2024-2025学年湖南省长沙市望城二中高二（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市望城二中高二（上）入学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={0,1,2,3}，则A∩B=(

)A.{0,1} B.{−1,0,1} C.{0,1,2} D.{−1,0,1,2}2.若复数z=i1+i(i为虚数单位)，则z⋅A.12i B.−14 C.3.已知方程2x2−(m+1)x+m=0有一正根和一负根，则m的取值范围是A.(−∞,3−22) B.(−∞,3+22)4.已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)=xf(x).若a=g(log20.2),b=g(20.5),c=g(4)，则a，bA.c<b<a B.b<a<c C.b<c<a D.a<b<c5.如图，直线AB与单位圆相切于点O，射线OP从OA出发绕着点O逆时针旋转，在此过程中，记∠AOP=x(0<x<π)，射线OP经过的单位圆O内阴影部分的面积为S，则对函数S=f(x)说法正确的是(

)A.当x=π2时，S=3π4−12

B.∃x1≠x2，使得f(6.对任意的x∈R，都有f(−x)=f(x)，f(−x)=f(2+x)，且当x∈[−1,0]时，f(x)=(12)x−1，若关于x的方程f(x)−loga|x|=0在区间[−5,5]A.(3,5) B.[3,5] C.[3,5) D.(3,5]7.已知函数f(x)=ln(1−x),x<0(x−1)3+1,x≥0，若f(x)≥axA.[0,23] B.[0,34]8.已知正实数C满足：对于任意θ，均存在i，j∈Z，0≤i≤j≤255，使得|cos2θ−ij|≤C，记CA.12000<λ<11000 B.11000<λ<二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量保持平稳，日均产量(亿立方米)与当月增速(%)(当月增速=当月产量−去年同期产量去年同期产量×100%)如图所示，则(

)

A.2021年12月份我国规模以上工业天然气产量当月增速比上月放缓2.1个百分点

B.2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气产量当月增速的极差为12.6%

C.2021年7月份我国规模以上工业天然气产量为153亿立方米

D.2021年4月至2021年12月我国规模以上工业天然气日均产量的40%分位数为5.3亿立方米10.△ABC中，角A、B、C对边为a、b、c，若a=bcosC+csinB，b=2，则(

)A.B=135° B.B=45°

C.ac的最大值为4+22 D.△ABC11.已知ABC−A1B1C1是各条棱长均等于1的正三棱柱，D是侧棱A.AC与平面AB1D所成的角的正弦值为24

B.平面AB1D与平面A1B1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知a,b为共线的两个向量，且|a|=1,|b|=213.近年来，加强青少年体育锻炼，重视体质健康已经在社会形成高度共识.2021年10月，《中华人民共和国体育法》在颁布20多年后迎来首次大修.教育部发布的2022年工作要点中提出，实施学校体育和体教融合改革发展行动计划.为了考察某校各班参加两项以上体育项目锻炼小组的人数，在全校随机抽取五个班级，把每个班级参加两项以上体育项目锻炼小组的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本的标准差为2，若样本数据各不相同，则样本数据的第80百分位数是______．14.设函数f(x)对任意实数x满足f(x)=−f(x+1)，且当0≤x≤1时，f(x)=x(1−x)，若关于x的方程f(x)=kx有3个不同的实数根，则k的取值范围是______．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

化简或计算下列各式：

(1)(2a43b14)(−6a12b13)÷(−3a16b16)；

16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=PB，O为AB的中点，OD⊥PC．

(1)求证：OC⊥PD；

(2)若PD与平面PAB所成的角为30°，AB=2，求四棱锥的P−ABCD的体积．17.(本小题15分)

某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G(x)万元，G(x)=250−3x,0<x≤2580+3000x−9000x2,x>25．

(1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式(利润=18.(本小题15分)

已知函数f(x)=sin2x−23sin2x+3．

(Ⅰ)若点P(32 , 12)在角α的终边上，求tan2α和f(α)的值；

(Ⅱ19.(本小题17分)

已知函数f(x)=logax−2x+2a>0且a≠1；

(1)判断函数奇偶性，并说明理由；

(2)求函数f(x)的反函数f−1(x)；

(3)若函数f(x)的定义域为[α,β]，值域为[loga[a(β−1)],参考答案1.C

2.D

3.D

4.B

5.D

6.A

7.B

8.B

9.ABD

10.BCD

11.ACD

12.0或4

13.9

14.(5−215.解：(1)(2a43b14)(−6a12b13)÷(−3a16b16)=2×(−6)−3a43+12−1616.证明：(1)连结OP，

∵PA=PB，O是AB的中点

∴OP⊥AB．

又∵侧面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，OP⊂平面PAB，

∴OP⊥平面ABCD，

∵OC⊂平面ABCD，OD⊂平面ABCD，

∴OP⊥OD，OP⊥OC，

又∵OD⊥PC，OP⊂平面OPC，PC⊂平面OPC，OP∩PC=P，

∴OD⊥平面OPC，

∵OC⊂平面OPC，

∴OD⊥OC，

又∵OP⊥OC，OP⊂平面OPD，OD⊂平面OPD，OP∩OD=O，

∴OC⊥平面OPD，

∵PD⊂平面OPD，

∴OC⊥PD．

解：(2)取CD中点E，连结OE，

∵OD⊥OC，∴AD=OE=12CD=12AB=1．

∵AD⊥AB，平面ABCD⊥平面PAB，平面PAB∩平面ABCD=AB，AD⊂平面ABCD，

∴AD⊥平面PAB，

∴∠DPA为直线PD与平面PAB所成的角．

∴∠DPA=30°，∴PA=3AD=17.解：(1)年利润S=x⋅G(x)−30−90x=−3x2+160x−30,0<x≤25−10x−9000x+2970,x>25．

(2)当0<x≤25时，S=−3x2+160x−30=−3(x−803)2+63103，

所以S在(0,25]上单调递增，

所以Smax=−3×252+160×25−30=2095；

当18.解：(Ⅰ)若点P(32 , 12)在角α的终边上，

所以sinα=12，cosα=32，故tanα=33，

所以tan2α=2tanα1−tan2α=2×331−(33)219.解：(1)由x−2x+2>0，解得x>2或x<−2．

则定义域为(−∞,−2)∪(2,+∞)，关于原点对称，

又f(x)+f(−x)=logax−2x+2+loga−x−2−x+2=lo