2023-2024学年广东省珠海一中平沙校区高一（上）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省珠海一中平沙校区高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={x|0<x<5}，N={x|−x2−x+6⩾0}，则M∩N=A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<3} C.{x|−2<x<5} D.{x|0<x⩽2}2.已知角α的终边过点P(12,−5)，则角α的正弦值为(

)A.−513 B.1213 C.−3.下列四组函数是同一个函数的是(

)A.y=x与y=x2

B.y=(3x)3与y=x2x4.函数f(x)=2x+3x−15的零点所在区间为A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)5.已知tanα=2，则2sinαcosαcosA.22 B.−22 C.6.已知a，b，c∈R，则“2a<2b”是“aA.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件7.已知函数f(x)=2x−1,x⩽2,1f(x−1),x>2,则A.2lg5−1 B.1+2lg5 C.12 D.8.已知x，y是正实数，且2x+y=1，则1x+1yA.16+42 B.11+230 C.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列结论正确的是(

)A.“∃n∈N，n2−n+1=0”的否定是“∀n∈N，n2−n+1≠0”

B.∀a∈R，方程x2−ax−1=0有实数根

C.∃n∈N，n2+1是4的倍数10.若lna>lnb，则下列结论正确的是(

)A.1a<1b B.1a>11.已知函数f(x)=x2+mx+n(m>0)有且只有一个零点，则下列结论正确的是A.m2−n2⩽4

B.0<m2+1n<4

C.不等式12.已知tanα−tanβ=tan(α−β)，其中α≠kπ2(k∈Z)且A.sinαsinβ=0 B.sin(α−β)=0

C.cos(α−β)=1 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.tan150°=______．14.写出函数y=2−cosx在[0,2π]上的一个减区间：______．15.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=ex+sinx−3，则f(x)的解析式为f(x)=16.在数学中连乘符号是“Π”，例如：若x∈N∗，则x=110x=1×2×3×⋯×10.已知函数f(x)=logx+1(x+2),g(m)=x=1m四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

计算：

(1)(−4)2+18.(本小题12分)

已知α，β为锐角，且sin(2π+α)cos(11π2+α)cos(α−π)sin(−α)sin(3π−α)cos(α−19.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax2+15x+c，不等式f(x)>0的解集是(0,5)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)若存在x∈[−1,1]，使得不等式tf(x)⩾3有解，求实数t20.(本小题12分)

已知函数f(x)=ax−3(a>0且a≠1)的图象过定点M，函数g(x)=2log2(x+1a)与f(x)的图象交于点M．

(1)若f(x)+2f(−x)+6=0，求x的值；

21.(本小题12分)

已知幂函数f(x)=(a2−a−1)xa−1(a∈R)在(0,+∞)上是增函数．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设函数g(x)=log22.(本小题12分)

已知函数f(x)=sinπ3x,g(x)=e−x−ex2．

(1)若f(3απ+1)=23，求f(2−3α答案解析1.D

【解析】解：由−x2−x+6⩾0，得(x+3)(x−2)⩽0，

，则M∩N={x|0<x⩽2}．

故选：D．

由−x22.A

【解析】解：r=x2+y2=123.D

【解析】解：A中两个函数的值域不一样；

B，C中两个函数的定义域不一样；

D中两个函数的定义域、值域、对应法则都一样．

故选：D．

由已知结合函数的定义检验各选项即可判断．

本题考查函数相等的定义，指数运算，零次幂，对数运算，属于基础题．4.C

【解析】解：f(2)=22+3×2−15=−5<0，f(3)=23+3×3−15=2>0，

由零点存在定理，可知零点所在区间为(2,3)．

故选：5.B

【解析】解：∵tanα=2，

∴2sinαcosαcos2α−sin2α6.C

【解析】解：由2a<2b，得a<b，

当c=0时，得不到ac2<bc2；

由ac2<bc2，得a<b，所以2a<2b，7.D

【解析】解：因为0<lg5<1，2024+lg5>2，2+lg5>2，1+lg5<2，

所以f(2024+lg5)=1f(2023+lg5)=f(2022+lg5)=1f(2021+lg5)=f(2020+lg5)=⋯=f(2+lg5)=1f(1+lg5)=8.B

【解析】解：因为x，y是正实数，且2x+y=1，

所以1x+1y+2xy=(1x+1y)(2x+y)+29.AB

【解析】解：根据含有量词的命题的否定形式，可得“∃n∈N，n2−n+1=0”的否定是“∀n∈N，n2−n+1≠0”，A正确．

对于方程x2−ax−1=0，因为Δ=(−a)2−4×(−1)=a2+4>0，所以该方程有实数根，故B正确．

当n是偶数时，显然n2+1不是4的倍数；n为奇时，设n=2k+1，k∈N，则n2+1=4k2+4k+2，也不是4的倍数．

因此，不存在n∈N，使n2+1是4的倍数，故C不正确．

根据扇形的面积公式，可得半径为3，且圆心角为π3的扇形的面积S=110.AD

【解析】解：由lna>lnb，得0<b<a，所以1a<1b，A正确，B错误；

因为函数f(x)=(12)x−x在(0,+∞)上单调递减且a>b，

则(12)a−a<(12)11.ACD

【解析】解：因为f(x)=x2+mx+n(m>0)有且只有一个零点，

所以Δ=m2−4n=0，即m2=4n>0．

对于A，m2−n2⩽4等价于n2−4n+4⩾0，显然(n−2)2⩾0，A正确．

对于B,m2+1n=4n+1n⩾24n⋅1n=4，当且仅当n=12,m=2时，等号成立，B错误．

对于C，因为Δ=m2−4n=0，所以不等式x2+mx+n<0的解集为⌀，C正确．

对于12.BD

【解析】解：因为tanα−tanβ=tan(α−β)，其中α≠kπ2(k∈Z)且β≠mπ2(m∈Z)，

所以tanα−tanβ=sinαcosα−sinβcosβ=sinαcosβ−sinβcosαcosαcosβ=sin(α−β)cosαcosβ=sin(α−β)cos(α−β)，

所以sin(α−β)=0或cos(α−β)=cosαcosβ，即sin(α−β)=0或sinαsinβ=0．

因为α≠kπ2(k∈Z)且β≠13.−【解析】解：tan150°=tan(180°−30°)=−tan30°=−33．

故答案为：−14.(π,2π) (答案不唯一)

【解析】解：函数y=2−cosx的减区间为y=cosx的增区间，即[−π+2kπ,2kπ]，k∈Z，

据此只需写[π,2π]内的任何一个非空子集，例如(π,2π)．

故答案为：(π,2π)(答案不唯一)．

利用余弦函数的单调性求解即可．

本题主要考查三角函数的单调区间，属于基础题．15.−e【解析】解：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，f(−x)=−f(x)．

当x<0时，−x>0，f(−x)=e−x+sin(−x)−3=e−x−sinx−3，

所以当x<0时，f(x)=−f(−x)=−e−x+sinx+3．

16.8

【解析】解：由题意得，g(m)=lg3lg2×lg4lg3×⋯×lg(m+2)lg(m+1)=lg(m+2)lg2=log2(m+2)．

要使g(m)为整数，则m+2=2n，n∈N∗．

∵m∈(2,2024]，∴2n=m+2∈(4,2026]．

∵22=4，23=8，⋯，210=1024，21117.解：(1)原式=(−4)2+3(−5)3+[(−1)4]π+8×2

【解析】(1)结合指数幂的运算性质即可求解；

(2)结合对数的运算性质即可求解．

本题考查指数运算，对数运算，属于基础题．18.解：(1)∵sin(2π+α)cos(11π2+α)cos(α−π)sin(−α)sin(3π−α)cos(α−π2)=sinα⋅sinα⋅(−cosα)−sinα⋅sinα⋅sinα=cosαsinα=3，

∴cosα=3sinα．

∵sin2α+cos【解析】(1)利用诱导公式化简，结合同角三角函数基本关系式求得sinα，cosα的值，则答案可求；

(2)由sinβ=sin[(α+β)−α]，展开两角差的正弦求解．19.解：(1)因为不等式f(x)>0的解集是(0,5)，

所以a<0，且0，5是一元二次方程ax2+15x+c=0的两个实数根，

可得c=0,25a+75+c=0,得a=−3,c=0,，

所以f(x)=−3x2+15x．

(2)由tf(x)⩾3，得t(−3x2+15x)⩾3，即tx2−5tx+1⩽0．

令g(x)=tx2−5tx+1，x∈[−1,1]，

由题可知g(x)⩽0有解，即g(x)min⩽0即可．

当t=0时，g(x)=1<0，显然不合题意．

当t≠0时，g(x)图象的对称轴为直线x=52．

①当t>0时，g(x)在[−1,1]上单调递减，

所以g(x)min=g(1)=−4t+1⩽0【解析】(1)由已知结合二次不等式与二次方程的转化关系及方程的根与系数关系可求a，c，进而可求函数解析式；

(2)由已知结合存在性问题与最值关系的转化即可求解．

本题考查一元二次不等式的解，二次函数与一元二次方程，二次函数与一元二次不等式的关系，二次函数的图象及性质等，属于中档题．20.解：(1)因为对任意的a>0且a≠1，都有f(0)=−2，

所以f(x)的图象过定点M(0,−2)，

又因为点M(0,−2)在y=g(x)的图象上，

所以g(0)=2log21a=−2，解得a=2，

所以f(x)=2x−3，g(x)=2log2(x+12)，

由f(x)+2f(−x)+6=0，得2x+2×2−x−3=0，

令2x=t，则t>0，且t+2t−3=0，整理得t2−3t+2=0，即(t−1)(t−2)=0，

所以t=1或2，即2x=1或2x=2，解得x=0或1．

(2)f(g(x))=2log2(x+12)【解析】(1)利用指数为零时，幂恒为1求出定点M的坐标，进而求出a的值，然后利用换元法解方程；

(2)分离参数k，然后研究函数φ(x)=4x221.解：(1)因为f(x)=(a2−a−1)xa−1是幂函数，

所以a2−a−1=1，

解得a=2或a=−1．

又f(x)在(0,+∞)上是增函数，则a−1>0，即a>1，

所以a=2，则f(x)=x．

(2)由(1)得a=2，所以g(x)=log2(x+2)−log2(x−1)=log2x+2x−1=log2(1+3x−1)【解析】(1)由幂函数可得a值，可得解析式．

(2)根据复合函数的单调性可求出最小值．

本题考查幂函数的解析式及性质，对数的简单运算，复合函数的单调性与最值的求解，属于中档题．22.解：(1)由f(3απ+1)=23，得sin(α+π3)=23，

∴f(2−3απ)=sin(2π