人教版九年级数学上册教案教学设计

人教版九年级数学上册教案教学设计第二十一章一元二次方程21．1一元二次方程教师备课素材示例●归纳导入如图，现在要将一块矩形绿地扩大，长、宽各增加xm.若扩大后的绿地的面积为936m2，求长、宽各增加的长度．引导学生分析：等量关系为__扩大后的长×宽＝扩大后的面积__，则矩形的长为__(30＋x)__m，宽为__(20＋x)__m．根据矩形的面积为936m2，得方程__(30＋x)(20＋x)＝936__．整理，得__x2＋50x－336＝0__．【归纳】一元二次方程是只含有__一个未知数x的整式__方程，并且都可以化成__ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)__的形式．【教学与建议】教学：通过图形的变化让学生感知等量关系，通过整理所得到的方程的特征归纳出一元二次方程的定义．建议：讲解一元二次方程定义要抓住三个关键点：一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是2.●复习导入(教师)同学们，至今为止我们学习了哪些方程？它们都有什么特点？能举例说明吗？类似于5x2＋4x－2＝0的方程我们学习过吗？这类方程有什么特点？属于什么方程呢？它们存在于我们的实际生活中吗？下面我们一起探索新知——一元二次方程！【教学与建议】教学：复习回顾前面学过的一元一次方程，二元一次方程，分式方程，为继续探索和学习一元二次方程的特点和定义做好铺垫，同时对新方程产生疑问，激发学生探索新知的兴趣．建议：通过复习，让学生明确“元”和“次”在方程中的含义．命题角度1根据定义判断一个方程是否为一元二次方程一元二次方程化简后的特征：①是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.【例1】(1)下列方程中，是关于x的一元二次方程的是(D)A．ax2＋bx＋c＝0B．eq\f(1,x2)＋x＝2C．2x＝1D．2＋x2＝10(2)在下列方程中，是一元二次方程的有__①__．(填序号)①3x2＋7＝10；②ax2＋bx＋c＝0；③(x－2)(x＋5)＝x2－1；④3x2－eq\f(5,x)＝0.命题角度2利用一元二次方程的定义求待定字母的值或取值范围根据一元二次方程的定义可以求方程中待定字母的值或取值范围．【例2】(1)若关于x的方程(a－1)x|a|＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则(C)A．a≠±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝±1(2)如果方程ax2－7＝x＋2是关于x的一元二次方程，则a__≠0__．命题角度3利用一元二次方程的根求待定字母或与待定字母相关的代数式的值一元二次方程的根就是方程的解，它能使方程左右两边相等．【例3】(1)若x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的解，则(C)A．a＋b＋c＝1B．a－b＋c＝0C．a＋b＋c＝0D．a－b－c＝0(2)关于x的一元二次方程(p－1)x2－x＋p2－1＝0有一个根为0，则实数p的值是__－1__．(3)若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2015的值为__2__018__．命题角度4根据等量关系列一元二次方程解决实际问题寻找等量关系，利用一元二次方程来解决实际问题(只列方程)．【例4】用一条长100cm的绳子围成一个面积为128cm2的矩形．设矩形的长为xcm，则可列方程为(B)A．x(50＋x)＝128B．x(50－x)＝128C．x(100＋x)＝128D．x(100－x)＝128高效课堂教学设计1．理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式，并能将一元二次方程化成一般式，正确识别二次项系数、一次项系数和常数项．2．会判断一个数是否是一元二次方程的根．3．经历由实际问题中抽象出一元二次方程等有关概念的过程，让学生体会到方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型．▲重点理解一元二次方程的概念，认识一元二次方程的一般形式．▲难点1．在一元二次方程化成一般形式后，如何确定一次项和常数项．2．从实际问题中抽象出一元二次方程．◆活动1新课导入1．你能举例说出一元一次方程的概念吗？解：如2019＋18x＝2020这样只含有一个未知数(元)，未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程．2．下列是一元一次方程的是：__①④__．(填序号)①x－1＝2x＋1；②x－3；③4x＋3y＝1；④x2－x(x＋1)＝0.◆活动2探究新知1．教材P2问题1.提出问题：(1)本问题中的等量关系是什么？应该设哪个量为未知数？(2)若设切去的正方形的边长为xcm，则盒底的长为__(100－2x)__cm，宽为__(50－2x)__cm；(3)请根据题意列出方程，你能化简该方程吗？学生完成并交流展示．2．教材P2问题2.提出问题：(1)说说“每两个队之间比赛一场”的含义，甲队对乙队和乙队对甲队的比赛是同一场比赛吗？(2)问题中比赛总场次是多少？等量关系是什么？(3)请设出未知数，列出方程式，并将所列方程化简．学生完成并交流展示．3．小明用30cm的铁丝围成一斜边长等于13cm的直角三角形，求该直角三角形的两直角边长．提出问题：本题必须设两个未知数吗？如果只设一个未知数，那么方程应该怎样列？◆活动3知识归纳提出问题：(1)请谈谈上述方程有什么共同特点；(2)归纳一元二次方程的概念．1．等号两边都是__整式__，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是__2__的方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__，其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数；__bx__是一次项，__b__是一次项系数；__c__是常数项．提出问题：(1)二次项系数a为什么不能为0?(2)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，a，b，c可以是些什么样的数？3．方程－x2＋3x＝0中二次项系数是__－1__，一次项系数是__3__，常数项是__0__．4．使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的__解__，也叫做一元二次方程的__根__．◆活动4例题与练习例1判断下列各方程是不是一元二次方程．①x2－3xy＋4y2＝0；②y2＝3y＋2；③x＋eq\f(1,x2)－3＝0.解：②是，①③不是．例2将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：一般形式为3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.例3已知a是方程2x2＋x－2＝0的根，求代数式4a2＋2a的值.解：由已知得2a2＋a－2＝0，∴2a2＋a＝2，∴4a2＋2a＝4.练习1．教材P4练习第1，2题．2．(教材P4T3变式)下列数：6，－6，8，－8，12，－12，2，－2，是方程x2－2x－48＝0的根有(B)A.1个B．2个C．3个D．4个3．若关于x的方程(m－1)xm2＋1－3x＋2＝0是一元二次方程，则此一元二次方程为__－2x2－3x＋2＝0__．◆活动5课堂小结我们学习了一元二次方程的哪些知识？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你会解一元二次方程吗？1．作业布置(1)教材P4习题21.1第1，2，3题；(2)对应课时练习．2．教学反思21.2解一元二次方程21．2.1配方法第1课时用直接开平方法解一元二次方程教师备课素材示例●归纳导入如图，将边长为x的正方形沿两边剪去两个宽度相同的矩形(阴影部分)，剩下的部分是一个边长为3的正方形，剪去部分的面积为7，求x的值．【分析】设这个正方形的边长是xm．由题意列方程，得x2－7＝9.【思考】你会利用平方根的知识解这个方程吗？【解】设这个正方形的边长为xm.由题意，得x2＝16.根据平方根的意义，得x＝±eq\r(16)＝±4，∴原方程的解是x1＝4，x2＝－4.∵边长不能为负数，∴x＝4.即这个正方形的边长是4m.【教学与建议】教学：用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．建议：讲解解方程的时候，引导学生用平方根的知识求解．●复习导入(1)如果x2＝a，那么x叫做a的__平方根__；求一个数a的__平方根__的运算叫做开平方．非负数a的平方根为__±eq\r(a)__，非负数a的算术平方根为__eq\r(a)__．(2)0.36的平方根是__±0.6__；18的平方根是__±3eq\r(2)__；若x2＝5，则x＝__±eq\r(5)__．【教学与建议】教学：通过对平方根、开平方的复习，为进一步学习直接开平方法，起到承上启下的作用．建议：在复习中，让学生明确平方根、算术平方根的区别和联系，掌握求平方根的方法．命题角度用直接开平方法解一元二次方程形如x2＝p(p≥0)的形式，可得x＝±eq\r(p)；如果方程化成(nx＋m)2＝p(p≥0)的形式，那么可得nx＋m＝±eq\r(p).【例1】解下列方程：(1)(x－2)2－13＝108；解：(x－2)2＝121，x－2＝±11.解得x1＝13，x2＝－9；(2)x2＋10x＋25＝2.解：(x＋5)2＝2，x＋5＝±eq\r(2).解得x1＝eq\r(2)－5，x2＝－eq\r(2)－5.【例2】用配方法解x2－4x＝5的过程中，配方正确的是(D)A．(x＋2)2＝1B．(x－2)2＝1C．(x＋2)2＝9D．(x－2)2＝9【例3】4x2－20x＋m2是一个完全平方式，则m＝__±5__．高效课堂教学设计1．会利用开平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程．2．初步了解形如(x＋n)2＝p(p≥0)方程的解法．3．能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性．▲重点运用直接开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．▲难点通过平方根的意义解形如x2＝p(p≥0)的方程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程．◆活动1新课导入求下列各数的平方根：(1)144；(2)eq\f(36,49).解：原式＝±12;解：原式＝±eq\f(6,7).◆活动2探究新知1．教材P5问题1.提出问题：(1)一个正方体有几个面？若一个正方体的棱长为xdm，则这个正方体的表面积是多少？(2)本题中的等量关系是什么？请概括该等量关系，列出方程；(3)你能根据平方根的意义解方程x2＝25吗？本题中负值为什么要舍去？学生完成并交流展示．2.教材P6第1个探究．提出问题：(1)(__±eq\r(5)__)2＝5，据此思考如何解方程(x＋3)2＝5呢？(2)可考虑令y＝x＋3，则方程变为y2＝5，先解出y的值，再求x的值；(3)由方程(x＋3)2＝5可得到哪两个一元一次方程？(4)上述所解方程有什么共同点？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．一般地，对于方程x2＝p，(1)当p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个__不相等__的实数根__x1＝－eq\r(p)，x2＝eq\r(p)__；(2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个__相等__的实数根__x1＝x2＝0__；(3)当p＜0时，根据平方根的意义，方程__无__实数根．提出问题：(1)一元二次方程与一元一次方程有什么不同？二次是如何转化为一次的？(2)请谈谈如何降次．2．直接开平方，把一元二次方程“降次”化为__两个一元一次__方程．◆活动4例题与练习例1解方程：(1)x2－36＝0；(2)2y2＝100；(3)16p2－5＝0.解：(1)x1＝6，x2＝－6；(2)y1＝5eq\r(2)，y2＝－5eq\r(2)；(3)p1＝eq\f(\r(5),4)，p2＝－eq\f(\r(5),4).例2解方程：(1)2(2x－1)2－10＝0；(2)y2－4y＋4＝8；(3)4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0.解：(1)由2(2x－1)2－10＝0得(2x－1)2＝5，直接开平方得2x－1＝±eq\r(5)，∴原方程的根为x1＝eq\f(1＋\r(5),2)，x2＝eq\f(1－\r(5),2)；(2)原方程可化为(y－2)2＝8，直接开平方得y－2＝±2eq\r(2)，∴原方程的根为y1＝2＋2eq\r(2)，y2＝2－2eq\r(2)；(3)原方程可化为4(3x－1)2＝9(3x＋1)2，两边开平方得2(3x－1)＝±3(3x＋1)，∴2(3x－1)＝3(3x＋1)或2(3x－1)＝－3(3x＋1)，∴x1＝－eq\f(5,3)，x2＝－eq\f(1,15).例3已知方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，求k的值和另一个根．解：∵方程(x－3)2＝k2＋5的一个根是x＝6，∴(6－3)2＝k2＋5，解得k＝±2，∴原方程为(x－3)2＝9，∴另一个根为x＝0.练习1．教材P6练习．2．若x2－2xy＋y2＝4，则x－y的值为(C)A．2B．－2C．±2D．不能确定3．若实数a，b满足(a2＋b2－3)2＝25，则a2＋b2的值为(A)A．8B．8或－2C．－2D．284．若代数式2x2＋3与2x2－4的值互为相反数，则x＝__±eq\f(1,2)__．◆活动5课堂小结1．本堂课解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，由平方根的定义将其降次为mx＋n＝±eq\r(p)，再解两个一次方程即可求得解．2．用直接开平方法解一元二次方程的基本思想是降次．1．作业布置(1)教材P16习题21.2第1题；(2)对应课时练习．2．教学反思第2课时用配方法解一元二次方程教师备课素材示例●归纳导入李老师让学生解一元二次方程x2－6x－5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……你能按照他的想法求出这个方程的解吗？从中你能得到什么启示？【教学与建议】教学：通过情境引入对一个陌生一元二次方程的求解方法，让学生经历用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想．建议：讲解时让学生明白方程两边同时加14的目的，体会等式的性质及转化思想的应用．【归纳】当一元二次方程的二次项系数为1时，方程两边同时加一次项系数的一半的平方．●复习导入能用直接开平方法求解的一元二次方程有什么特点？试解下列方程：①(x＋3)2＝5；②x2＋6x＋9＝1，说一说这两个方程的求解过程有何异同？(1)回顾完全平方公式，并完成填空．①x2＋4x＋__4__＝(x＋__2__)2；②x2－10x＋__25__＝(x－__5__)2；③x2＋mx＋__eq\f(m2,4)__＝(x＋eq\f(m,2))2.观察问题：各式中的常数项与一次项的系数有什么关系？教师点拨：常数项是一次项系数一半的平方．(2)根据方程x2＋6x＋9＝1的求解思路，你能解一元二次方程x2＋6x＋8＝0吗？【教学与建议】教学：通过复习，使学生明确能用直接开平方法求解的方程的特点和完全平方公式的特点，实现开平方解一元二次方程的可行性．建议：整个复习过程让学生充分参与，相互配合．命题角度1配方根据完全平方式的结构特点，将一个二次三项式或一元二次方程配成含完全平方式的形式．【例1】(1)用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0，配方正确的是(C)A．(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(13,4)B．(x－eq\f(3,4))2＝eq\f(1,2)C．(x－eq\f(3,4))2＝eq\f(17,16)D．(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(11,4)(2)如果x2－8x＋m＝0可以通过配方写成(x－n)2＝6的形式，那么x2＋8x＋m＝0可以配方成(D)A．(x－n＋5)2＝1B．(x＋n)2＝1C．(x－n＋5)2＝11D．(x＋n)2＝6命题角度2用配方法解一元二次方程一元二次方程的二次项系数化为1，原方程变形为(x＋m)2＝n的形式，再利用直接开平方法解方程．【例2】用配方法解下列方程：(1)x2＋2x－4＝0；解：移项，得x2＋2x＝4.配方，得x2＋2x＋12＝4＋12，(x＋1)2＝5.由此可得x＋1＝±eq\r(5)，x1＝－1＋eq\r(5)，x2＝－1－eq\r(5)；(2)2x2－6x－1＝0.解：移项，得2x2－6x＝1.二次项系数化为1，得x2－3x＝eq\f(1,2).配方，得x2－3x＋(eq\f(3,2))2＝eq\f(1,2)＋(eq\f(3,2))2，(x－eq\f(3,2))2＝eq\f(11,4).由此可得x－eq\f(3,2)＝±eq\f(\r(11),2)，x1＝eq\f(3＋\r(11),2)，x2＝eq\f(3－\r(11),2).命题角度3用配方法求字母或代数式的值用配方法，将一个等式转化为几个非负数或式的和为0的形式．【例3】(1)若△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac＝0，则△ABC的形状是__等边三角形__．(2)已知5x2＋3y2－20x－6y＋23＝0.求yx的值．解：原式可变形为(5x2－20x＋20)＋(3y2－6y＋3)＝0，配方，得5(x－2)2＋3(y－1)2＝0，则x－2＝0，y－1＝0，解得x＝2，y＝1，故yx＝12＝1.命题角度4用配方法进行说理理解配方法的关键点是“一个数的平方为非负数”和“利用完全平方公式配方”．【例4】我们知道：任何有理数的平方都是一个非负数，即对于任何有理数，都有a2≥0成立，所以当a＝0时，a2有最小值为0.【应用】(1)当x＝__1__时，代数式(x－1)2有最小值；(2)代数式m2＋3的最小值是__3__；【探究】求代数式n2＋4n＋9的最小值，小明是这样做的：n2＋4n＋9＝n2＋4n＋4＋5＝(n＋2)2＋5，∴当n＝－2时，代数式n2＋4n＋9有最小值，最小值为5.(3)请你参照小明的方法，求代数式a2－6a－3的最小值，并求此时a的值．解：a2－6a－3＝a2－6a＋9－9－3＝(a－3)2－12.∵(a－3)2≥0，∴(a－3)2－12≥－12，∴当a＝3时，代数式a2－6a－3取得最小值，最小值为－12.高效课堂教学设计1．掌握配方法和指导过程，能使用配方法解一元二次方程．2．通过降次的思想解方程，掌握一些转化的技能．▲重点配方法的解题步骤．▲难点用配方法解系数不为1的一元二次方程．◆活动1新课导入1．填空：(1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；(2)x2－5x＋(__eq\f(5,2)__)2＝(x－__eq\f(5,2)__)2；(3)x2＋x＋(__eq\f(1,2)__)2＝(x＋__eq\f(1,2)__)2.2．若x2－mx＋64是一个完全平方式，则m的值是__±16__．◆活动2探究新知1．教材P6第2个探究．提出问题：(1)请把方程(x＋3)2＝5化成一般形式，然后与所探究中的方程进行比较，你有什么发现？(2)如何将方程x2＋6x＋4＝0化成(x＋3)2＝5的形式呢？(3)把常数项移到方程右边之后，为什么要在x2＋6x＝－4的两边都加上9？加其他数行吗？(4)通过x2＋6x＋4＝0的解题过程，你能说说配方的一般步骤是什么吗？配方的关键是什么吗？学生完成并交流展示．2．解方程3x2－2x－1＝0.提出问题：(1)如果一个一元二次方程的二次项系数不为1，还能用配方法来解吗？(2)请将方程3x2－2x－1＝0的二次项系数化为1，并尝试解此方程；(3)由此请你再归纳一下用配方法解一元二次方程的一般步骤．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．通过配成__完全平方__形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．2．对于任意一元二次方程，用配方法解的一般步骤：①先化成__一般形式__；②将常数项移到等式右边；③两边除以__二次项系数__；④方程两边都加上__一次项系数一半的平方__；⑤将等式左边化成__完全平方形式__；⑥两边开方，并求出方程的解．提出问题：(1)配方过程中，在等式两边加上的常数与一次项系数的关系如何？(2)配方过程中，若等号右边为负数，这个方程有没有实数根？(3)配方过程中还需注意哪些问题？◆活动4例题与练习例1教材P7例1.例2求证：无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.证明：2x2－4x＋3＝2(x2－2x＋eq\f(3,2))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（x－1）2＋\f(1,2)))＝2(x－1)2＋1.∵(x－1)2≥0，∴2(x－1)2＋1＞0，∴无论x为何值，代数式2x2－4x＋3的值恒大于0.提出问题：二次三项式的配方与一元二次方程的配方有什么区别，请指出具体区别在什么地方？学生回答，教师强调：二次三项式配方时，不能除以二次项的系数，只能提取二次项的系数，并添上括号，再用配方法构造一个完全平方式；而一元二次方程配方时，两边除以二次项系数后，再用配方法构造一个完全平方式．练习1．教材P9练习第1，2题．2．代数式x2－8x＋18的值(A)A．恒为正B．恒为负C．可能为0D．不能确定3．把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝__eq\f(3,2)__，k＝__eq\f(11,4)__．4．式子－x2－4x－5，可配方为－(x＋__2__)2__－1__，该式有最__大__值，是__－1__．5．试证明：无论a为何实数，关于x的方程(a2－8a＋17)x2＋2ax＋1＝0都是一元二次方程．证明：∵a2－8a＋17＝(a－4)2＋1＞0，∴无论a为何实数，该方程都是一元二次方程．◆活动5课堂小结1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，也可通过配方，利用非负数的性质判断代数式的正负性，在今后学习二次函数，到高中学习二次曲线时，还将经常用到．1．作业布置(1)教材P17习题21.2第2，3题；(2)对应课时练习．2．教学反思21.2.2公式法教师备课素材示例●类比导入解下列一元二次方程：(1)x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－7x＋1＝0；(3)5x2－15x＋14＝0；(4)2x2＋6x＋15＝0.然后让学生仔细观察四个方程的解答过程，由此发现有什么相同之处，有什么不同之处？接着再改变上面每个方程的其中一个系数，得到四个新的方程：(1)2x2＋4x＋4＝0；(2)6x2－5x＋1＝0；(3)5x2－15x－40＝0；(4)2x2＋x＋15＝0.问题1：新方程与原方程的解答过程相比，有什么变化？【归纳】用配方法解不同的一元二次方程的过程中，相同之处是配方的过程(程序化的操作)，不同之处是方程的根的情况及其方程的根.问题2：既然过程是相同的，为什么根会不同？方程的根与什么有关？有怎样的关系？如何进一步探究？【归纳】因为系数发生了变化，所以根会不同．方程的根与系数有关系．【教学与建议】教学：①复习巩固旧知识，为本节课的学习打下更好的基础；②让学生充分感受用配方法解各种题型；③引导学生感受、猜测方程的根与系数有一定的关系．建议：在学生利用配方法解一元二次方程时，分组解答．●复习导入提问：怎样用配方法解一元二次方程？(1)①移项；②化二次项系数为1；③方程两边都加上一次项系数的一半的平方；④原方程变形为(x＋m)2＝n的形式；⑤如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．(2)用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0).移项，得__ax2＋bx＝－c__．二次项系数化为1，得__x2＋eq\f(b,a)x＝－eq\f(c,a)__．配方，得__x2＋eq\f(b,a)x＋(eq\f(b,2a))2＝－eq\f(c,a)＋(eq\f(b,2a))2__，即(x＋eq\f(b,2a))2＝eq\f(b2－4ac,4a2).因为a≠0，所以4a2＞0.当b2－4ac＞0时，得__x＋eq\f(b,2a)＝±eq\f(\r(b2－4ac),2a)__，所以__x＝－eq\f(b,2a)±eq\f(\r(b2－4ac),2a)__，即x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).当b2－4ac＝0时，得x1＝x2＝－eq\f(b,2a).当b2－4ac<0时，方程无实数根．【教学与建议】教学：让学生回顾旧知，加深对配方法的理解．建议：全班同学在练习本上运算，请两名小组代表去黑板上练习．命题角度1利用b2－4ac判断一元二次方程根的情况用式子b2－4ac判断方程根的情况：若b2－4ac＞0，则方程有两个不等的实数根；若b2－4ac＝0，则方程有两个相等的实数根；若b2－4ac＜0，则方程无实数根．【例1】(1)一元二次方程x2－2x－1＝0根的情况是(D)A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．有两个不相等的实数根(2)不解方程，直接判定下列一元二次方程根的情况．①2x2＋3x－4＝0;②3x2＋2＝2eq\r(6)x.解：①Δ＝32－4×2×(－4)＝41＞0，∴方程有两个不相等的实数根；②方程化为一般式为3x2－2eq\r(6)x＋2＝0，Δ＝(－2eq\r(6))2－4×3×2＝0，∴方程有两个相等的实数根．命题角度2利用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程时，先将方程化为一般形式，再代入公式，判断b2－4ac与0的大小关系，最后代入公式求根．【例2】解方程：16x2＋8x＝3.解：方程化为16x2＋8x－3＝0.a＝16，b＝8，c＝－3.Δ＝b2－4ac＝82－4×16×(－3)＝256＞0.方程有两个不相等的实数根x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)＝eq\f(－8±16,2×16)＝eq\f(－1±2,4)，即x1＝eq\f(1,4)，x2＝－eq\f(3,4).命题角度3根据方程根的情况求字母系数的值或取值范围利用方程根的情况与b2－4ac的值的对应关系确定字母系数的值或取值范围．【例3】(1)若关于x的一元二次方程x2＋3x＋m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为(B)A．m≤eq\f(9,4)B．m＜eq\f(9,4)C．m≤eq\f(4,9)D．m＞eq\f(4,9)(2)若关于x的一元二次方程x2＋2x－k＝0有两个相等的实数根，则k的值为__－1__．(3)若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋3x＋2＝0有实数根，则m的取值范围是__m≤eq\f(17,8)且m≠1__．命题角度4一元二次方程根的判别式的实际应用在解决实际问题时，利用根的判别式判断一元二次方程解的情况.【例4】小林准备进行如下操作试验：把一根长为20dm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形．小峰对小林说：“这两个正方形的面积之和不可能等于12dm2.”他的说法对吗？请说明理由．解：小峰的说法是对的．理由如下：假设这两个正方形的面积之和可以等于12dm2.设此时其中一个正方形的边长为xdm，则另一个正方形的边长是(5－x)dm.由题意可得x2＋(5－x)2＝12.化简，得2x2－10x＋13＝0.∵b2－4ac＝(－10)2－4×2×13＝－4<0，∴此方程没有实数根，∴小峰的说法是对的．考古结果表明，在大约公元前2000年，由于生产的需要，古巴比伦人就能解部分较为特殊的一元二次方程了，公元前300年左右，欧几里得提出了抽象的图解法来解一元二次方程，但缺陷是只能求正根．公元前250年左右，丢番图在《算术》中提出一元二次方程问题，但是当时的人们未找到它的求根公式．公元7世纪，印度的婆罗摩笈多首次使用代数方法解出一元二次方程，且同时容许有正负数的根．公元8世纪，阿拉伯的花拉子米独立地发展了一套公式来求方程的正数解，并首次提出了方程一般解法，萨瓦索达在Liberembadorum中首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲．我国是世界最早研究一元二次方程的国家之一．约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了方程的正根．《九章算术》“勾股”章里就有涉及求方程x2＋34x－71000＝0的正根的问题．三国时期赵爽巧妙应用出入相补原理，从几何直观出发，在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边关系和引申的有关二次方程的命题和结果．公元729年唐朝天文学家张遂在《大衍历》中，用文字叙述给出了一元二次方程x2＋px＋q＝0(p＞0，q＜0)的求根公式．宋朝著名数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》(1275年)一书中，详细记载了一元二次方程的四种解法(含配方法)．高效课堂教学设计1．理解一元二次方程求根公式的推导．2．会用求根公式解简单数字系数的一元二次方程．▲重点求根公式的推导和公式法的应用．▲难点一元二次方程求根公式的推导．◆活动1新课导入用配方法解方程：(1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x－5＝0.解：(1)x1＝－1，x2＝－2；(2)x1＝－1，x2＝eq\f(5,2).任何一个一元二次方程都可以写成ax2＋bx＋c＝0的形式，我们是否也能用配方法求出它的解呢？想想看，该怎样做？◆活动2探究新知教材P9探究．提出问题：(1)运用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？(2)请结合“步骤”解方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，移项得__ax2＋bx＝－c__，二次项系数化为1得__x2＋eq\f(b,a)x＝－eq\f(c,a)__，两边同时加一次项系数一半平方得__x2＋eq\f(b,a)x＋eq\f(b2,4a2)＝eq\f(b2,4a2)－eq\f(c,a)__．左边写成完全平方式，右边整理得__(x＋eq\f(b,2a))2＝eq\f(b2－4ac,4a2)__；(3)(x＋eq\f(b,2a))2＝eq\f(b2－4ac,4a2)两边能直接开平方求解吗？为什么？你觉得应该怎么办？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳1．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当__b2－4ac≥0__时，x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的__求根公式__．2．式子__b2－4ac__叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式．Δ＞0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__有两个不相等的实数根__；Δ＝0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__有两个相等的实数根__；Δ＜0⇔方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__没有实数根__．提出问题：(1)一元二次方程根的情况是由什么决定的？(2)用公式法解一元二次方程的一般步骤是什么？需要注意什么问题？◆活动4例题与练习例1教材P11例2.例2不解方程，判断下列方程的根的情况．(1)x2－2x＋1＝0；(2)3x2＋4x＋5＝0；(3)－x2＋7x＋6＝0.解：(1)b2－4ac＝0，∴方程有两个相等的实数根；(2)b2－4ac＝－44＜0，∴方程无实数根；(3)b2－4ac＝73＞0，∴方程有两个不相等的实数根．例3关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－1＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根．解：(1)依题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－1)＝4m＋5＞0，解得m＞－eq\f(5,4)；(2)答案不唯一，如：m＝1.此时方程为x2＋3x＝0，解得x1＝－3，x2＝0.练习1．教材P12练习第1，2题．2．关于x的一元二次方程x2＋4x＋k＝0有两个相等的实根，则(B)A．k＝－4B．k＝4C．k≥－4D．k≥43．关于x的一元二次方程x2＋ax－1＝0的根的情况是(D)A．没有实数根B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根4．若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是__m＞－4__．◆活动5课堂小结1．求根公式的概念及其推导过程．2．公式法的概念．3．运用公式法解一元二次方程的步骤：(1)将所给的方程化成一般形式，注意移项要变号，尽量让a＞0；(2)找出系数a，b，c，注意各项系数及符号；(3)计算b2－4ac的值，若结果为负数，方程无解；若结果为非负数，代入求根公式算出结果．1．作业布置(1)教材P17习题21.2第4，5题；(2)对应课时练习．2．教学反思21.2.3因式分解法教师备课素材示例●类比导入在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为90m，测量人员说：“正方形土地的面积是矩形土地面积的eq\f(1,3).”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？【分析】设正方形土地的边长为xm．根据题意，得x2＝eq\f(1,3)×90x.这个方程可以用配方法或公式法来解决．因为方程x2＝eq\f(1,3)×90x没有常数项，有共同的因式x，可以用因式分解法求解．【归纳】用因式分解将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式．【教学与建议】教学：类比已学过的一元二次方程的解法，探求更简便的解法，引入因式分解法．建议：利用具体问题列出了一元二次方程后，可以让学生思考怎样解答．●复习导入1.根据要求解下列方程：(1)x2－6x＝0(公式法)；(2)4x(x－2)－5(x－2)＝0(配方法)；(3)9y2－25＝0(直接开平方法)．2．对下列式子进行因式分解：(1)x2－x＝__x(x－1)__；(2)4x2－64＝__4(x＋4)(x－4)__；(3)x2＋8x＋16＝__(x＋4)2__；(4)3x2－12x＋12＝__3(x－2)2__；(5)x2＋5x＋6＝__(x＋2)(x＋3)__；(6)x2－8x－20＝__(x＋2)(x－10)__．3．若a·b＝0，则a＝0或b＝0.根据这一性质，你能快速解出下列方程吗？(1)x2－6x＝0；解：x(x－6)＝0，x1＝0，x2＝6；(2)4x(x－2)－5(x－2)＝0；解：(x－2)(4x－5)＝0，x1＝2，x2＝eq\f(5,4)；(3)9y2－25＝0.解：(3y＋5)(3y－5)＝0，y1＝－eq\f(5,3)，y2＝eq\f(5,3).【教学与建议】教学：通过复习解方程和因式分解的方法，再根据a·b＝0得到a＝0或b＝0的性质尝试分解因式解方程，讲解因式分解法．建议：让学生理解用因式分解法解一元二次方程的原理和特点．命题角度利用因式分解法解一元二次方程用因式分解法解一元二次方程，其原理就是利用因式分解，把一元二次方程降次为两个一元一次方程．【例1】解下列一元二次方程．(1)(x＋4)2＝5(x＋4)；(2)y2－16＝0；(3)9m2－(m＋1)2＝0.解：(1)x1＝－4，x2＝1；(2)y1＝4，y2＝－4；(3)m1＝－eq\f(1,4)，m2＝eq\f(1,2).【例2】选择合适的方法解下列一元二次方程：(1)x2－2x＝99；(2)3x2＋5x－4＝0；(3)x2＋8x－9＝0.解：(1)x1＝－9，x2＝11；(2)x1＝eq\f(－5＋\r(73),6)，x2＝eq\f(－5－\r(73),6)；(3)x1＝1，x2＝－9.高效课堂教学设计1．会用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程．2．进一步体会转化的思想，能选择恰当的方法解一元二次方程．▲重点用因式分解法解一元二次方程．▲难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便.◆活动1新课导入1．若ab＝0，则__a＝0或b＝0__；若(x－a)(x－b)＝0，则方程的根为__x1＝a，x2＝b__．2．分解因式：(1)2x2－2x＝__2x(x－1)__；(2)9x2＋12x＋4＝__(3x＋2)2__．3．将一个多项式进行因式分解，通常有哪几种方法呢？(1)提公因式法：am＋bm＋cm＝__m(a＋b＋c)__；(2)公式法：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__，a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．◆活动2探究新知1．教材P12问题2.提出问题：(1)物体落回地面是什么含义？(2)结合物体落回地面的含义，请列出方程；(3)如何解方程10x－4.9x2＝0？(要求同学们尝试用配方法或公式法解)(4)方程10x－4.9x2＝0有更简便的解法吗？学生完成并交流展示．2．解方程：①3x2＋x＝0；②4x2＝－8x.提出问题：(1)方程3x2＋x＝0中有常数项吗？方程左边可用何种方法分解因式？如何解该方程？(2)②中方程整理后与①中方程特征相同吗？请解此方程；(3)如何用因式分解法解一元二次方程？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳提出问题：(1)上述方程的解法中运用了什么方法？(2)如何利用由“a·b＝0，得a＝0或b＝0”使二次降为一次？(3)由ab＝1，得a＝1或b＝1是否成立？说明理由；(4)什么叫因式分解法？利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？1．对于一元二次方程，先因式分解使方程化为两个一次式的__乘积__等于0的形式，再使这两个一次式分别等于__0__，从而实现__降次__，这种解法叫做因式分解法．2．用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①将方程右边化为__0__；②将方程左边分解成两个一次因式的__乘积__；③令每个因式分别为__0__，得两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．提出问题：(1)解一元二次方程都有哪些方法？(2)探究新知第2题中的两个方程可以用配方法或公式法来求解吗？如果可以，请比较它们与因式分解法的优缺点．(3)用因式分解法解一元二次方程需注意哪些细节问题？配方法要先__配方__，再__降次__，公式法直接利用__求根公式__解方程；因式分解法要先将方程一边化为__两个一次因式相乘__，另一边为__0__，再分别使各一次因式等于__0__．配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便．总之，解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为__一次方程__，即__降次__．◆活动4例题与练习例1教材P14例3.例2用因式分解法解下列方程．(1)7x(3－x)＝2(x－3)；(2)16(x－7)2－9(x＋2)2＝0.解：(1)x1＝3，x2＝－eq\f(2,7)；(2)x1＝eq\f(22,7)，x2＝34.例3用适当的方法解下列一元二次方程．(1)2(x＋3)2＝8；(2)4x2－4eq\r(2)x＋1＝0；(3)(3x－4)2＝9x－12；(4)x2－2x－99＝0.解：(1)原方程系数化为1，可得(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，x1＝－1，x2＝－5；(2)a＝4，b＝－4eq\r(2)，c＝1，Δ＝b2－4ac＝(－4eq\r(2))2－4×4×1＝16＞0，方程有两个不等的实数根，x1＝eq\f(－1＋\r(2),2)，x2＝eq\f(1＋\r(2),2)；(3)移项，得(3x－4)2－(9x－12)＝0.因式分解，得(3x－4)(3x－4－3)＝0.于是得3x－4＝0或3x－7＝0，x1＝eq\f(4,3)，x2＝eq\f(7,3)；(4)移项，得x2－2x＝99，配方，得x2－2x＋1＝99＋1，(x－1)2＝100，由此可得x1＝11，x2＝－9.学生完成展示，教师评价强调：解一元二次方程时，应当仔细观察方程的形式和系数特点，选取合适的方法解一元二次方程，有利于减少计算量，从而提高计算的正确性．在用公式法求解时，需先计算b2－4ac的值，若它小于0，则此方程无实根．一般先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，其次再考虑用公式法或配方法．练习1．教材P14练习第1，2题．2．解方程x－eq\r(2)＝(eq\r(2)－x)2最适合的方法是(C)A．配方法B．公式法C．因式分解法D．直接开平方法3．直角三角形的两条直角边长分别为方程x2－7x＋12＝0的两个实数根，则直角三角形的斜边长为__5__．4．已知：(x2＋y2)(x2＋y2－1)＝6，求x2＋y2的值．解：x2＋y2＝－2(舍去)或x2＋y2＝3.◆活动5课堂小结1．这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法，解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程而达到目的，我们主要利用了因式分解“降次”．在今天的学习中，要逐步领会、掌握“转化”这一数学思想方法.2．因式分解法解一元二次方程的一般步骤是什么？3．归纳解一元二次方程不同方法的优缺点．1．作业布置(1)教材P17习题21.2第6，10题；(2)对应课时练习．2．教学反思*21.2.4一元二次方程的根与系数的关系教师备课素材示例●情景导入十一黄金周刚刚过去，相信同学们一定去过许多美丽、难忘的旅游景点，下面，老师带着大家到法国观光旅游好不好？(出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏：法国文化——埃菲尔铁塔，时装秀，红酒文化，巴黎圣母院．文化是相通的，科学更是这样．在16世纪的法国，诞生了一位伟大的数学家，让我们一起走进历史，了解伟人——代数学之父韦达.【教学与建议】教学：借助情景，阅读了解历史中的代数学之父——韦达．建议：从轻松、愉快、高雅的氛围之中导入新课，自然过渡．●归纳导入解方程并填写下表．(1)x2＋6x－16＝0；(2)2x2－3x＋1＝0；(3)5x2＋4x－1＝0.方程x1x2x1＋x2x1·x2x2＋6x－16＝0__2____－8____－6____－16__2x2－3x＋1＝0__1____eq\f(1,2)____eq\f(3,2)____eq\f(1,2)__5x2＋4x－1＝0__－1____eq\f(1,5)____－eq\f(4,5)____－eq\f(1,5)__【归纳】方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根x1，x2与a，b，c之间的关系是x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).【教学与建议】教学：求一元二次方程的根，明确一元二次方程根与系数之间的联系．建议：分小组计算．命题角度1根据根与系数关系求方程的解利用一元二次方程根与系数的关系求得x1＋x2和x1x2的值，然后再将已知的根代入x1＋x2或x1x2中，求得另一根．【例1】已知x＝2是关于x的一元二次方程x2＋3x＋m－2＝0的一个根，则m的值是__－8__，方程的另一个根是__－5__．命题角度2已知一元二次方程求含根的代数式的值先将要求的代数式变形为含有两根之和或两根之积的式子，再利用根与系数的关系代入求值计算即可．【例2】(1)若x1，x2是一元二次方程5x2＝4－2x的两根，则x1－x1x2＋x2的值是(D)A．－eq\f(2,5)B．eq\f(6,5)C．－eq\f(6,5)D．eq\f(2,5)(2)若方程x2＋3x－4＝0的两个根分别为x1，x2，则eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)的值为__eq\f(3,4)__．命题角度3由两根关系式求参数的值借助根与系数的关系求得参数的值．【例3】(1)设x1，x2是关于x的方程x2－3x＋k＝0的两个根，且x1＝2x2，则k＝__2__．(2)若关于x的方程x2－2mx＋m2－m＝0有两个实数根α，β，且eq\f(1,α)＋eq\f(1,β)＝1，则m＝__3__．(3)已知m，n是方程x2＋x－3＝0的两个实数根，则m2－n＋2023的值是__2__027__．命题角度4根与系数的关系和根的判别式的综合应用灵活运用根的判别式与一元二次方程根与系数的关系是解决方程中字母的取值等问题的关键．此知识作为考点出现在各地．【例4】已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；(2)是否存在m使得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意，得Δ＝(2m－1)2－4×1×m2≥0，解得m≤eq\f(1,4)；(2)存在．∵xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝0，∴(x1＋x2)(x1－x2)＝0，∴x1＝x2或x1＝－x2.①当x1＝x2时，Δ＝(2m－1)2－4×1×m2＝0，解得m＝eq\f(1,4)；②当x1＝－x2时，x1＋x2＝－(2m－1)＝0，解得m＝eq\f(1,2).与(1)问所求m的取值范围矛盾，舍去．综上所述，m＝eq\f(1,4).韦达定理韦达定理是指一元n次方程中根和系数之间的关系，中学课本里一般特指一元二次方程的根与系数的关系．法国数学家韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的这种关系，因此人们把这个关系称为韦达定理．早在公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解简单的一元二次方程了，古埃及的纸草文书中也有所提及，公元前480年，中国数学家使用配方法求得了二次方程的正根，还在方程的研究中应用了内插法，可惜的是，并没有提出通用的求解方法．公元628年，印度数学家婆罗摩笈多出版了《婆罗摩修正体系》，给出了一元二次方程x2＋px＋q＝0的一个求根公式．公元820年，阿拉伯数学家花拉子米出版了《代数学》，书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，他把方程的未知数叫做“根”，承认方程有两个根，并有无理根存在．同样可惜，他未认识到虚根这个概念．16世纪，意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根，与此同时，法国数学家韦达在研究二次方程时注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根．虽然，由于时代的局限性，韦达当时没能从理论上证明，但他的数学思想和数学著作都大大充实了数学宝库．历史是有趣的，虽然韦达在16世纪就得出了这个定理，但是要证明这个定理却需要依靠代数基本定理，而代数基本定理却在1799年才被高斯第一次实质性地论证.1615年，韦达发表了关于方程论的著作《论方程的整理与修正》，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系．韦达，1540年生于法国普瓦图，在欧洲被尊称为“代数学之父”，他致力于数学研究，第一次有意识地、系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，除推出一元方程在复数范围内恒有解外，他还给出了根与系数的关系．他最早系统地引入了代数符号，推动了方程论的发展．他用“分析”这个词来概括当时代数的内容和方法，系统阐述并改良了三、四次方程的解法，给出了三次方程不可约情形的三角解法．其实，韦达从事数学研究只是由于爱好，然而这个爱好却助他取得了代数和三角学方面的巨大成就．韦达定理在建立方程、研究方程根的性质、解方程组，以及几何中涉及到两个量的和与积的问题等领域都被广泛应用．高效课堂教学设计1．了解一元二次方程的根与系数的关系，能运用它由已知一元二次方程的一个根求出另一个根及未知系数．2．在不解一元二次方程的情况下，会求直接(或变形后)含有两根与两根积的代数式的值，并从中体会整体代换的思想．▲重点一元二次方程的根与系数的关系．▲难点让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系．◆活动1新课导入(1)一元二次方程的一般形式：__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__；(2)一元二次方程的求根公式：__x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)(b2－4ac≥0)__；(3)一元二次方程的系数与根有着密切的关系，今天让我们进一步研究一元二次方程的根与系数a，b，c之间的关系．◆活动2探究新知1．解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1＋x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？一元二次方程x1x2x1＋x2x1·x2x2＋6x－16＝0－82－6－16x2－2x－5＝0eq\r(6)＋1－eq\r(6)＋12－52x2－3x＋1＝01eq\f(1,2)eq\f(3,2)eq\f(1,2)5x2＋4x－1＝0－1eq\f(1,5)－eq\f(4,5)－eq\f(1,5)2.教材P15第1个思考．提出问题：(1)将方程(x－x1)(x－x2)＝0化成一般形式为__x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0__；(2)将一般形式与x2＋px＋q＝0进行比较，由此可得p＝__－(x1＋x2)__，q＝__x1x2__．即x1＋x2＝__－p__，x1x2＝__q__；(3)请归纳方程x2＋px＋q＝0的两根x1，x2与系数p，q之间的关系．学生完成并交流展示．3．教材P15第2个思考．提出问题：(1)如果一元二次方程的二次项系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？你能证明你的猜想吗？(2)由求根公式可知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，两根分别为x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a).观察两式右边，分母相同，分子是－b＋eq\r(b2－4ac)与－b－eq\r(b2－4ac).两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？x1＋x2＝__－eq\f(b,a)__，x1x2＝__eq\f(c,a)__．(3)由此你能得出方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有怎样的关系吗？把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两边同时除以a，能否得出该结论？为什么？学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则有x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).即：任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于__一次项系数与二次项系数的比的相反数__，两个根的积等于__常数项与二次项系数的比__．提出问题：(1)方程的根是由什么决定的？(2)在运用根与系数的关系解决具体问题时，是否需要考虑根的判别式Δ＝b2－4ac≥0呢？为什么？◆活动4例题与练习例1教材P16例4.例2已知a，b为实数，且满足a2－2a－1＝0，b2－2b－1＝0，求eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)的值．解：当a＝b时，eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝2.当a≠b时，a，b可看作方程x2－2x－1＝0的两根，则a＋b＝2，ab＝－1，因此eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝eq\f(（a＋b）2－2ab,ab)＝eq\f(22－2×（－1）,－1)＝－6.因此eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)的值为2或－6.练习1．教材P16练习．2．已知一元二次方程2x2－5x＋1＝0的两根为m，n，则m2＋n2＝__eq\f(21,4)__．3．设一元二次方程x2－7x＋3＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝__7__，x1x2＝__3__，(x1－2)(x2－2)＝__－7__．4．已知关于x的一元二次方程x2＋(2m－1)x＋m2＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数m的取值范围；(2)是否存在m使得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝0成立？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．解：(1)∵原方程有两个实数根，∴Δ＝(2m－1)2－4m2＝4m2－4m＋1－4m2＝－4m＋1≥0，∴m≤eq\f(1,4)；(2)假使存在实数m使得xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＝0，∴x1＋x2＝0或x1＝x2.当x1＋x2＝0时，－(2m－1)＝0，∴m＝eq\f(1,2)＞eq\f(1,4)(舍)；当x1＝x2时，Δ＝0，∴m＝eq\f(1,4).◆活动5课堂小结一元二次方程根与系数的关系：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a).1．作业布置(1)教材P17习题21.2第7题；(2)对应课时练习．2．教学反思21.3实际问题与一元二次方程第1课时传播问题与握手问题教师备课素材示例●情景导入一种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？①第一轮感染了多少台电脑？__x台__②第一轮后共有多少台电脑被感染？__(x＋1)台__③第二轮感染了多少台电脑？__(x＋1)x台__④第二轮后共有多少台电脑被感染？__(1＋x)2台__⑤列出方程．__(1＋x)2＝81__【教学与建议】教学：通过教师提出问题，引导学生对问题进行深入探讨，最终找出题目中的等量关系．建议：教师可针对此问题一步步引导学生思考并解决．●复习导入1.解一元二次方程有哪些方法？怎样选择恰当的方法解方程？2．用含x的代数式表示两个连续偶数(或奇数)________，表示三个连续整数________；个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c的三位数是________；n个球队参加足球比赛，采用双循环制，主办方一共需要安排________场比赛．3．俗话说：“一传十，十传百”．疾病的传染相当迅猛，若每人每轮的传播速度相同，试完善下列表格．开始生病的人数11第一轮传染的人数10x第一轮传染后生病的总人数__1＋10____1＋x__第二轮传染的人数__(1＋10)×10____(1＋x)x__第二轮传染后生病的总人数(1＋10)＋(1＋10)×10＝__(1＋10)2__(1＋x)＋(1＋x)x＝__(1＋x)2__第三轮传染的人数__(1＋10)2×10____(1＋x)2x__第三轮传染后生病的总人数(1＋10)2＋(1＋10)2×10＝__(1＋10)3__(1＋x)2＋(1＋x)2x＝__(1＋x)3__………4.列方程解应用题的步骤有哪些？【教学与建议】教学：本节重在建立数学模型，列方程解决问题，所以只需简单复习一下一元二次方程的解法，为本节构造一元二次方程模型的学习奠定基础．建议：类比用一元一次方程(组)解应用题的学习方法来学习本节内容．命题角度1传播与裂变问题常见类型包括细胞分裂、信息传播、疾病传染等．【例1】(1)某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是(C)A．4B．5C．6D．7(2)若有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，则每轮传染中平均每人传染了__10__个人．命题角度2握手问题注意握手问题和“每两个人互送礼物”的区别与联系．【例2】(1)有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是(A)A．eq\f(1,2)x(x－1)＝45B．eq\f(1,2)x(x＋1)＝45C．x(x－1)＝45D．x(x＋1)＝45(2)某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1640张相片．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为(D)A．eq\f(1,2)x(x－1)＝1640B．x(x＋1)＝1640C．2x(x＋1)＝1640D．x(x－1)＝1640命题角度3数字问题常见类型有整数的和差倍分，列一元二次方程来求解．【例3】有一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位上的数字的平方正好等于这个两位数，求这个两位数．解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x－3).根据题意，得x2＝x＋10(x－3).解得x1＝5，x2＝6.当x＝5时，x－3＝2.当x＝6时，x－3＝3.答：这个两位数是25或36.方程在海湾战争中的应用1991年海湾战争时，有一个问题放在美军计划人员面前，如果伊拉克把科威特的油井全部烧掉，那么冲天的黑烟会造成严重的后果，这还不只是污染．满天烟尘，阳光不能照到地面，就会引起气温下降，如果失去控制，造成全球性的气候变化，可能造成不可挽回的生态与经济后果．五角大楼因此委托一家公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真，得出结论，认为点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果．这对美国军方计划海湾战争起了一定的作用，所以有人说：“第一次世界大战是化学战争(炸药)，第二次世界大战是物理学战争(原子弹)，而海湾战争是数学战争．”高效课堂教学设计1．会列出一元二次方程解决传播、握手、比赛问题，学会将实际问题转化为数学问题．2．经过“问题情境——建立模型——求解——解答与应用”的过程，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力．▲重点列一元二次方程解决传播、握手等问题．▲难点找出传播、握手等问题中的等量关系．◆活动1新课导入填空：若一人患流感，每轮能传染5个人，则第一轮过后共有__6__个人患了流感，第二轮过后共有__36__个人患了流感．我们遇见过一些用列方程来解的实际应用问题，你能说说列方程解应用问题的步骤是怎样的吗？◆活动2探究新知1．教材P19探究1.提出问题：(1)本题中有哪些等量关系？如何理解两轮传染？(2)若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么第一轮后，共有____人患了流感；第二轮后共有________人患了流感；(3)本题中的等量关系是什么？请列出方程；(4)请将所列出的方程进行化简并求解，为什么负值要舍去？学生完成并交流展示．2．教材P19思考．提出问题：(1)上述问题中如果按这样的传播速度，三轮传染后有多少人患了流感？n轮后呢？(2)通过对上述问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？3．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，求有多少人参加这次聚会．学生完成并交流展示．◆活动3知识归纳若原有a个传染源，每轮每个传染x人，传染n轮后的总人数为a(1＋x)n.◆活动4例题与练习例1某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支．依题意可列方程1＋x＋x2＝91.解这个方程，得x1＝9，x2＝－10(负根不合题意，舍去).答：每个支干长出9个小分支．例2两个数的和是14，积是33，求这两个数．解：设其中一个数为x，则另一个数为14－x.由题意，得x(14－x)＝33，解得x1＝3，x2＝11，即这两个数分别为3，11.练习1．教材P21习题21.3第2，4，6题．2．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场(B)A．4个B．5个C．6个D．7个3．一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是(B)A．6B．7C．8D．94．九(1)班同学毕业的时候，每人都必须与其他任何一位同学合照一张双人照，全班共照照片780张，则九(1)班有__40__人．◆活动5课堂小结1．“传播问题”的两种模型：①传染源参与两轮传染；②传染源只参与第一轮传染．2．总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：审、设、找、列、解、答，最后还要检验根是否符合实际意义．1．作业布置(1)教材P25复习题21第7题；(2)对应课时练习．2．教学反思第2课时平均变化率与销售问题教师备课素材示例●情景导入我们经常从电视新闻中听到或看到有关增长率的问题，例如2023年国内生产总值预期增长5%左右；空气污染指数比去年降低3.2%；能源汽车交易量比去年产量翻一番……由此我们可以看出，增长率问题无处不在，无时不有，这节课我们就一起来探索增长率问题．【教学与建议】教学：以实际问题为背景导入，培养学生利用数学知识解决实际问题的能力，突出体现了数学的应用价值．建议：创设问题情境，激发学生学习的兴趣和欲望．●置疑导入月季花每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？解：设每盆多植x株，株数是__(3＋x)__株，每株的盈利是__(4－0.5x)__元，可列方程为__(3＋x)(4－0.5x)＝15__．【教学与建议】教学：通过上面两种问题的呈现，引导学生思考对降价促销的理解，讲解利润的计算方法：利润＝株数×每株的盈利．建议：采用提问学生的方式进行．命题角度1增长率问题增长率问题常见等量关系：①原产量＋增产量＝现在的产量；②单位时间增产量＝原产量×增长率；③现在产量＝原产量×(1＋增长率)；④现在的产量＝原产量×(1±x)n.【例1】(1)共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为(A)A．1000(1＋x)2＝1000＋440B．1000(1＋x)2＝440C．440(1＋x)2＝1000D．1000(1＋2x)＝1000＋440(2)某家用电器经过两次降价，每台零售价由350元下降到252元．若第二次降价的百分率是第一次降价百分率的2倍．设第一次降价的百分率为x，则可列出关于x的方程为__350(1－x)(1－2x)＝252__．命题角度2商品营销问题销售问题中常见的等量关系：①利润＝售价－进价(成本)；②总利润＝每件商品的利润×总件数；③利润率＝eq\f(利润,进价)×100%；④售价＝标价×eq\f(打折数,10)＝进价×(1＋利润率)．【例2】(1)某商品的进价为每件20元，当售价为每件30元时，每天可卖出100件，现需要降价处理，且经市场调查：每降价1元，每天可多卖出10件．现在要使每天的销售利润为750元，每件商品应降价(D)A．2元B．2.5元C．3元D．5元(2)百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件．为了迎接“五一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件，要想平均每天销售这种童装盈利1200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？解：设每件童装应降价x元．根据题意，得(100－60－x)(20＋2x)＝1200.解得x1＝10，x2＝20.∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，∴x＝20，∴每件童装应定价为100－20＝80(元).答：每件童装应定价80元．欧拉帮忙算鸡蛋一天，欧拉去买鸡蛋，卖鸡蛋的农妇看到了欧拉，便想要试试这个其貌不扬的学者的能力，当欧拉问到她们的鸡蛋数量的时候，她们说：“我们带着100枚鸡蛋来到集市，我们两人所带的鸡蛋数虽不同，但是卖得的钱数一样．”第一个农妇对第二个农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板．”第二个农妇回答：“但是如果你的鸡蛋换给我，我就只能卖得6eq\f(2,3)个铜板．”欧拉想了想说：“你(指着第一个农妇)有40