2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）期初数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年上海市杨浦区复旦大学附中高一（上）期初数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.子曰：“工欲善其事，必先利其器.”这句名言最早出自于《论语･卫灵公》.此名言中的“利其器”是“善其事”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.政治书上讲，“有使用价值的东西不一定有价值，有价值的东西一定有使用价值”，如果把有使用价值的东西看作集合A，把有价值的东西看作集合B，那么它们的关系是(

)A.A∪B=A B.A∪B=B C.A∩B=A D.A=B3.已知A、B为非空数集，Ω为平面上的一些点构成的集合，集合C={y|对任意x∈A，有(x,y)∈Ω}，集合D={x|对任意y∈B，有(x,y)∈Ω}，给定下列四个命题，其中真命题是(

)A.若C⊆B，则D⊆A B.若C⊆B，则D⊇A

C.若C⊇B，则D⊆A D.若C⊇B，则D⊇A4.已知有限集A={a1,a2,...an}(n≥2，n∈N)，如果A中的元素ai(i=1,2,…,n)满足a1+a2+...+an=a1×a2×...×an，就称A为“完美集”.①集合{−1−A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共12小题，共54分。5.用列举法表示《沁园春⋅长沙》前三句的意象所组成的集合______．6.设高一(5)班全体学生的集合为A(A中有17名男生，23名女生)，高一(5)班全体女生的集合为B，则A______B.7.用区间法表示实数集R=______．8.已知集合A={0,1,2}，集合B={x|2x>3}，则A∩B=9.已知集合A={1,2}，B={x|2x5−4x310.已知集合A={1,2,3,4}，B={1,2}，则满足A∩C=B∪C的集合C有______个.11.已知集合{x|(x−1)(x2−x+a)=0,x∈R}中的所有元素之和为1，则实数a12.设集合M={2,0,−1}，N={x||x−a|<1}，若M∩N的真子集的个数是1，则正实数a的取值范围为______．13.关于x的方程x(x−1)=(k−2x)(x14.设集合A={a1,a2,a3,…,15.已知集合A满足若n∈A且n∈Z，则1n∈A，小张同学迅速得出3个结论：

(1)0∉A；

(2)集合A不可能是单元素集；

(3)当n取遍可以取的所有数时，集合元素的个数一定是偶数，其中错误结论的序号为______．16.若规定集合E={0,1,2,…,n}的子集{a1,a2,a3,⋯⋯,am}为三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

设A={a|a=3n+2,n∈Z}，B={b|b=3k−1,k∈Z}，C={c|c=6m+2,m∈Z}

(1)证明：C⊂B；

(2)证明：A=B．18.(本小题14分)

设集合A={x|(x−3)(x−a)=0,a∈R}，B={x|x2−5x+4=0}．

(1)当a=4时，求A∩B，A∪B；

(2)记C=A∪B，若集合C的真子集有7个，求：所有实数a19.(本小题14分)

学校举办运动会，某班有28人报名参赛，其中15人报名参加游泳比赛，8人报名参加田径比赛，14人报名参加球类比赛，同时报名参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时报名参加田径比赛和球类比赛的有3人，没有人同时报名参加这三项比赛．

(1)求同时报名参加游泳和球类比赛的学生人数X；

(2)在只报名参加游泳一项比赛的Y人中，男生比女生多1人，且男生甲和女生乙都在其中，现从这Y人中随机选出男女生各1人，求男生甲被选中且女生乙未被选中的概率．20.(本小题18分)

已知集合Sn={1,2,3,⋯,2n}(n∈N∗,n≥4)，对于集合Sn的非空子集A，若Sn中存在三个互不相同的元素a，b，c，使得a+b，b+c，c+a均属于A，则称集合A是集合Sn的“期待子集”．

(1)试判断集合A1={3,4,5}，A2={3,5,7}是否为集合S4的“期待子集”；(直接写出答案，不必说明理由)

(2)如果一个集合中含有三个元素x，y，z，同时满足①x<y<z，②x+y>z，③x+y+z为偶数.那么称该集合具有性质P.对于集合S21.(本小题18分)

已知集合A为非空数集，对于集合A，定义对A中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合A的1次自相加集合”，再次进行n−1次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合A的n次自相加集合”，若A集合A的任意k次自相加集合都不相等，则称集合A为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“A的1次自相减集合”，集合A的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：A+={x|x=a+b,a、b∈A}，A−={x|x=|a−b|,a,b∈A}．

(1)已知有两个集合，集合B={1,2,3,4}，集合C={k|k=2n+1,n∈Z}，判断集合B和集合C是否是完美自相加集合并说明理由；

(2)对(1)中的集合B进行11次自相加操作后，求：集合B的11次自相加集合的元素个数；

(3)若0≤n≤2024且n∈N，集合A={x|n≤x≤2024,x∈N}，A+参考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.{寒秋，湘江，橘子洲}

6.真包含

7.(−∞,+∞)

8.{2}

9.⌀

10.4

11.{0}∪(112.(0,1)∪(1,3)

13.−1

14.45

15.(2)

16.{0,1,4,6,7}

17.证明：(1)令k=s+1，s∈Z，则B={b|b=3k−1,k∈Z}={b|b=3s+2,s∈Z}，

∴B为被3整除余2的整数构成的集合，

C={c|c=6m+2,m∈Z}={c|c=3(2m)+2,2m∈Z}，

即C中元素都可以表示为3s+2，s∈Z的形式，其中s=2m，

∴C中任意元素都属于B，

又B中存在不属于C的元素，例：5∈B，但5∉C，

∴C⊂B；

(2)由(1)知B={b|b=3k−1,k∈Z}={b|b=3s−2,s∈Z}，

A={a|3n+2,n∈Z}，

∴A=B．

18.解：(1)当a=4时，A={x|(x−3)(x−4)=0,a∈R}={3,4}，

x2−5x+4=0，即(x−4)(x−1)=0，解得x=4或1，∴B={1,4}，

∴A∩B={4}，A∪B={1,3,4}．

(2)若集合C的真子集有7个，则2n−1=7，可得n=3，

即C=A∪B中的元素只有3个，

而(x+3)(x−a)=0，解得x=3或a，则A={3,a}，

由(1)知B={1,4}，

则当a=1，3，4时，C=A∪B={1,3,4}，

故所有实数a19.解：(1)以H，I，K分别表示参加游泳、田径、球类比赛的学生构成的集合，

由图可知，15+5+11−X=28，

解得X=3；

(2)由(1)及题意得，Y=12−3=9，这9人中，因为男生比女生多1人，

所以男生5人、女生4人，

设这5名男生分别为a，b，c，d，e，这4名女生分别为A，B，C，D，其中甲记为a，乙记为A，

从这5名男生和4名女生中各随机选出1人，所有的样本点：

(a,A)，(a,B)，(a,C)，(a,D)，(b,A)，(b,B)，(b,C)，(b,D)，(c,A)，(c,B)，(c,C)，(c,D)，(d,A)，(d,B)，(d,C)，(d,D)，(e,A)，(e,B)，(e,C)，(e,D)，共20个，

其中男生甲被选中且女生乙未被选中包含的样本点有3个，

故所求概率P=320．20.解：(1)因为S4={1,2,3,4,5,6,7,8}，

对于集合A1={3,4,5}，令a+b=3b+c=4c+a=5，解得a=2b=1c=3，显然1∈S4，2∈S4，3∈S4，

所以A1是集合S4的“期待子集”；

对于集合A2={3,5,7}，令a1+b1=3b1+c1=5c1+a1=7，则a1+b1+c1=152，

因为a1，b1，c1∈S4，即a1+b1+c1∈N∗，故矛盾，所以A2不是集合S4的“期待子集”；

(2)先证明必要性：

当集合A是集合Sn的“期待子集”时，由题意，存在互不相同的a，b，c∈Sn，使得a+b，b+c，c+a∈A，

不妨设a<b<c，令x=a+b，y=a+c，z=b+c，则x<y<z，即条件P中的①成立；

又x+y−z=(a+b)+(c+a)−(b+c)=2a>0，所以x+y>z，即条件P中的②成立；

因为x+y+z=(a+b)+(c+a)+(b+c)=2(a+b+c)，

所以x+y+z为偶数，即条件P中的③成立；

所以集合A满足条件P．

再证明充分性：

当集合A满足条件P时，有存在x，y，z∈A21.解：(1)B是完美自相加集合，C不是完美自相加集合，理由如下：

集合B={1,2,3,4}⇒B+={3,4,5,6,7}，由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，

所以显然集合B={1,2,3,4}的最小两个元素为1，2，所以B+的最小元素为1+2=3；

对集合B={1,2,3,4}进行任意次自相加操作后，最小值在变大，

故不可能有相等集合，

所以B是完美自相加集合；

集合C={k|k=2n+1,n∈Z}表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，

所以C+={k|k=2n,n∈Z}，为所有偶数构成集合；

所以对C+={k|k=2n,n∈Z}再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，

故后面集合不管进行多少次相加都是与C+={k|k=2n,n∈Z}相同；

故C不是完美自相加集合；

(2)由自相加性质可知，对于集合B={1,2,3,4}，进行一次自相加，

得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，

得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；

所以对集合B={1,2,3,4}进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为3，4，最大的两个元素为6，7；

进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为7，8，最大的两个元素为12，13；

进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为15，16，最大的两个元素为24，25；

进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为31，32，最大的两个元素为18，49；

进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为63，64，最大的两个元素为96，97；

进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为127，128，最大的两个元素为192，193；

进行第七次自相加，得到的集合最小两个元素为255，256，最大的两个元素为384，385；

进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为511，512，最大的两个元素为768，769；

进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为1023，1024，最大的两个元素为1536，1537；

进行第十