2024-2025学年河南省周口市恒大中学高二（上）开学数学试卷含答案

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河南省周口市恒大中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数1−3i(1−i)(1+2i)=(

)A.−1 B.−i C.35−42.设向量a，b满足|a|=2，a2=2a⋅A.2 B.1 C.12 D.3.设复数z=1−i(i是虚数单位)，则复数2z+zA.1−i B.1+i C.2+i D.2−i4.已知向量AB=(m,0)，BC=(−2,2)，(AB+AC)⊥A.1 B.2 C.3 D.45.若直线a//平面α，a//平面β，α∩β=直线b，则(

)A.a//b或a与b异面 B.a//b C.a与b异面 D.a与b相交6.2020年11月5日−11月10日，在上海国家会展中心举办了第三届中国国际进口博览会，其中的“科技生活展区”设置了各类与人民生活息息相关的科技专区.现从“高档家用电器”“智能家居”“消费电子”“服务机器人”“人工智能及软件技术”五个专区中选择两个专区参观，则选择的两个专区中包括“人工智能及软件技术”专区的概率是(

)A.110 B.310 C.257.已知z=21+i，其中i为虚数单位，则z−A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i8.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且atanB=203，bsinA=4，则a等于(

)A.3 B.83 C.4 D.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱AB上的动点，DQ⊥平面DA.QD1=QC

B.平面D1PC截正方体所得的截面可能为三角形

C.当P位于AB中点时三棱锥D1−DCP的外接球半径最大

D.线段DQ的长度随线段AP的长度增大而增大

10.如图(a)，边长为2的正方形AP1P2P3中，B，C分别是P1P2，P2P3的中点，AP2交BC于A.平面PAD⊥平面PBC

B.四面体P−ABC的体积为13

C.点P到平面ABC的距离为13

D.四面体P−ABC的外接球的体积为11.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，三条中线相交于点G.已知b=c=2，a=3，∠ABC的平分线与AC相交于点D，则(

)A.边AC上的中线长为22 B.△ABC内切圆的面积为9π28

C.△BCD与△BAD面积之比为3：2 D.G到AC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，从下列四个条件中选择两个作为已知条件，能够得到l⊥α的是______.(填入条件的序号即可)

①l//m；②α//β；③m⊥α；④l⊥β．13.如图所示的四边形ABCD中，设AB=a,AD=b,BC14.如图所示，四边形ABCD是梯形，AB//CD，且AB//平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB=4，CD=6，则MN=______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

化简下列各式：

(1)(AB+MB)+(−OB−MO)；16.(本小题15分)

如图，有一块三棱锥形木块ABCD，其中面ABC内有一点P．

(1)若要在面ABC内过点P画一条线段EF，其中点E在线段AB上，点F在线段AC上，且满足EF与AD垂直，该如何求作？请在图中画出线段EF并说明画法，不必证明．

(2)经测量，AB=AC=6cm，AD=5cm，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=arccos35，若P恰为三角形ABC的重心，EF为(1)中所求线段，求三棱锥17.(本小题15分)

如图，公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上．

(1)设AD=x(x≥0)，ED=y，求用x表示y的函数关系式；

(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明．18.(本小题17分)

已知平面向量a=(1,x)，b=(2x+3,−x)，x∈R．

(1)若a⊥b，求|a−b|；

(2)19.(本小题17分)

某校组织《反间谍法》知识竞赛，将所有学生的成绩(单位：分)按照[45,55)，[55,65)，…，[105,115]分成七组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求这次竞赛成绩平均数的估计值；(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)

(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽样的方法抽取12人，再从第六组和第七组被抽到的学生中任选2人做主题演讲，求至少有1名第七组的学生做主题演讲的概率．

参考答案1.B

2.B

3.A

4.B

5.B

6.C

7.B

8.D

9.ABD

10.ABD

11.BC

12.①③(或②④)

13.a+14.5

15.解：(1)(AB+MB)+(−OB−MO)=(16.解：(1)在AD上任取一点Q，

过点Q在平面ABD内作AD的垂线，交AB于点G，

过点Q在平面ACD内作AD的垂线，交AC于点H，

连接GH，

若GH过点P，则GH就是所求线段EF，

若GH不过点P，则过点P作GH的平行线，与AB，AC相交，即可得到线段EF．

如图所示：

(2)取BC的中点M，连接AM，DM，

因为点P为△ABC的重心，则点P在AM上，且AP=2PM，

由题意可得，AM⊥BC，DM⊥BC，AM∩DM=M，

所以BC⊥平面ADM，

因为AD⊂平面ADM，

则BC⊥AD，

又EF⊥AD且EF，BC共面，

则EF/​/BC，

所以S△AEFS△ABC=(APAM)2=(23)2=49，

故三棱锥ADEF的体积为三棱锥ABCD体积的49，

因为AB=AC=6，∠BAC=60°，

所以△ABC为等边三角形，

则BC=6，

所以AM=ABsin60°=33，

在△ABD中，由余弦定理可得，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcos∠ABD，

整理可得5BD2−36BD+55=0，

解得BD=5或BD=115，

①当BD=5时，此时△ABD为等腰三角形，∠ABD=∠BAD，cos∠ADB=725>0，符合题意；

②当BD=11517.解(1)在△ADE中，y2=x2+AE2−2x⋅AE⋅cos60°⇒y2=x2+AE2−x⋅AE，①

又S△ADE=12S△ABC=32=12x⋅AE⋅sin60°⇒x⋅AE=2.②

②代入①得y2=x2+(2x)18.解：(1)∵a⊥b，

∴a⋅b=2x+3−x2=0，解得：x=−1或x=3，

当x=−1时，a−b=(0,−2)，

∴|a−b|=02+(−2)2=2；

当x=3时，a−b=(−8,6)，

∴|a−b|=(−8)2+62=10；

综上所述：|a−b|=2或10

(2)若a,b共线，则−x=x(2x+3)，解得：x=019.解：(1)由频率分布直方图得：

(a+0.008+0.012+0.015+0.03+4a+2a)×10=1，

解得a=0.005，

∴这次竞赛成绩平均数的估计值为：

x−=(0.005×50+0.008×60+0.012×70+0.015×80+0.03×90+0.02×100+0.01×110)×10=85.7．

(2)从竞赛成绩不低于85分的学生中用分层随机抽