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文档简介
专题2.1平方根【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平方根概念理解】 1【题型2求一个数的(算术)平方根】 2【题型3求代数式的(算术)平方根】 2【题型4由(算术)平方根求式子的值】 3【题型5由平方根的概念解方程】 3【题型6由算术平方根的非负性求值】 3【题型7估算算术平方根的取值范围】 3【题型8求算术平方根的整数部分和小数部分】 4【题型9平方根与数轴的综合】 4【题型10算术平方根的规律探究】 5知识点:平方根平方根:①定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做②表示方法:正数a的正的平方根记作a,负的平方根记作−a,正数a的两个平方根记作±负根号a,其中a叫做被开方数.③性质:一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根.算术平方根:(1)定义:正数a有两个平方根±a,我们把正数a的正的平方根a,叫做a(2)性质:①正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;②负数没有算术平方根.当a≥0时,a2③算术平方根具有双重非负性:a≥0;a≥0【题型1平方根概念理解】【例1】(23-24八年级·四川泸州·期末)若实数3m−6有平方根,则m的取值范围是(
)A.m≤2 B.m<2 C.m>2 D.m≥2【变式1-1】(23-24八年级·河南信阳·期末)若a2=6,则下列说法正确的是(A.a是6的算术平方根 B.a是6的平方根C.6是a的平方根 D.a=【变式1-2】(23-24八年级·湖北武汉·期中)写一个平方根是它本身的数.【变式1-3】(23-24八年级·全国·课后作业)下列各数中,不一定有平方根的是()A.x2+1 B.|x|+2 C.a+1 D.|a【题型2求一个数的(算术)平方根】【例2】(23-24八年级·上海杨浦·期末)下列计算正确的是(
)A.−(−6)2=−6 C.16=±4 D.【变式2-1】(23-24八年级·上海嘉定·期末)36−5的平方根是【变式2-2】(23-24八年级·全国·假期作业)按照如图所示的操作步骤,若输入x的值为3,则输出的值为.输入【变式2-3】(23-24八年级·山东菏泽·期中)一个数的算术平方根是4,则比这个数多9的数的平方根是.【题型3求代数式的(算术)平方根】【例3】(23-24八年级·河南洛阳·阶段练习)已知2a−1的平方根是±3,3a+b−1的算术平方根是4,则a+2b=【变式3-1】(23-24春·湖北武汉·八年级校联考期中)关于x的多项式7x3−11mx2−15x+9与多项式22xA.3 B.−3 C.±3 D.±【变式3-2】(23-24八年级·湖北荆门·期中)如果自然数a的平方根是±m,那么a+1的平方根用m表示为()A.±(m+1) B.(m2+1) C.±m+1 D.【变式3-3】(23-24八年级·山东德州·阶段练习)已知正数a的两个不同的平方根分别是3x−2和5x+10,a+b−4的算术平方根是3.(1)求a、b的值;(2)求a−2b的平方根.【题型4由(算术)平方根求式子的值】【例4】(23-24八年级·全国·专题练习)已知一个数的算术平方根为3m−4,它的平方根为±(m−1),则这个数是.【变式4-1】(23-24八年级·云南保山·期中)已知x=25,y是4的算术平方根,则3x−2y的值为【变式4-2】(23-24八年级·河南新乡·期中)已知1−3b与2a+1互为相反数,求−3b+2a+6的平方根.【变式4-3】(23-24八年级·湖南永州·期末)若xm=y,则记x,y=m,例如32=9,于是3,9=2.若−2,a=2,b,8A.16 B.−2 C.2或−2 D.16或−16【题型5由平方根的概念解方程】【例5】(23-24八年级·上海徐汇·期中)解方程:12x=−x【变式5-1】(23-24八年级·广西钦州·阶段练习)解方程:(1)4x(2)9x【变式5-2】(23-24八年级·贵州黔南·期中)【变式1】解方程:(1)25x(2)2x+1【变式5-3】(23-24八年级·上海徐汇·期中)解方程:92x+1【题型6由算术平方根的非负性求值】【例6】(23-24八年级·江西南昌·阶段练习)已知y=x−3+3−x+1,则【变式6-1】(23-24八年级·湖南长沙·期中)若x,y为实数,且x−3+y+4=0,则x+yA.1 B.2024 C.−1 D.−2024【变式6-2】(23-24八年级·江西新余·期中)(1)已知2x−4y−5+2x−3=0(2)已知a、b满足2a+8+b−3=0,解关于【变式6-3】(23-24八年级·浙江杭州·期中)若a−2023+b+2023−1=0,其中a,b均为整数,则【题型7估算算术平方根的取值范围】【例7】(23-24八年级·新疆和田·期中)已知a,b为两个连续的整数,且12的负平方根介于a,b之间,则a+b=【变式9-2】(23-24八年级·北京·期中)图,面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上,且表示的数为1,若点E在数轴上(点E在点A的右侧),且AB=AE,则点E所表示的数为()A.7 B.2+72 C.1+7 D.【变式9-3】(23-24八年级·江西南昌·期中)图1是由16个边长均为1的小正方形组成的图形,我们沿图的虚线AB,BC,CD,DA裁剪,剪成一个小正方形ABCD.(1)在图1中,剪成的小正方形ABCD的面积为________,边AB的长为________;(2)现将图1水平放置在如图2所示的数轴上,使得小正方形的顶点D与数轴上表示1的点重合,若以点D为圆心,DA边的长为半径画圆,与数轴交于点E,求点E表示的数.【题型10算术平方根的规律探究】【例10】(23-24八年级·四川德阳·阶段练习)利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下:⋅⋅⋅0.06250.6256.2562.5625625062500⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.250.79062.57.9062579.06250⋅⋅⋅根据以上规律,若14.4≈3.79,1.44=1.2,则1440A.37.9 B.379 C.12 D.120【变式10-1】(23-24八年级·安徽蚌埠·阶段练习)有一列数按如下规律排列:−22,34,−14,516,−632,【变式10-2】(23-24八年级·广东惠州·阶段练习)观察下列各式:①2+23=223,②3+【变式10-3】(23-24八年级·安徽安庆·期末)观察下列各式:1+11+11+1请利用你所发现的规律,解决下列问题:(1)发现规律1+142(2)计算1+1专题2.1平方根【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1平方根概念理解】 2【题型2求一个数的(算术)平方根】 3【题型3求代数式的(算术)平方根】 4【题型4由(算术)平方根求式子的值】 6【题型5由平方根的概念解方程】 8【题型6由算术平方根的非负性求值】 9【题型7估算算术平方根的取值范围】 11【题型8求算术平方根的整数部分和小数部分】 13【题型9平方根与数轴的综合】 15【题型10算术平方根的规律探究】 18知识点:平方根平方根:①定义:如果x2=a(a≥0),那么x叫做②表示方法:正数a的正的平方根记作a,负的平方根记作−a,正数a的两个平方根记作±负根号a,其中a叫做被开方数.③性质:一个正数有两个平方根,这两个平方根互为相反数,零的平方根是零,负数没有平方根.算术平方根:(1)定义:正数a有两个平方根±a,我们把正数a的正的平方根a,叫做a(2)性质:①正数的算术平方根是一个正数;0的算术平方根是0;②负数没有算术平方根.当a≥0时,a2③算术平方根具有双重非负性:a≥0;a≥0【题型1平方根概念理解】【例1】(23-24八年级·四川泸州·期末)若实数3m−6有平方根,则m的取值范围是(
)A.m≤2 B.m<2 C.m>2 D.m≥2【答案】D【分析】此题考查了平方根的性质,根据平方根的性质求解即可.【详解】∵实数3m−6有平方根,∴3m−6≥0∴m≥2.故选:D.【变式1-1】(23-24八年级·河南信阳·期末)若a2=6,则下列说法正确的是(A.a是6的算术平方根 B.a是6的平方根C.6是a的平方根 D.a=【答案】B【分析】本题考查了平方根定义,根据平方根定义判断即可,解题的关键是正确理解平方根的定义.【详解】解:∵a2∴a是6的平方根,故选:A.【变式1-2】(23-24八年级·湖北武汉·期中)写一个平方根是它本身的数.【答案】0【分析】本题考查平方根,掌握平方根的性质是解题的关键.根据平方根的性质进行解题即可.【详解】解:平方根是它本身的数是:0.故答案为:0.【变式1-3】(23-24八年级·全国·课后作业)下列各数中,不一定有平方根的是()A.x2+1 B.|x|+2 C.a+1 D.|a【答案】D【分析】根据平方根的性质解答即可.【详解】A、∵x2+1>0,∴该数有平方根;B、∵|x|+2>0,∴该数有平方根;C、a+1D、∵a≥0,∴|a故选:D.【点睛】此题考查了平方根的性质:正数有两个平方根,0有一个平方根是0,负数没有平方根,正确掌握实数的大小估算确定其为正数、负数或是0是解题的关键.【题型2求一个数的(算术)平方根】【例2】(23-24八年级·上海杨浦·期末)下列计算正确的是(
)A.−(−6)2=−6 C.16=±4 D.【答案】A【分析】根据算术平方根,平方根的意义解答即可.本题考查了算术平方根,平方根,熟练掌握定义是解题的关键.【详解】A.−−62B.−62C.16=4,错误,不符合题意;D.41故选A.【变式2-1】(23-24八年级·上海嘉定·期末)36−5的平方根是【答案】±1【分析】本题考查了算术平方根和平方根的意义,先根据算术平方根的意义化简,再根据平方根的意义求解即可.【详解】解:∵36∴36−5的平方根是故答案为:±1.【变式2-2】(23-24八年级·全国·假期作业)按照如图所示的操作步骤,若输入x的值为3,则输出的值为.输入【答案】±【分析】根据题意,得±x−52+3本题考查了程序式代数式的计算,平方根的计算,熟练掌握平方根的计算是解题的关键.【详解】根据题意,得±x−5当x=3时,±7故答案为:±7【变式2-3】(23-24八年级·山东菏泽·期中)一个数的算术平方根是4,则比这个数多9的数的平方根是.【答案】±5【分析】本题主要考查了已知一个数的算术平方根求这个数,以及求一个数的平方根,根据题意可知这个数是42【详解】解:一个数的算术平方根是4,这个数是42比这个数多9的数是:16+9=25,∴25的平方根为:±5,故答案为:±5.【题型3求代数式的(算术)平方根】【例3】(23-24八年级·河南洛阳·阶段练习)已知2a−1的平方根是±3,3a+b−1的算术平方根是4,则a+2b=【答案】3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可求出答案.【详解】由题意可知:2a-1=9,3a+b-1=16,解得:a=5,b=2,∴a+2b=9【点睛】本题考查算术平方根,解题的关键是正确理解算术平方根,本题属于基础题型.【变式3-1】(23-24春·湖北武汉·八年级校联考期中)关于x的多项式7x3−11mx2−15x+9与多项式22xA.3 B.−3 C.±3 D.±【答案】C【分析】将两个多项式相加,根据相加后不含x的二次和一次项,求得m、n的值,再进行计算.【详解】7x3=7由题意知,22−11m=0,∴m=2,∴−(mn+n)=9的平方根是±3,∴−(mn+n)平方根为±3,故选:D.【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键,同时考查了平方根的定义,熟练掌握正数有两个平方根,0的平方根是0,负数没有平方根.【变式3-2】(23-24八年级·湖北荆门·期中)如果自然数a的平方根是±m,那么a+1的平方根用m表示为()A.±(m+1) B.(m2+1) C.±m+1 D.【答案】D【分析】首先根据平方根性质用m表示出该自然数a,由此进一步表示出a+1,从而进一步即可得出答案.【详解】由题意得:这个自然数a为:m2∴a+1=m故a+1的平方根用m表示为:±m故选:D.【点睛】本题主要考查了平方根的性质,熟练掌握相关概念是解题关键.【变式3-3】(23-24八年级·山东德州·阶段练习)已知正数a的两个不同的平方根分别是3x−2和5x+10,a+b−4的算术平方根是3.(1)求a、b的值;(2)求a−2b的平方根.【答案】(1)a=25(2)±7【分析】(1)根据算术平方根的意义,平方根的意义,计算即可.(2)根据平方根的意义,计算即可.本题考查了平方根,算术平方根的计算与应用,正确理解正数的两个平方根互为相反数是解题的关键.【详解】(1)解:由题意得:3x−2+5x+10=0,解得x=−1,
3x−2=−5,−52∴a=25;∴a+b−4=3∴25+b−4=9,∴b=−12.(2)±a−2b【题型4由(算术)平方根求式子的值】【例4】(23-24八年级·全国·专题练习)已知一个数的算术平方根为3m−4,它的平方根为±(m−1),则这个数是.【答案】14/【分析】本题考查了算术平方根和平方根.解题的关键是熟练掌握算术平方根和平方根的定义.根据算术平方根与平方根中的正平方根相等,可得方程,根据解方程,可得m的值,根据平方运算,可得答案.【详解】解:一个数的算术平方根是3m−4,平方根是±(m−1),3m−4=m−1,或3m−4=1−m,解得m=32,或当m=54时,所以(3m−4)2故答案为:14【变式4-1】(23-24八年级·云南保山·期中)已知x=25,y是4的算术平方根,则3x−2y的值为【答案】11【分析】本题主要考查的是算术平方根,代数式求值,熟练掌握相关定义是解题的关键.首先依据算术平方根的定义求得x、y的值,从而可求得代数式3x−2y的值.【详解】解:∵x=25,y∴x=5,y=2,∴3x−2y=3×5−2×2=11,故答案为:11.【变式4-2】(23-24八年级·河南新乡·期中)已知1−3b与2a+1互为相反数,求−3b+2a+6的平方根.【答案】±2【分析】本题考查了算术平方根的非负性,平方根以及相反数,解一元一次方程,熟练掌握相关知识点是解题的关键.由题意得1−3b=0,2a+1=0,求出a、b值,即可求解.【详解】解:∵1−3b≥0,2a+1则当1−3b与2a+1互为相反数时,只能是1−3b=0,2a+1=0,解得:a=−1∴−3b+2a+6=−3×1∴其平方根为±2.【变式4-3】(23-24八年级·湖南永州·期末)若xm=y,则记x,y=m,例如32=9,于是3,9=2.若−2,a=2,b,8A.16 B.−2 C.2或−2 D.16或−16【答案】C【分析】本题考查了有理数的乘方,根据题意和有理数的乘方可求出a,b的值,随之问题得解.【详解】解:∵−2,a=2,b,8=3,∴−22=a,b3∴a=4,b=2,∴c2∴c=±2,故选:D.【题型5由平方根的概念解方程】【例5】(23-24八年级·上海徐汇·期中)解方程:12x=−x【答案】x=−6【分析】本题考查了根据平方根解方程,先将方程整理为x2+12x+36=0,根据完全平方公式得出【详解】解:12x=−xx2x+62x+6=0,x=−6.【变式5-1】(23-24八年级·广西钦州·阶段练习)解方程:(1)4x(2)9x【答案】(1)x=±2(2)x=±【分析】(1)方程两边同时除以4,然后根据平方根的定义解方程;(2)先移项,然后同时除以9,根据平方根的定义解方程即可求解.【详解】(1)4xx2x=±2;(2)9x9xx2x=±11【点睛】本题考查了根据平方根的定义解方程,正确的计算是解题的关键.【变式5-2】(23-24八年级·贵州黔南·期中)【变式1】解方程:(1)25x(2)2x+1【答案】(1)x=75(2)x=4或x=−6【分析】(1)先将方程整理为x2(2)先将方程整理为x+12【详解】(1)25x25xx2x=75或(2)2x+12x+1x+12x+1=5或x+1=−5,x=4或x=−6.【点睛】本题考查了利用平方根解方程,熟练掌握平方根的性质是解题关键.【变式5-3】(23-24八年级·上海徐汇·期中)解方程:92x+1【答案】x【分析】本题考查了根据平方根解方程,先将方程整理为92x+1【详解】解:92x+1932x+1=4x−2解得:x1【题型6由算术平方根的非负性求值】【例6】(23-24八年级·江西南昌·阶段练习)已知y=x−3+3−x+1,则【答案】±2【分析】根据根式的非负性可求出x,y的值,进而可求出答案.【详解】解:∵y=x−3∴x−3=0,3−x=0,∴x=3,∴y=1,∴x+y=4,∴x+y的平方根是±2,故答案为:±2.【点睛】本题考查根式的非负性,以及计算一个数的平方根,能够根据根式的非负性计算出未知数的值是解决本题的关键.【变式6-1】(23-24八年级·湖南长沙·期中)若x,y为实数,且x−3+y+4=0,则x+yA.1 B.2024 C.−1 D.−2024【答案】A【分析】本题主要考查了非负数的性质、代数式求值,正确解得x,y的值是解题关键.根据非负数的性质解得x,y的值,然后代入求值即可.【详解】解:∵x−3+又∵x−3≥0,y+4∴x−3=0,y+4=0,解得x=3,y=−4,∴x+y2024故选:A.【变式6-2】(23-24八年级·江西新余·期中)(1)已知2x−4y−5+2x−3=0(2)已知a、b满足2a+8+b−3=0,解关于【答案】(1)x+y的平方根为±1;(2)x=±1.【分析】(1)根据非负数的性质,可求出x、y的值,然后将其代入代数式计算即可;(2)根据非负数的性质,可求出a、b的值,然后将其代入方程,解方程即可.【详解】解:(1)∵2x−4y−5+∴2x−4y−5=0,2x−3=0,解得x=32,∴x+y=3∴x+y的平方根为±1;(2)∵2a+8+∴2a+8=0,b−3解得a=−4,b=3∴方程为−4+2x整理得x2解得x=±1.【点睛】本题考查非负数的性质,有理数的混合运算等知识,解题的关键是熟练掌握非负数的性质的应用.【变式6-3】(23-24八年级·浙江杭州·期中)若a−2023+b+2023−1=0,其中a,b均为整数,则【答案】±1【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性,得出a、b可能的取值是解决此题的关键,注意分类讨论的数学思想.先根据绝对值和算术平方根的非负性分两种情况进行讨论得出a,b的值,再代入进行计算即可求解.【详解】解:∵a−2023+b+2023−1=0,其中a又∵a−2023≥0,b+2023①当a−2023=0,b+2023∴a=2023,b=−2022或b=−2024,∴a+b=1或a+b=−1;②当a−2023=1,b+2023∴a=2024或a=2022,b=−2023∴a+b=1或a+b=−1;故答案为:±1.【题型7估算算术平方根的取值范围】【例7】(23-24八年级·新疆和田·期中)已知a,b为两个连续的整数,且12的负平方根介于a,b之间,则a+b=【答案】−7【分析】此题主要考查了无理数的估算,平方根定义,掌握比较无理数估算的方法是解决问题的关键.根据无理数的性质,得出接近无理数的整数,即可得出a,b的值,即可得出答案.【详解】解:∵9<12<∴−4<−12∵a,b为两个连续的整数,且12的负平方根介于a,b之间,∴a=−4,b=−3,a+b=−3+−4故答案为:−7.【变式7-1】(23-24八年级·福建莆田·期末)面积为10的正方形的边长为a,则a的值在(
)A.1和2之间 B.2和3之间 C.3和4之间 D.4和5之间【答案】C【分析】本题考查了无理数的估算,先根据题意表示出a的值,再利用夹逼法估算即可.【详解】∵面积为10的正方形的边长为a,∴a2∴a=10∵9<∴3<10∴a的值在3和4之间,故选:D.【变式7-2】(23-24八年级·北京朝阳·期末)将边长分别1和2的长方形如图剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,则该正方形的边长最接近整数(
)A.4B.3C.1D.0【答案】C【分析】根据算术平方根的概念结合正方形的性质得出其边长,进而得出答案.【详解】解:∵将边长分别为1和2的长方形如图剪开,拼成一个与长方形面积相等的正方形,∴正方形的面积为2,∴该正方形的边长为:2,∵1<2<2.25,∴1<2<1.5,∴该正方形的边长最接近整数是:1.故选:D.【点睛】此题主要考查了算术平方根,正确掌握算术平方根的定义是解题关键.【变式7-3】(23-24八年级·广东汕头·单元测试)满足−2<x<5【答案】2【分析】首先通过对−2,5大小的估算,可得满足−【详解】解:∵1<2<4,∴1<2∴−2<−2又∵4<5<9,∴2<5满足−2<x<5的所有整数有−1,0,1,2故答案为2.【点睛】本题主要考查算术平方根的估算,解题的关键是掌握算术平方根的定义,灵活使用夹逼法进行估算.【题型8求算术平方根的整数部分和小数部分】【例8】(23-24八年级·山东威海·期末)已知17-2的整数部分为a,17+2的整数部分为b,那么b-a的平方根是.【答案】±2【分析】估算出17-2与17+2的取值范围,求得a,b的值,进而计算b−a的平方根即可求解.【详解】解:∵4<17∴2<17∴a=2,b=6,∴b−a=4,∴4的平方根为±2.故答案为:±2.【点睛】本题考查了算术平方根估算,求一个数的平方根,正确的求得a,b的值是解题的关键.【变式8-1】(23-24八年级·安徽黄山·期中)已知a是13的整数部分,b=3,则ab+54的平方根是【答案】±3【分析】本题主要考查平方根与算术平方根,熟练掌握平方根与算术平方根是解题的关键;由题意易得a=3,b=9,然后问题可求解.【详解】解:∵3<13<4,∴a=3,b=9,∴ab+54=∴9的平方根是±3;故答案为±3.【变式8-2】(23-24八年级·广西河池·阶段练习)阅读下面的文字,解答问题.例如:∵4<7<9,即2<(1)15的整数部分是,小数部分是;(2)已知:8−15小数部分是m,8+15小数部分是n,且x−12【答案】(1)3;15(2)x的值是0或2【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小,(1)先估算出15的大小,然后确定整数部分;(2)根据15的整数部分可求出8−15和8+15的整数部分,进而表示出小数部分m、n,最后代入【详解】(1)解:∵9<15<16∴9<15<∴15的整数部分为3,∴15的小数部分为15−3故答案为:3;15−3(2)∵3<∴11<8+15<12∴8+15的整数部分为11,8−∴8−15小数部分是m=(8−15)−4=4−15,∴m+n=(4−即:x−1∴x−1=±1,解得x=2或x=0.∴满足条件的x的值是0或2.【变式8-3】(23-24八年级·浙江·阶段练习)6−11的小数部分为a,7+11的小数部分为b,则a+b【答案】1【分析】先分析11介于哪两个整数之间,再分别求出6−11和7+11介于哪两个整数之间,即可求出6−11和7+【详解】解:∵3<∴10<7+11<11∴3>6−∴7+11的整数部分为10,6−∴a=6−
b=7+代入得:a+b=12018=1【题型9平方根与数轴的综合】【例9】(23-24八年级·全国·假期作业)实数a,b在数轴上对应点A,B的位置如图,化简|a+b|−b2−【答案】-2a+b/b-2a【分析】根据数轴得出b<0<a,|b|>|a|,再根据算术平方根的性质和绝对值进行计算,最后合并同类项即可.【详解】解:∵从数轴可知:b<0<a,|b|>|a|,∴a+b<0,a﹣b>0,∴|a+b|−=﹣(a+b)﹣|b|﹣|a﹣b|=﹣a﹣b+b﹣(a﹣b)=﹣a﹣b+b﹣a+b=﹣2a+b.故答案为:﹣2a+b【点睛】本题考查了数轴,绝对值,算术平方根等知识点,能正确根据数轴得出b<0<a和|b|>|a|是解此题的关键.【变式9-1】(23-24八年级·陕西咸阳·期中)已知a是5的算术平方根,则实数a在如图所示的数轴上的对应点可能为点.(填“A”或“B”或“C”或“D”)【答案】C【分析】由于a是5的算术平方根,故a=5,又5≈2.236,所以2.236是在点2与2.5之间,由题图中的数轴上可知,2.236处于点C处,即点C表示的数是【详解】解:由于a是5的算术平方根,故a=5,又5所以2.236是在点2与2.5之间,由题图中的数轴上可知,又2.236处于点C处,即
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