2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级(上)入学数学试卷(含答案)_第1页
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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级(上)入学数学试卷一、选择题:本题共10小题,每小题3分,共30分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中,y是x的正比例函数的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2 C.y=x 2.如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(

)

A.AB//DC,AD//BC B.AB//DC,AD=BC

C.AO=CO,BO=DO D.AB=DC,AD=BC3.在“我的阅读生活”校园演讲比赛中,有11名学生参加比赛,他们决赛的最终成绩各不相同,其中一名学生想知道自己能否进入前6名,除了要了解自己的成绩外,还要了解这11名学生成绩的(

)A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数4.对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质,下列说法正确的是A.对称轴是直线x=1,最大值是2 B.对称轴是直线x=1,最小值是2

C.对称轴是直线x=−1,最大值是2 D.对称轴是直线x=−1,最小值是25.已知直线y=(m−3)x−3m+1不经过第一象限,则m的取值范围是(

)A.m≥13 B.m≤13 C.6.如图,在菱形ABCD中,P、Q分别是AD、AC的中点,如果PQ=2,那么菱形ABCD的周长是(

)A.16 B.8 C.4 D.27.将抛物线y=−3x2+1向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,所得到的抛物线为A.y=−3(x−2)2+4 B.y=−3(x−2)2−28.设方程x2+x−2=0的两个根为α,β,那么(α−2)(β−2)的值等于(

)A.−4 B.0 C.4 D.29.已知二次函数y=x2−3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0),则关于x的一元二次方程x2A.x1=1,x2=−1 B.x1=1,x2=3

C.10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,对称轴是直线x=1,下列结论:

①ab<0;②b2>4ac;③a+b+c<0;A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④二、填空题:本题共6小题,每小题3分,共18分。11.已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是−112.已知A(x1,y1),B(x2,y2)在二次函数y=x2−6x+4的图象上,若x13.经过两次连续降价,某药品销售单价由原来的50元降到32元,设该药品平均每次降价的百分率为x,根据题意可列方程是______.14.若函数y=x2+1(x≤2)2x(x>2),则当函数值y=8时,自变量15.如图,直线l的解析式为y=x,点A的坐标为(−2,0),AB⊥l于点B,则△ABO的面积为______.16.如图,点P是等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB,则∠APB的度数______.

三、解答题:本题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算:(−1)202418.(本小题8分)

求解下列一元二次方程:

(1)x2−3x+1=0;

(2)19.(本小题6分)

学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼,启动了“学生阳光体育运动”,张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组.在近几次百米训练中,教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析,请根据图表中的信息解答以下问题:平均数中位数方差张明13.30.004李亮13.30.02(1)张明第2次的成绩为______秒;

(2)张明成绩的平均数为______;李亮成绩的中位数为______;

(3)现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛,若你是他们的教练,应该选择谁?请说明理由.20.(本小题7分)

如图,直线l1:y1=−34x+m与y轴交于点A(0,6),直线l2:y2=kx+1分别与x轴交于点B(−2,0),与y轴交于点C.两条直线相交于点D,连接AB.

(1)求两直线交点D的坐标;

(2)求△ABD的面积;

21.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0.(m为实数)

(1)求证:无论m取何值,该方程总有两个实数根;

(2)该方程的两个实数根为x1、x222.(本小题8分)

如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,点D,E分别为AB,AC边上的中点,连接DE并延长至点F,使EF=DE,连接AF,CF,CD.

(1)求证:四边形ADCF是菱形;

(2)若BC=4,AC=2,求四边形ADCF的周长.23.(本小题9分)

某商店经销一种双肩包,已知这种双肩包的成本价为每个30元.市场调查发现,这种双肩包每天的销售量y(单位:个)与销售单价x(单位:元)有如下关系:y=−x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元.

(1)求w与x之间的函数解析式;

(2)这种双肩包销售单价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元?

(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元,该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润,销售单价应定为多少元?24.(本小题10分)

在平面直角坐标系xOy中,若点P的横坐标和纵坐标相等,则称点P为完美点.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0).

(1)当a=1,c=2时,请求出该函数的完美点;

(2)已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32),请求出该函数;

(3)在(2)25.(本小题10分)

如图,抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3.

(1)求该抛物线的函数解析式.

(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=3:2时,求点D的坐标.

(3)如图2,点E的坐标为(0,−32),点P是抛物线上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.D

6.A

7.D

8.C

9.C

10.C

11.±12.>

13.50(1−x)14.4或−15.1

16.150°

17.解:原式=1+2−2+1−2

18.解:(1)x2−3x+1=0,

∵Δ=(−3)2−4×1×1=9−4=5>0,

∴x=3±52,

∴x1=3+52,x219.解:(1)张明第2次的成绩为13.4秒;

(2)13.4;13.3秒,13.3秒;

(3)选择张明,平均数和中位数相同,但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差,所以张明成绩比李亮成绩稳定,因此选择张明.

20.解:(1)将A(0,6)代入y1=−34x+m得,m=6;将B(−2,0)代入y2=kx+1得,k=12

组成方程组得y=−34x+6y=12x+1,解得x=4y=3,

故D点坐标为(4,3)21.(1)证明:∵Δ=(−4m)2−4×1×3m2=4m2≥0,

∴无论m取何值,该方程总有两个实数根;

(2)解:∵x2−4mx+3m2=0,即(x−m)(x−3m)=0,

解得:x=m或x=3m,

∵m>0,x122.(1)证明:∵点E是边AC的中点,

∴AE=EC.

又∵EF=DE,

∴四边形ADCF是平行四边形.

又∵点D、E分别是边AB、AC的中点,

∴DE是△ABC的中位线,

∴DE//BC.

又∵∠ACB=90°,

∴∠AED=90°.

∴AC⊥DF.

∴四边形ADCF是菱形.

(2)解:∵四边形ADCF是菱形,

∴CD=CF=AF=AD,

在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=22+42=2523.解:(1)w=(x−30)⋅y=(−x+60)(x−30)=−x2+30x+60x−1800=−x2+90x−1800,

w与x之间的函数解析式w=−x2+90x−1800;

(2)根据题意得:w=−x2+90x−1800=−(x−45)2+225,

∵−1<0,

当x=45时,w有最大值,最大值是225.

∴当销售单价定为45元时,每天的销售利润最大,最大利润是225元.

(3)当w=200时,−x224.解:(1)当a=1,c=2时,y=x2+4x+2,

令y=x,则x2+3x+2=0,

解得:x1=−1,x2=−2,

∴该函数的完美点为P1(−1,−1),P2(−2,−2);

(2)令ax2+4x+c=x,即ax2+3x+c=0,由题意可得,图象上有且只有一个完美点,∴Δ=9−4ac=0,则4ac=9.

又方程根为x=−b2a=−32a=32,

∴a=−1,c=−94,

该二次函数的解析式为y=−x2+4x−94;

(3)∵y=−x2+4x−94−34=−x25.解:(1)OB=OC=3,则:B(3,0),C(0,3),

把B、C坐标代入抛物线方程,

解得抛物线方程为:y=−x2+2x+3…①;

(2)∵S△COF:S△CDF=3:2,

∴S△COF=35S△COD,即:xD=53xF,

设:F点横坐标为3t,则D点横坐标为5t,

点F在直线BC上,

而BC所在的直线表达式为:y=−x+3,则F(3t,3−3t),

则:直线OF所在的直线表达式为:y=3−3t3tx=1−ttx,

则点D(5t,5−5t),

把D点坐标代入①,解得:t=15或25,

则点D的坐标为(1,4)或(2,3);

(3)①当∠PEB=2∠OBE时,

当BP在x轴上方时,

如图2,设BP1交y轴于点E′,

∴∠P1BE=2∠OBE,∴∠E′BO=∠EBO,又∠E′OB=∠EBO=60°,BO=BO,

∴E′BO△≌△EBO(AAS),

∴EO=EO=32,∴点E′(0,32),

直线BP1过点B、E′,则其直线方程为:y=−12x+32…②,

联立①②并解得:x=−12,

故点P1的坐标为(−12,74);

当BP在x轴下方时,

如图2,过点E作EF/​/BE′交BP2于点F,则∠FEB=∠EBE′,

∴∠E′BE=2∠OBE,∠EBP2=2∠OBE,∴∠FEB

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