2023年北京市初三（上）期末数学试题汇编：直线和圆

第1页/共1页2023北京初三（上）期末数学汇编直线和圆一、单选题1．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）已知的半径为2，点O到直线l的距离是4，则直线l与的位置关系是（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．以上情况都有可能二、填空题2．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，A，B、C三点都在上，，过点A作的切线与的延长线交于点P，则的度数是_________．3．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）如图，，是的切线，切点分别为，．若，，则的长为________．4．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，在⊙O中，AB切⊙O于点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD．若∠B=50°，则∠OCD的度数等于___________．5．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，P为x轴正半轴上一点．已知点，，为的外接圆．（1）点M的纵坐标为______；（2）当最大时，点P的坐标为______．6．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，是的切线，是切点．若，则______________．三、解答题7．（2023秋·北京密云·九年级统考期末）如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至F，连接，使得．(1)求证：是的切线；(2)已知，，求的半径长．8．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）在平面直角坐标系中，已知点和点．对于线段和直线外的一点，给出如下定义：点到线段两个端点的连线所构成的夹角叫做线段关于点的可视角，其中点叫做线段的可视点．(1)在点、、中，使得线段的可视角为的可视点是；(2)为经过，两点的圆，点是上线段的一个可视点．①当为的直径时，线段的可视角为度；②当的半径为4时，线段的可视角为度；(3)已知点为轴上的一个动点，当线段的可视角最大时，求点的坐标．9．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）下面是小美设计的“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程．已知：点A在上．求作：的切线．作法：①作射线；②以点A为圆心，适当长为半径作弧，交射线于点C和点D；③分别以点C，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交点B；④作直线．则直线即为所求作的的切线.根据小美设计的尺规作图过程，解决下面的问题：(1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）(2)完成下面的证明.证明：连接，．由作图可知，，．∴．∵点A在上，∴直线是的切线()(填写推理依据)．10．（2023秋·北京东城·九年级统考期末）如图，点在以为直径的上，平分交于点D，交于点E，过点D作交的延长线于点F．(1)求证：直线是的切线；(2)若°，，求DF的长．11．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，已知是半圆的直径，点是半圆上一点，连接，并延长到点，使，连接．(1)求证：．(2)若，，求阴影部分的面积．12．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图，是直角三角形的外接圆，直径，过点作的切线，与延长线交于点，为的中点，连接，且与相交于点．(1)求证：与相切；(2)当时，在的圆上取点，使，求点到直线的距离．13．（2023秋·北京西城·九年级北京市第六十六中学校考期末）如图，是的直径，弦于点，是的外角的平分线．(1)求证：是的切线；(2)连接并延长交于点，若的半径为，，求的长．14．（2023秋·北京平谷·九年级统考期末）如图，已知锐角，以为直径画，交边于点M，平分与交于点D，过点D作于点E．(1)求证：是的切线；(2)连接交于点F，若，，求长．15．（2023秋·北京海淀·九年级北京市十一学校校考期末）如图，AB为的直径，点C在上，连接AC，BC，过点O作于点D，过点C作的切线交OD的延长线于点E．（1）求证：；（2）连接AD．若，，求AD的长．

参考答案1．A【分析】欲求直线l与圆O的位置关系，关键是比较圆心到直线的距离d与圆半径r的大小关系．若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离．据此判断即可．【详解】∵圆半径，圆心到直线的距离．∴，∴直线l与的位置关系是相离．故选：A．【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，解题的关键是可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定．2．/20度【分析】连接，则，由圆周角定理得：，进而求出的度数．【详解】连接∵∴∵过点A作的切线与的延长线交于点P∴∴故答案为：【点睛】本题考查切线的性质和圆周角定理，解题的关键是连接，运用相关定理求解．3．【分析】根据切线长定理和切线的性质，得出，，再根据等腰三角形的判定定理，得出为等腰三角形，再根据角之间的数量关系，得出，再根据等边三角形的判定定理，得出为等边三角形，再根据等边三角形的性质，得出，进而即可得出答案．【详解】解：∵，分别为的切线，∴，，∴为等腰三角形，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∵，∴．故答案为：【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质、等腰三角形的判定定理、等边三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．4．20°/20度【分析】连接OA，如图，根据切线的性质得到∠OAB=90°，则利用互余可计算出∠AOB=40°，再利用圆周角定理得到∠ADC=20°，然后根据平行线的性质得到∠OCD的度数．【详解】解：连接OA，如图，∵AB切⊙O于点A，∴OA⊥AB，∴∠OAB=90°，∵∠B=50°，∴∠AOB=90°-50°=40°，∴∠ADC=∠AOB=20°，∵AD∥OB，∴∠OCD=∠ADC=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．5．5(4，0)【分析】（1）根据点M在线段AB的垂直平分线上求解即可；（2）点P在⊙M切点处时，最大，而四边形OPMD是矩形，由勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵⊙M为△ABP的外接圆，∴点M在线段AB的垂直平分线上，∵A(0，2)，B(0，8)，∴点M的纵坐标为：，故答案为：5；（2）过点，，作⊙M与x轴相切，则点M在切点处时，最大，理由：若点是x轴正半轴上异于切点P的任意一点，设交⊙M于点E，连接AE，则∠AEB=∠APB，∵∠AEB是ΔAE的外角，∴∠AEB>∠AB，∵∠APB>∠AB，即点P在切点处时，∠APB最大，∵⊙M经过点A(0，2)、B(0，8)，∴点M在线段AB的垂直平分线上，即点M在直线y=5上，∵⊙M与x轴相切于点P，ＭP⊥x轴，从而MP=5，即⊙M的半径为5，设AB的中点为D，连接MD、AM，如上图，则MD⊥AB，AD=BD=AB=3，BM=MP=5，而∠POD=90°，∴四边形OPMD是矩形，从而OP=MD，由勾股定理，得MD=，∴OP=MD=4，∴点P的坐标为(4，0)，故答案为：(4，0)．【点睛】本题考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的判定及勾股定理，正确作出图形是解题的关键．6．130°【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．【详解】解：∵是的切线，∴，∴由四边形内角和可得：，∵，∴；故答案为130°．【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．7．(1)见解析(2)2【分析】（1）连接，由垂径定理的推论可得垂直平分，，进一步得，，可得，得，结论得证；（2）作于点H，连接，则，由角平分线的性质定理得到，设的半径长为r,则，再证，得到，即可求得答案．【详解】（1）连接，∵是的直径，是的弦，，∴垂直平分，，∴，∴，∵，∴，∵的度数，度数的度数，∴，∴，∴，∴，∵是的半径，∴是的切线；（2）作于点H，连接，∵，，∴，∴，∵，∴，设的半径长为r，则，∵，∴，∴，∴，解得，∴的半径长为2．【点睛】此题主要考查了垂径定理及推论、圆周角定理及推论、相似三角形的判定和性质、切线的判定定理等知识，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题的关键．8．(1)(2)①；②(3)或【分析】（1）以为底作等腰直角三角形，以直角顶点为圆心，直角边为半径作圆，则、两点与优弧上点形成的角是的可视角的可视点；（2）①是直径，可视角是；②半径是4时，圆心和、两点形成的是等边三角形，圆心角是，故可视角是；（3）当是最大时，过两点的圆与轴相切，进而可求得结果．【详解】（1）解：如图1，以为底在轴作等腰和，以和为圆心，为半径作和，当点在优弧上或上时，线段的可视角是，此时，点，，因为点在圆外，所以点不是的可视角为的可视点，，点是的可视角为的可视点，，点不是的可视角为的可视点，故答案是：；（2）①是直径，，②，，，故答案是：，；（3）如图2，作的外接圆，作直径，连接，，，，，当最小时，最大，即最大，点在上，当和轴相切时，最大，此时，连接，作于，轴，，在中，，，，，或．【点睛】本题是新定义理解题，考查了圆周角定理及其推论，圆的切线性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是确定最大时，是的外接圆与轴相切．9．(1)见解析；(2)；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】（1）依据题意，按步骤正确尺规作图即可；（2）结合作图，完成证明过程即可．【详解】（1）补全图形如图所示，（2）证明：连接，．由作图可知，，．∴，∵点A在上，∴直线是的切线(经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故答案为：；；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线【点睛】本题考查了尺规作图能力和切线的证明；能够按要求规范作图是解题的关键．10．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，证明可得结论；（2）再中，，，得到，，再在中，由，继而求得；【详解】（1）证明：连接．∵是的直径，平分，∴.又∵，∴．即．∴直线为的切线．（2）解：∵是的直径，∴．又∵，，∴．∴．∵，∴.∵，∴,，设则，又，在中，由勾股定理得：，解得：，故【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，平行线的判定，特殊角的直角三角形性质，等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题．11．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由圆周角定理可知，再由即可得出结论；（2）连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出的度数，由圆周角定理求出，根据等边三角形的性质可得，由勾股定理，和直角三角形的性质求得，，根据即可得出结论．【详解】（1）证明：连接，是半圆的直径，，，，．（2）解：连接，过点作，，，，，，，，，，．【点睛】本题考查的是不规则图形的面积计算，扇形面积，圆周角定理，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．(1)见解析(2)或【分析】（1）根据题意可得，根据直径所对的圆周角是直角，得出，进而得出，证明，得出，即可得证；（2）分点在以及半圆上，分别作出图形，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：如图，为的中点，是中点，，是的直径，，，，又，，，是切线，，，是切线；（2）当点在上时，连接，交于点，，，，，直径，，，当点在半圆上时，过点作，垂足为点,，垂足为点，四边形是矩形，在中，，，，．【点睛】本题考查了切线的判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，直径所对的圆周角是直角，综合运用以上知识是解题的关键．13．(1)见解析(2)【分析】（1）利用等腰三角形的三线合一性，可以判断是的角平分线，因为邻角互补，进而可得最后推出是的切线；（2）利用外角定理可得，从而得到，利用三线合一性可知，进而可以得到是等边三角形，根据角所对直角边是斜边的一半即可求得．【详解】（1）解：∵是直径，∴平分弦∴垂直平分线段∴是的角平分线，是等腰三角形∴∴是外角的平分线∴∴是是切线（2）解：∵，是是切线∴∴∵∴∴∵是等腰三角形∴是等边三角形∴∵，∴∴中，∴∴【点睛】本题考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理等相关知识点，根据已知条件并结合图形去分析是解题的关键．14．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据可得，根据角平分线的定义，则，最后根据，，即可证明；（2）连接，可得，即可求出的长度，根据勾股定理求出的长度，进而求出的长度，通过证明，即可根据相似三角形对应边成比例求解．【详解】（1）证明：连接，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切线；（2）如图：连接，∵为直径，，∴，∵，平分，∴，∴，在中，根据勾股定理可得，∴，在中，根据勾股定理可得，∵，，∴，∴，∴，∴，即，解得：．【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握相关内容并灵活运用．15．（1）证明见解析；（2）AD=4【分析】（1）连接