2024-2025学年湖南省岳阳一中高三（上）第二次检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省岳阳一中高三（上）第二次检测数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x∈Z|−3<x<3},B={x|y=x+1}，则A∩B=A.{−1,0,1,2} B.(−1,3) C.{0,1,2} D.(−1,+∞)2.复数2+i1−2i的共轭复数是(

)A.−35i B.35i 3.若−sinα+3cosα=2，则tanA.−3 B.3 C.4.已知等比数列an满足a1=1,a3A.2 B.4 C.92 D.5.已知函数f(x)=ex⋅x2−bA.(0,4e2) B.(0,2e6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2acos2C2=b(1−cosA)+a，则A.等腰三角形 B.等边三角形

C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形7.函数f(x)=2sinπx−3x−x2A.6 B.7.5 C.9 D.128.设a=15,b=2ln(sin110+cos110A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知x>0，y>0，且x+2y=2，则(

)A.xy的最小值是1 B.x2+y2的最小值是45

C.2x+10.设函数f(x)=x3−xA.当a=−1时，f(x)有三个零点

B.当a≥13时，f(x)无极值点

C.∃a∈R，使f(x)在R上是减函数

D.∀a∈R，11.形如f(x)=ax+bx(a>0,b>0)的函数是我们在中学阶段最常见的一个函数模型，因其形状像极了老师给我们批阅作业所用的“√”，所以也称为“对勾函数”.研究证明，对勾函数可以看作是焦点在坐标轴上的双曲线绕原点旋转得到，即对勾函数是双曲线.已知O为坐标原点，下列关于函数f(x)=x+1A.渐近线方程为x=0和y=x

B.y=f(x)的对称轴方程为y=(2+1)x和y=(1−2)x

C.M，N是函数f(x)图象上两动点，P为MN的中点，则直线MN，OP的斜率之积为定值

D.Q是函数f(x)图象上任意一点，过点Q作切线，交渐近线于三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(1,2)，b=(2−λ,λ)，若a与b的夹角为锐角，则λ的取值范围是______．13.数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，a14.设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1=3，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+⋅⋅⋅+an=am，则关于此数列公差d的论述中，正确的序号有______．

①公差d可以为1；

②公差d四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosAa+cosBb=23sinC3a．

(1)求角16.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB=3，BC=2.△PAD为等边三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为AD的中点．(Ⅰ)求证：PE⊥AB；(Ⅱ)求平面PAC与平面ABCD夹角的余弦值．17.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为F1、F2.过右焦点F2的直线l交椭圆于点M、N，且△F1MN的周长为16．

(1)18.(本小题12分)

设f(x)=ex．

(1)求证：直线y=x+1与曲线y=f(x)相切；

(2)设点P在曲线y=f(x)上，点Q在直线y=x−1上，求|PQ|的最小值；

(3)若正实数a，b满足：对于任意x∈R，都有f(x)≥ax+b，求ab19.(本小题12分)

数列{an}的前n项a1，a2，…，an(n∈N∗)组成集合An={a1,a2,…,an}，从集合An中任取k(k=1,2,3,…,n)个数，其所有可能的k个数的乘积的和为Tk(若只取一个数，规定乘积为此数本身)，例如：对于数列{2n−1}，当n=1时，A1={1}，T1=1；n=2时，A2={1,3}，T1=1+3，T2=1⋅3；

(1)若集合An={1,3,5,…,2n−1}，求当n=3时，T1，T2，T3的值；

(2)若集合An={1,3,7,…,参考答案1.A

2.C

3.C

4.B

5.A

6.D

7.C

8.B

9.BC

10.BD

11.ABD

12.(−2,413.1,n=1214.①②③

15.(本题满分为12

分)

解：(1)锐角△ABC中，cosAa+cosBb=23sinC3a，

∴bcosA+acosB=233bsinC，

由正弦定理得sinBcosA+cosBsinA=233sinBsinC，

∴sin(A+B)=233sinBsinC，

又sin(A+B)=sinC≠0，

∴sinB=32，

又0<B<π2，

∴B=π3…6分

(2)由正弦定理asinA=16.解：(I)因为△PAD为正三角形，E为AD中点，

所以PE⊥AD．

因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE⊂平面PAD，

所以PE⊥平面ABCD．

因为AB⊂平面ABCD，

所以PE⊥AB．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，PE⊥平面ABCD．

取BC中点F，连结EF．

因为底面ABCD为矩形，E为AD中点，

所以EF⊥AD．

所以EA，EF，EP两两垂直．

分别以EA，EF，EP为x轴，y轴，z轴，建立

空间直角坐标系E−xyz．

则E(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0,3)，C(−1,3,0)

所以PA=(1,0,−3)，AC=(−2,3,0)．

设平面PAC的法向量n=(x,y,z)，

由n⋅PA=0,n⋅AC=0,得x−3z=0,−2x+3y=0.

令z=3，得x=3，y=2．

所以n=(3,2,3).

17.解：(1)由△F1MN的周长为16，及椭圆的定义，可知：4a=16，即a=4，

又离心率为c=ca=12，所以c=2，

b2=a2−c2=16−4=12．

所以椭圆C的方程为：x216+y212=1．

(2)依题意，直线l与x轴不重合，

设l的方程为：x=my+2．

联立x216+y212=1x=my+2得：(3m2+4)y2+12my−36=0，

因为F2在椭圆内，所以18.解：(1)证明：设直线y=x+1与f(x)=ex相切于点(x0,ex0)，

易知f′(x)=ex，则斜率k=f′(x0)=ex0=1，解得x0=0，即切点为(0,1)；

此时切线方程为y−1=x，即y=x+1，

所以可得直线y=x+1是曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程；

(2)根据题意，将直线y=x−1往靠近曲线y=f(x)的方向平移，

当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近，

设切线方程为y=x+c，

由(1)可知，当切线斜率为1时，切点坐标为(0,1)，此时切线方程为y=x+1，

此时P(0,1)，从P点向直线y=x−1作垂线，垂足为Q，此时|PQ|取最小值，

即|PQ|=21+1=2，

所以|PQ|的最小值为2；

(3)若对于任意x∈R，都有f(x)≥ax+b，即可得ex−ax−b≥0恒成立，

令g(x)=ex−ax−b，则g′(x)=ex−a，

当a≤0时，g′(x)=ex−a>0恒成立，即g(x)在x∈R上单调递增，

显然当x趋近于−∞时，不等式并不恒成立，不合题意；

当a>0时，令g′(x)=ex−a=0，解得x=lna，

所以当x∈(−∞,lna)时，g′(x)<0，此时g(x)在(−∞,lna)上单调递减，

当x∈(lna,+∞)时，g′(x)>0，此时g(x)在(lna,+∞)上单调递增，

所以g(x)在x=lna处取得最小值，

即满足g(x)min=g(lna)=elna−alna−b=a−alna−b≥0即可，

即b≤a−alna，

由a>0可得ab≤a19.(1)解：当n=3时，A3={1,3,5}，

T1=1+3+5=9，T2=1×3+1×5+3×5=23，T3=1×3×5=15．

(2)证明：当n=k+1时，集合Ak+1有k+1个元素，比n=k时的集合Ak多了一个元素：ak+1=2k+1−1.∴对应的Tm′包含两个部分：

(i)若Tm′中不含ak+1，则Tm′中的任何一项恰好为n=k