湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省长沙市六校2025届高三九月大联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设集合A=1,3，B=xx2−3x+m=0，若A∩B=A.1,−2 B.1,2 C.1,0 D.1,52.若复数z满足z1+i=−1−i，则z=(

)A.2+2i B.−2−2i C.−2i D.2i3.等差数列an(n∈N∗)中，a2=10A.40 B.30 C.20 D.104.已知sinα+β=−35,A.−310 B.15 C.−5.如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为123，则正八面体外接球的体积为(

)

A.42π B.43π6.已知函数fx=cosx+ex，且a=fA.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a7.当x∈0,2π时，曲线y=cosx与y=2cosA.3 B.4 C.5 D.68.已知fx的定义域为R,fx+y+fx−y=3fxfA.

−13 B.−23 C.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某校高三年级选考地理科的学生有100名，现将他们该科的一次考试分数转换为等级分，已知等级分X的分数转换区间为30,100，若等级分X∼N80,25，则(

)参考数据：Pμ−σ<X≤μ+σ=0.6827；Pμ−2σ<X≤μ+2σA.这次考试等级分的标准差为5

B.这次考试等级分超过80分的约有45人

C.这次考试等级分在70,80内的人数约为48人

D.P10.中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结．中国结的意义在于它所显示的情致与智慧正是汉族古老文明中的一个侧面，也是数学奥秘的游戏呈现．它有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条．其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线．曲线C:(x2+yA.曲线C的图象关于y=x对称

B.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3

C.曲线C经过7个整点(横、纵坐标均为整数的点)

D.若直线y=kx与曲线C只有一个交点，则实数k的取值范围为(−∞,−1]∪[1,+∞)11.已知函数fx=x2A.函数fx的极小值点为x=1

B.fe>f3e

C.若函数gx=fx三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a,b满足a=2,b=3,0，则向量a在向量b方向上的投影向量的坐标为1213.已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，离心率为2，过点F1的直线l交E的左支于A,B两点．OB14.十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人，每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有

种．(用数字作答)四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3(1)求角C；(2)若▵ABC外接圆的半径为2，求▵ABC面积的最大值．16.(本小题12分)如图，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC//AD，EF//AD，AD=4，AB=2，BC=EF=2，AF=11，FB⊥平面ABCD，M为AD上一点，且FM⊥AD，连接BD、(1)证明：BC⊥平面BFM；(2)求平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值．17.(本小题12分)如图在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1:x22+y2=1，椭圆C(1)当直线l倾斜角为135∘时，求直线(2)求证：▵AOB的面积为定值．18.(本小题12分)已知函数fx(1)求函数的单调区间；(2)求fx(3)gx=fx−m在区间−1,119.(本小题12分)对于∀n∈N∗，若数列xn满足x(1)已知数列1，2m，m2+1是“K数列”，求实数(2)是否存在首项为−2的等差数列an为“K数列”，且其前n项和Sn使得Sn<1(3)已知各项均为正整数的等比数列an是“K数列”，数列12an不是“K数列”，若bn=a参考答案1.B

2.C

3.B

4.A

5.B

6.D

7.D

8.B

9.ACD

10.BD

11.AC

12.10

13.1+14.114

15.解：(1)由已知及正弦定理可得3整理得a2∴cos∵C∈0,π(2)∵▵ABC外接圆的半径为2，∴csinC又a2当且仅当a=b=∴S即▵ABC面积的最大值为2+

16.解：(1)因为FB⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以FB⊥AD.又FM⊥AD，且FB∩FM=F，所以AD⊥平面BFM.因为BC//AD，所以BC⊥平面BFM．(2)作EN⊥AD，垂足为N.则FM//EN.又EF//AD，所以四边形FMNE是平行四边形，又EN⊥AD，所以四边形FMNE

是

矩形，又四边形ADEF为等腰梯形，且AD=4，EF=2，所以AM=1．由(1)知AD⊥平面BFM，所以BM⊥AD.又AB=所以BM=1.在Rt△AFM中，FM=在Rt▵FMB中，∴FB=由上可知，能以BM，BC，BF所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

则A(−1,−1,0)，B(0,0,0)，F(0,0,3)，D(−1,3,0)，E(0,2,3)，所以，AB=(1,1,0)，BF=(0,0,3)，BD=(−1,3,0)，BE=(0,2,3)，设平面由m⋅AB=0m⋅设平面BDE的法向量为n=由n⋅BD=0n⋅因此，cos<m，依题意可知，平面ABF与平面DBE的夹角的余弦值为3

17.解：(1)因为直线l倾斜角为135∘，直线l为y=−x+b，因为椭圆直线l与椭圆C1只有一个公共点，联立方程y=−x+bx2∴Δ=4b2−12b2−2(2)因为直线l与椭圆C1只有一个公共点，设直线l为y=kx+b由y=kx+b2k又因为直线与椭圆C2交于A,B两点y=kx+bx所以x1+x2=−4kb2k所以S=1

18.解：(1)由题可得：f′x令f′x=0，解得：x=0或令f’(x)<令f′(x)>0，解得：x<0或x>ln所以f(x)的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(−∞,0)(2)因为f(x)的单调减区间为：(0,ln2)；单调增区间为：(−∞,0)，由于f(0)=−1<0，则f(x)在(−∞,0)上无零点；由于f(ln2)=2(ln2−1)−ln由于f(2)=e2−4>0，则f(x)综上，函数f(x)在R上存在唯一零点．(3)若gx=fx−m在区间−1,12上有两个零点，则函数由(1)知，f(x)在−1,0上单调递增，(0,1f(−1)=−2e−1，f(0)=−1<0所以函数y=f(x)与y=m在区间−1,12上有两个交点，则即gx=fx−m在区间−1,

19.解：(1)由题意得2m−1>1，且m2+1−2m>1，解得m>2，所以实数m(2)不存在．理由：假设存在等差数列an符合要求，设公差为d，则d>1由a1=−2得由题意，得−2n+n(n−1)2d<12当n=1时，d∈R；当n>1时，d<n+2因为n+2n−1=n−1+3n−1=1+所以这样的等差数列an(3)设数列an的公比为q，则a因为an的每一项均为正整数，且a所以在an−a同理，12an由an为“K