2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，y是x的正比例函数的是(

)A.y=2x+1 B.y=3x2 C.y=x 2.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是(

)

A.AB//DC，AD//BC B.AB//DC，AD=BC

C.AO=CO，BO=DO D.AB=DC，AD=BC3.在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的(

)A.众数 B.方差 C.平均数 D.中位数4.对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是A.对称轴是直线x=1，最大值是2 B.对称轴是直线x=1，最小值是2

C.对称轴是直线x=−1，最大值是2 D.对称轴是直线x=−1，最小值是25.已知直线y=(m−3)x−3m+1不经过第一象限，则m的取值范围是(

)A.m≥13 B.m≤13 C.6.如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=2，那么菱形ABCD的周长是(

)A.16 B.8 C.4 D.27.将抛物线y=−3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为A.y=−3(x−2)2+4 B.y=−3(x−2)2−28.设方程x2+x−2=0的两个根为α，β，那么(α−2)(β−2)的值等于(

)A.−4 B.0 C.4 D.29.已知二次函数y=x2−3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2A.x1=1，x2=−1 B.x1=1，x2=3

C.10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：

①ab<0；②b2>4ac；③a+b+c<0；A.①④

B.②④

C.①②③

D.①②③④二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是−112.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)在二次函数y=x2−6x+4的图象上，若x13.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．14.若函数y=x2+1(x≤2)2x(x>2)，则当函数值y=8时，自变量15.如图，直线l的解析式为y=x，点A的坐标为(−2,0)，AB⊥l于点B，则△ABO的面积为______．16.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数______．

三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题6分)

计算：(−1)202418.(本小题8分)

求解下列一元二次方程：

(1)x2−3x+1=0；

(2)19.(本小题6分)

学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：平均数中位数方差张明13.30.004李亮13.30.02(1)张明第2次的成绩为______秒；

(2)张明成绩的平均数为______；李亮成绩的中位数为______；

(3)现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．20.(本小题7分)

如图，直线l1：y1=−34x+m与y轴交于点A(0,6)，直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B(−2,0)，与y轴交于点C.两条直线相交于点D，连接AB．

(1)求两直线交点D的坐标；

(2)求△ABD的面积；

21.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0.(m为实数)

(1)求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；

(2)该方程的两个实数根为x1、x222.(本小题8分)

如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=DE，连接AF，CF，CD．

(1)求证：四边形ADCF是菱形；

(2)若BC=4，AC=2，求四边形ADCF的周长．23.(本小题9分)

某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系：y=−x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元．

(1)求w与x之间的函数解析式；

(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？

(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？24.(本小题10分)

在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)．

(1)当a=1，c=2时，请求出该函数的完美点；

(2)已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32)，请求出该函数；

(3)在(2)25.(本小题10分)

如图，抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，OB=OC=3．

(1)求该抛物线的函数解析式．

(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD.OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，求点D的坐标．

(3)如图2，点E的坐标为(0,−32)，点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于参考答案1.C

2.B

3.D

4.A

5.D

6.A

7.D

8.C

9.C

10.C

11.±12.>

13.50(1−x)14.4或−15.1

16.150°

17.解：原式=1+2−2+1−2

18.解：(1)x2−3x+1=0，

∵Δ=(−3)2−4×1×1=9−4=5>0，

∴x=3±52，

∴x1=3+52，x219.解：(1)张明第2次的成绩为13.4秒；

(2)13.4；13.3秒，13.3秒；

(3)选择张明，平均数和中位数相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．

20.解：(1)将A(0,6)代入y1=−34x+m得，m=6；将B(−2,0)代入y2=kx+1得，k=12

组成方程组得y=−34x+6y=12x+1，解得x=4y=3，

故D点坐标为(4,3)21.(1)证明：∵Δ=(−4m)2−4×1×3m2=4m2≥0，

∴无论m取何值，该方程总有两个实数根；

(2)解：∵x2−4mx+3m2=0，即(x−m)(x−3m)=0，

解得：x=m或x=3m，

∵m>0，x122.(1)证明：∵点E是边AC的中点，

∴AE=EC．

又∵EF=DE，

∴四边形ADCF是平行四边形．

又∵点D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE//BC．

又∵∠ACB=90°，

∴∠AED=90°．

∴AC⊥DF．

∴四边形ADCF是菱形．

(2)解：∵四边形ADCF是菱形，

∴CD=CF=AF=AD，

在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=22+42=2523.解：(1)w=(x−30)⋅y=(−x+60)(x−30)=−x2+30x+60x−1800=−x2+90x−1800，

w与x之间的函数解析式w=−x2+90x−1800；

(2)根据题意得：w=−x2+90x−1800=−(x−45)2+225，

∵−1<0，

当x=45时，w有最大值，最大值是225．

∴当销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．

(3)当w=200时，−x224.解：(1)当a=1，c=2时，y=x2+4x+2，

令y=x，则x2+3x+2=0，

解得：x1=−1，x2=−2，

∴该函数的完美点为P1(−1,−1)，P2(−2,−2)；

(2)令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴Δ=9−4ac=0，则4ac=9．

又方程根为x=−b2a=−32a=32，

∴a=−1，c=−94，

该二次函数的解析式为y=−x2+4x−94；

(3)∵y=−x2+4x−94−34=−x25.解：(1)OB=OC=3，则：B(3,0)，C(0,3)，

把B、C坐标代入抛物线方程，

解得抛物线方程为：y=−x2+2x+3…①；

(2)∵S△COF：S△CDF=3：2，

∴S△COF=35S△COD，即：xD=53xF，

设：F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，

点F在直线BC上，

而BC所在的直线表达式为：y=−x+3，则F(3t,3−3t)，

则：直线OF所在的直线表达式为：y=3−3t3tx=1−ttx，

则点D(5t,5−5t)，

把D点坐标代入①，解得：t=15或25，

则点D的坐标为(1,4)或(2,3)；

(3)①当∠PEB=2∠OBE时，

当BP在x轴上方时，

如图2，设BP1交y轴于点E′，

∴∠P1BE=2∠OBE，∴∠E′BO=∠EBO，又∠E′OB=∠EBO=60°，BO=BO，

∴E′BO△≌△EBO(AAS)，

∴EO=EO=32，∴点E′(0,32)，

直线BP1过点B、E′，则其直线方程为：y=−12x+32…②，

联立①②并解得：x=−12，

故点P1的坐标为(−12,74)；

当BP在x轴下方时，

如图2，过点E作EF/​/BE′交BP2于点F，则∠FEB=∠EBE′，

∴∠E′BE=2∠OBE，∠EBP2=2∠OBE，∴∠FEB