江苏省常州市教科院附属高级中学2025届高三上学期期初调研数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页江苏省常州市教科院附属高级中学2025届高三上学期期初调研数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合P={x|y=x+1}，Q={y|y=xA.P∪Q=R B.Q⊆P C.P∩Q=⌀ D.P⊆Q2.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(−4,3)，则sin3π2+2αA.−2425 B.−725 C.3.已知向量a,b满足a=4,b=10，且a在b上的投影向量为−15bA.π6 B.π3 C.2π34.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是1%的前提下，我们可以把1+1%365看作是经过365天的“进步值”，1−1%365看作是经过365天的“退步值”，则大约经过(

)天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍(参考数据：lg101≈2.0043A.100 B.230 C.130 D.3655.已知sin(α−β)=13，cosαsinA.79 B.19 C.−16.已知函数fx=13x2−ax在区间A.−∞,2 B.−∞,0 C.2,+∞ D.0,+∞7.已知函数fx+1是R上的偶函数，且fx+2+f2−x=0，当x∈0,1时，fx=loA.7 B.8 C.9 D.108.已知函数fx满足f1=12，2fA.12 B.14 C.−1二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X服从正态分布X∼N2,4，则以下选项正确的是(

)A.若Y=X+2，则EY=4 B.若Y=2X+4，则DY=8

C.10.下列式子结果为​3的是(

)①tan②2sin③1+④1−tanA.① B.② C.③ D.④11.已知函数f(x)及其导函数f′(x)，若存在x0使得fx0=f′x0，则称xA.f(x)=x2 B.f(x)=e−x C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.曲线y=ex在x=0处的切线恰好是曲线y=lnx+a的切线，则实数a=13.已知函数f(x)=6sinx+sin3x的图象y=f(x)与直线y=m在[0,2π]上有4个交点，则实数m的取值范围为14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)其中A>0，ω>0，−π2<φ<π2的部分图象如下图所示，若f(x)在区间(−m,m)上有且仅有两个零点，则实数四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知α,β都是锐角，且sinα=35(1)求sinα−β(2)求cosβ的值．16.(本小题12分)

第三次人工智能浪潮滚滚而来，以CℎatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的新纪元.CℎatGPT所用到的数学知碑，开辟了人机自然交流的新纪元.CℎatGPT所用到的数学知识并非都是遥不可及的高深理论，条件概率就被广泛应用于CℎatGPT中.某数学素养提升小组设计了如下问题进行探究：

现有完全相同的甲，乙两个箱子(如图)，其中甲箱装有2个黑球和4个白球，乙箱装有2个黑球和3个白球，这些球除颜色外完全相同.某人先从两个箱子中任取一个箱子，再从中随机摸出一球．

(1)求摸出的球是黑球的概率；

(2)若已知摸出的球是黑球，请用概率公式判断该球取自哪个箱子的可能性更大．

17.(本小题12分)已知三棱锥P−ABC,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,AC=2,PA=AB=1，E为PB的中点，Q为BA延长线上一点．(1)证明：AE⊥CP；(2)当二面角A−PQ−C余弦值大小为64时，求BQ18.(本小题12分)已知函数f(x)=x2+aln(1)讨论f(x)的单调性;(2)若g(x)有两个零点，求a的取值范围;(3)若f(x)+1≥g(x)+alnx对任意x≥1恒成立，求a19.(本小题12分)设n为大于3的正整数，数列an是公差不为零的等差数列，从中选取m项组成一个新数列，记为bm，如果对于任意的ii=1,2,⋯,m−2，均有bi−bi+1(1)若数列an为1,2,3,4,m=4，写出an所有的(2)如果数列an公差为1,m=2k+1，证明：b(3)记“从数列an中选取m项组成一个新数列bm为数列an的n−数列”的概率为Pm，证明：参考答案1.B

2.B

3.C

4.B

5.B

6.B

7.C

8.D

9.AC

10.ABC

11.AC

12.2

13.5,314.5π615.解：(1)因为α,β∈0,π2又因为tanα−β=−1利用同角三角函数的基本关系可得sin2α−β解得sinα−β(2)由(1)可得，cosα−β因为α为锐角，sinα=35所以cos=4

16.解：(1)记事件A表示“球取自甲箱”，事件A表示“球取自乙箱”，事件B表示“取得黑球”，

则P(A)=P(A−)=12,P(B|A)=26=13,P(B|A−)=25，

由全概率公式得摸出的球是黑球的概率为：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A−)P(B|A−)17.解(1)因为

PA⊥

平面

ABC,BC⊂

平面

ABC

，所以

PA⊥BC

，又

AB⊥BC

，所以

BC⊥

平面

PAB

，所以

BC⊥AE

，又

E

为

PB

的中点，所以

AE⊥PB

，所以

AE⊥

平面

PBC

，因为

PC⊂

平面

PBC

，所以

AE⊥CP

；(2)建系如图，设

BQ=t,B0.0,0,Q取平面

APQ

的法向量

m=1,0,0设平面

CPQ

的法向量

n=x,y,z因为

QC=3,−t,0,PC=3,−1,−1

，由由

cos⟨m,n⟩=m解得

t=3

，或

t=32

，故

BQ=3

或

18.解：(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，

f′(x)=2x+ax−(a+2)=2x2−(a+2)x+ax=(x−1)(2x−a)x，

当a≤0时，x∈(0,1)时f′(x)<0;x∈(1,+∞)时f′(x)>0;

当a=2时，x∈(0,+∞)时f′(x)≥0;

当0<a<2时，x∈(a2,1)时f′(x)<0;x∈(0,a2)∪(1,+∞)时f′(x)>0;

当a>2时，x∈(1,a2)时f′(x)<0;x∈(0,1)∪(a2,+∞)时f′(x)>0;

综上，a≤0时，f(x)的递减区间是(0,1)，递增区间是(1,+∞);

a=2时，f(x)的递增区间是(0,+∞)，无递减区间;

0<a<2时，f(x)的递增区间是(0,a2)和(1,+∞)，递减区间是(a2,1) ;

a>2时，f(x)的递增区间是(0,1)和(a2,+∞)，递减区间是(1,a2)；

(2)令g(x)=0得xlnx−x=a−1，

设ℎ(x)=xlnx−x，则ℎ′(x)=lnx，

当x∈(0,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)递减;当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)递增，

ℎxmin=ℎ1=−1，

因为x→0时，ℎ(x)→0，x→+∞时，ℎ(x)→+∞，

要使直线y=a−1与函数ℎ(x)的图象有两个交点，则−1<a−1<0，即0<a<1，故a的取值范围是(0,1)，

故a的取值范围是0,1；

(3)由f(x)+1≥g(x)+alnx得x2−x−xlnx≥a(x−1)，

当x=1时上式显然恒成立，

当x>1时可转化为x2−x−x19.解：(1)2，3，1，4；3，2，4，1(2)对于

m

项的数列

an

一个

n

—数列

bm因为对于

ii=1,2,⋯,m−2

，均有

bi−bi+1bi−bi+2<0

，所以，

所以，

bm−1,bm

为考虑

bm

中去掉

bm

后的数列

b同理若数列

bm−1

为数列

an

的一个

n

一数列，则有

bm−2,b