.

4、轴对称图形与中心对称图形的区别：

名称定义基本图形区别举例

中心对如果一个图形绕着某绕某一点线段、平行四边

称图形点旋转180。后能与自旋转形、矩形、菱形、

身重合，那么这个图X180°圆

形叫做中心对称图形

轴对称如果一个图形沿某一180沿某一条线段、等腰三角

图形条直线翻折180。后，直线翻折形、矩形、菱形、

直线两旁的部分能够180。（对正方形、圆

互相重合，那么这样折）