高考总复习理数（人教版）第01章集合与常用逻辑用语第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考点高考试题考查内容核心素养简单的逻辑联结词未单独考查全称量词与存在量词2015·全国卷Ⅰ·T3·5分特称命题的否定逻辑推理2014·全国卷Ⅰ·T9·5分以线性规划为载体考查含有命题的否定逻辑推理命题分析全称命题与特称命题的真假判断及含有一个量词的命题的否定是高考考查的重点；对逻辑联结词的考查，常以函数、三角函数、不等式为载体进行命题，题型以选择题为主，分值为5分.1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判断pqp∧qp∨q¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．全称量词与存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等∃3．全称命题和特称命题名称形式全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)否定∃x0∈M，¬p(x0)∀x∈M，¬p(x)提醒：(1)注意区分命题的否定与否命题的不同“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；“命题的否定”即“非p”，只是否定命题p的结论．(2)由于全称量词经常省略，因此，在写这类命题的否定时，应先确定其中的全称量词，再否定量词和结论．(3)“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5>6或5>2”是真命题(2)命题p和¬p不可能都是真命题．()(3)若p∧q为真，则p为真或q为真．()(4)p∧q为假的充要条件是p，q至少有一个为假．()(5)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(6)∃x0∈M，p(x0)与∀x∈M，¬p(x)的真假性相反．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)√(5)√(6)√2．(教材习题改编)已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选Bp和q显然都是真命题，所以¬p，¬q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．3．命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为A．对任意x∈R，都有x2<0B．不存在x∈R，使得x2<0C．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)≥0D．存在x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)<0解析：选D全称命题的否定为特称命题，所以答案为D.4．(2015·全国卷Ⅰ)设命题p：∃n∈N，n2>2n，则¬p为()A．∀n∈N，n2>2nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n解析：选C¬p：∀n∈N，n2≤2n.5．命题p：∀x∈R，sinx<1；命题q：∃x0∈R，cosx0≤－1，则下列结论是真命题的是()A．p∧q B．(¬p)∧qC．p∨(¬q) D．(¬p)∧(¬q)解析：选Bp是假命题，q是真命题，所以(¬p)∧q为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假[明技法]判断含有逻辑联结词命题真假的步骤[提能力]【典例】(1)若命题“p∨q”为真命题，“¬p为真命题”，则()A．p真，q真 B．p假，q真C．p真，q假 D．p假，q假(2)已知命题p：∃x0∈R，xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,x\o\al(2,0))≤2，命题q是命题p的否定，则命题p，q，p∧q，p∨q中是真命题的是________.解析：(1)由¬p为真，知“p”为假，又“p∨q”为真，所以q为真．(2)当x0＝1时，xeq\o\al(2,0)＋eq\f(1,x\o\al(2,0))＝2，所以p是真命题，则q是假命题，p∧q是假命题，p∨q是真命题．答案：(1)B(2)p，p∨q[刷好题]1．(金榜原创)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(¬q)；④(¬p)∨q中，真命题是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：选C当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而¬p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而¬q为真命题．故①p∧q为假命题；②p∨q为真命题；③p∧(¬q)为真命题；④(¬p)∨q为假命题．2．已知命题：p1：函数y＝2x－2－x在R上为增函数；p2：函数y＝2x＋2－x在R上为减函数．则在命题q1：“p1∨p2”，q2：“p1∧p2”，q3：“(¬p1)∨p2”和q4：“p1∧(¬p2)”中A．q1，q3 B．q2，q3C．q1，q4 D．q2，q4解析：选C由f′(x)＝(2x－2－x)′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))ln2＞0知，命题p1是真命题，¬p1是假命题；g′(x)＝(2x＋2－x)′＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x))))ln2，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，故命题p2是假命题，¬p2是真命题，从而命题q1，q4是真命题，故选C.全称命题与特称命题[析考情]全称命题、特称命题的真假及其否定以其独特的形式成为高考命题的亮点，常和其他数学知识相结合，以选择题、填空题的形式出现．[提能力]【典例】(1)(2018·滁州检测)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2(2)下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lnx0<1D．∃x0∈R，tanx0＝2解析：(1)选D由于特称命题的否定形式是全称命题，全称命题的否定形式是特称命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2(2)选B因为2x－1>0，对∀x∈R恒成立，所以A是真命题；当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B是假命题；存在0<x0<e，使得lnx0<1，所以C是真命题；因为正切函数y＝tanx的值域是R，所以D是真命题．[悟技法](1)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词．②对原命题的结论进行否定．(2)全称命题真假的判断方法①要判断一个全称命题是真命题，必须对限定的集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立．②要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个特殊值x＝x0，使p(x0)不成立即可．(3)特称命题真假的判断方法要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则这一特称命题就是假命题．[刷好题]1．命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是()A．全等三角形的面积不一定都相等B．不全等三角形的面积不一定都相等C．存在两个不全等三角形的面积相等D．存在两个全等三角形的面积不相等解析：选D命题是省略量词的全称命题．故选D.2．(2018·西安质检)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则()A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0解析：选B∵3x>0，∴3x＋1>1，则log2(3x＋1)>0，∴p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0.故选B.3．(2018·沈阳模拟)下列命题中为假命题的是()A．∀x∈R，ex>0B．∀x∈N，x2>0C．∃x0∈R，lnx0<1D．∃x0∈N*，sineq\f(πx0,2)＝1解析：选B对于选项A，由函数y＝ex的图象可知，∀x∈R，ex>0，故选项A为真命题；对于选项B，当x＝0时，x2＝0，故选项B为假命题；对于选项C，当x0＝eq\f(1,e)时，lneq\f(1,e)＝－1<1，故选项C为真命题；对于选项D，当x0＝1时，sineq\f(π,2)＝1，故选项D为真命题．综上知选B.根据命题的真假求参数取值范围[析考情]以逻辑联结词为工具，与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中经常出现，题型多为选择题或填空题，难度较小．[提能力]【典例】已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．解：由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝1－4a2<0，))解得a＞eq\f(1,2).因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≤0或a≥1，,a>\f(1,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0<a<1，,a≤\f(1,2)，))解得a≥1或0<a≤eq\f(1,2)，故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[1，＋∞)．[母题变式1]在本例条件下，若命题q∨(p∧q)真、¬p真，求实数a的取值范围．解：由命题q∨(p∧q)真、¬p真知p假，q真，p假，a≤0或a≥1；q真，a＞eq\f(1,2).∴实数a的取值范围为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，＋∞)).[母题变式2]若本例条件变为：已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋4x0＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，求实数a的取值范围．解：若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题．由∀x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋4x0＋a＝0，知Δ＝16－4a≥0，a≤4，因此e≤a≤则实数a的取值范围为[e,4]．[悟技法]根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围．(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．[刷好题](2018·南阳模拟)已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：eq\f(1,3－x)＞1，若“(¬q)∧p”为真，则x的取值范围是