北师大版2024-2025学年八年级数学上册强化提分系列专题2.3实数【十大题型】(学生版+解析)

专题2.3实数【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实数的概念理解】 1【题型2实数的运算】 2【题型3估算无理数的大小】 2【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】 3【题型5实数与数轴】 4【题型6实数的大小比较】 5【题型7程序设计中的实数运算】 5【题型8新定义中的实数运算】 6【题型9实数运算的实际应用】 7【题型10实数运算中的规律探究】 8知识点1：实数无限不循环小数叫做无理数.常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．【题型1实数的概念理解】【例1】（23-24八年级·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（

）A．0.101001 B．−2 C．π2 D．【变式1-1】（23-24八年级·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①−1112，②32，③1−4，④0，⑤−0.4，⑥3−125，⑦−π(1)整数集合：（

）(2)分数集合：（

）(3)无理数集合：（

）【变式1-2】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）−13的绝对值是，5−26的相反数是【变式1-3】（23-24八年级·山东日照·期中）已知a，b都是有理数，且3−1a+2b=3+3，求A．1 B．2 C．3 D．4【题型2实数的运算】【例2】（23-24八年级·四川泸州·期中）计算：−1【变式2-1】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算：(1)9+(2)1−2【变式2-2】（23-24八年级·云南昭通·期中）计算：−1【变式2-3】（23-24八年级·甘肃平凉·期中）计算：(1)364(2)3−知识点2：估算法（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【题型3估算无理数的大小】【例3】（23-24八年级·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·期中）估算9+11的运算结果应在哪两个整数之间(A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7【变式3-2】（23-24八年级·四川成都·期末）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡上写的是6−1，小颖抽到的卡上写的是2，那么赢家是【变式3-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）下面是小明探索2的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是2，易知2>1．因此可设2由图中面积计算，S另一方面由题意知S所以x略去x2，得方程2x+1=2解得x=0.5．即2≈1.5(1)仿照上述方法，探究5的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若a<m<a+1，且m=a2+b，请估算m【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】【例4】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）若a是90的整数部分，b是3的小数部分．则a+b−3+1的平方根是【变式4-1】（23-24八年级·河南新乡·期中）已知m是6的整数部分，n是6的小数部分，则m−n的值为（

）A．−6 B．4−6 C．4+【变式4-2】（23-24八年级·江苏·期中）若【x】表示实数x的整数部分，<x>表示实数x的小数部分，如【1】=1，【2】=1，<2>=2−1，则A．4−3 B．1−13 C．6−3【变式4-3】（23-24八年级·河南新乡·期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．无理数的估算大家知道3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此3的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用3−1来表示3事实上，我的表示方法是有道理的，因为3的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵4<7∴7的整数部分为2，小数部分为7根据以上笔记内容，请完成如下任务．(1)任务一：19的小数部分为______．(2)任务二：a为5的小数部分，b为15的整数部分，请计算a+b−5(3)任务三：x+y=10+3，其中x是整数，且0<y<1，求2x−y【题型5实数与数轴】【例5】（23-24八年级·山东临沂·期中）如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB=AE，则点E所表示的数为（

）

A．7 B．1+7 C．2+7 【变式5-1】（23-24八年级·北京·期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b<0,ab<0，则原点所在的位置有可能是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【变式5-2】（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为−1和3，AB=AC，则点C所表示的数为（

）A．−2−3 B．−1−3 C．−2+3【变式5-3】（23-24八年级·湖北恩施·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：

(1)化简：a+b−b(2)若1+2a的平方根是±7，2a+b−4的立方根是−2，求【题型6实数的大小比较】【例6】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）实数−π3，−3和−A．−π3<−C．−3<−3【变式6-1】（23-24八年级·安徽·专题练习）1，−2，0，5这四个数中，绝对值最大的数是（

）A．1 B．−2 C．0 D．5【变式6-2】（23-24八年级·河南平顶山·期中）通过估算3，11，326，的大小为：【变式6-3】（23-24八年级·贵州黔南·期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题21−34与小明的方法：因为21>4，所以21−33，所以21−3434小英的方法：21−34−34=21−64，因为21<62=36(1)将上述材料补充完成；(2)请从小明和小英的方法中选择一种比较17−12与【题型7程序设计中的实数运算】【例7】（23-24八年级·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．【变式8-1】（23-24八年级·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有a@b=b+1，如8@9=9+1，则【变式8-2】（23-24八年级·福建福州·期中）若实数a，b满足a+b=6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与3−2是关于6的“如意数”是（

A．3+2 B．3−2 C．9−2【变式8-3】（23-24八年级·山西吕梁·期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数a•b=a2+b，例如10•21=102+A．13 B．7 C．4 D．5【题型9实数运算的实际应用】【例9】（23-24八年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？【变式9-1】（23-24八年级·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．【变式9-2】（23-24·湖南长沙·一模）五一返校上课后，为了表扬在假期依旧认真完成数学作业的小函和小韬同学，数学老师决定在某外卖平台上点2杯单价都是16元的奶茶奖励他们．从奶茶店到学校的每份订单配送费都为1.6元，由于数学老师是该平台的会员，因此每单都可以使用一个平台赠送的5元平台红包对每份订单的总价减免5元（订单总价不含配送费，同一订单只允许使用一个红包）．但根据该奶茶店的优惠活动，当订单总价（不含配送费）满30元时，5元的平台红包可兑换为一个7元的店家红包，即可以给订单总价（不含配送费）减免7元当数学老师同时点了2杯奶茶准备下单付款时，小函同学说：“老师，我们可以换一种下单方式，优惠更多！”请同学们分析小函同学的下单方式，并计算出本次外卖总费用（包含配送费）最低可为元．【变式9-3】（23-24八年级·安徽蚌埠·期中）如图，长方形ABCD的长为2cm，宽为1（1）将长方形ABCD进行适当的分割（画出分割线），使分割后的图形能拼成一个正方形，并画出所拼的正方形；（标出关键点和数据）（2）求所拼正方形的边长．【题型10实数运算中的规律探究】【例10】（23-24·湖北黄冈·模拟预测）对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则f(a)=3a+1：若a为偶数，则f(a)=a2，例如f(15)=3×15+1=46，f(10)=102=5，若a1=8，a2=f(a1)，a3=f(a2)，a4=f(a3)【变式10-1】（23-24八年级·广东韶关·期中）按一定规律排列的一列数3，72，113，154A．338 B．298 C．31【变式10-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）已知整数a1，a2，a3，a4，……满足下列条件：a1=0，a2=−aA．−1013 B．−2023 C．−2024 D．−1012【变式10-3】（23-24八年级·河北承德·开学考试）将1、2、3、6按如图所示方式排列，若规定m,n（1）当m=4，n=3时，m,n为；（2）则7,6表示的数是．专题2.3实数【十大题型】【北师大版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1实数的概念理解】 2【题型2实数的运算】 4【题型3估算无理数的大小】 6【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】 9【题型5实数与数轴】 11【题型6实数的大小比较】 14【题型7程序设计中的实数运算】 16【题型8新定义中的实数运算】 19【题型9实数运算的实际应用】 21【题型10实数运算中的规律探究】 24知识点1：实数无限不循环小数叫做无理数.常见类型：①特定结构的无限不循环小数，如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）．②含有π的绝大部分数，如2π．【题型1实数的概念理解】【例1】（23-24八年级·陕西西安·期中）下列各数是无理数的是（

）A．0.101001 B．−2 C．π2 D．【答案】C【分析】根据无理数的定义判断即可．【详解】解：A、0.101001是有限小数，属于有理数；B、−2是整数，属于有理数；C、π2D、9=3故选：D．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．【变式1-1】（23-24八年级·河南安阳·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①−1112，②32，③1−4，④0，⑤−0.4，⑥3−125，⑦−π(1)整数集合：（

）(2)分数集合：（

）(3)无理数集合：（

）【答案】(1)③④⑥(2)①⑨⑩(3)②⑤⑦⑧【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．（1）根据整数的定义作答即可；（2）根据分数的定义作答即可；（3）根据无理数的定义作答即可．【详解】（1）解：③1−4=1−2=−1是整数，④0是整数，⑥整数集合：③④⑥故答案为：

③④⑥（2）①−1112是分数，⑨0.23是分数，⑩分数集合：①⑨⑩故答案为：①⑨⑩（3）②32是无理数，⑤−0.4是无理数，⑦−π故答案为：②⑤⑦⑧【变式1-2】（23-24八年级·湖南衡阳·期中）−13的绝对值是，5−26的相反数是【答案】13−5+【分析】本题是对绝对值和相反数知识的考查，熟练掌握实数知识是解决本题的关键．根据绝对值和相反数知识求解即可．【详解】解：−13绝对值是135−26的相反数是：−故答案为：13；−5+【变式1-3】（23-24八年级·山东日照·期中）已知a，b都是有理数，且3−1a+2b=3+3，求A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查的是无理数的含义，二元一次方程组的解法，理解题意建立方程组解题是关键．由a，b都是有理数，且3−1【详解】解：∵3−1∴3a+∵a，b都是有理数，∴a=1−a+2b=3解得a=1b=2则a+b=1+2=3．故选：D．【题型2实数的运算】【例2】（23-24八年级·四川泸州·期中）计算：−1【答案】0【分析】此题考查了实数的运算，原式第一项利用乘方的意义计算，第二项利用乘方的意义及乘法法则计算，第三项利用立方根定义及绝对值的代数意义化简，最后一项利用除法法则变形计算即可得到结果，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】−=−1−=−1+1−1+1=0．【变式2-1】（23-24八年级·新疆乌鲁木齐·期中）计算：(1)9+(2)1−2【答案】(1)7(2)−1【分析】本题考查了实数的运算，主要涉及算术平方根、立方根、绝对值等知识，熟练掌握这些知识是关键；（1）分别计算算术平方根、立方根及乘方，再相加减即可；（2）计算绝对值后，再化简即可．【详解】（1）解：9=3+1−3+6=7；（2）解：1−==−1．【变式2-2】（23-24八年级·云南昭通·期中）计算：−1【答案】3【分析】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键．利用实数的运算法则计算即可．【详解】解：−=−1+5−4×=−1+5−2−1+=3【变式2-3】（23-24八年级·甘肃平凉·期中）计算：(1)364(2)3−【答案】(1)0(2)1【分析】本题考查了实数的混合运算，结合算术平方根、立方根、乘方的知识，熟练掌握知识、正确计算是解题的关键．（1）先计算算术平方根，立方根，再加减计算即可；（2）先计算算术平方根，立方根，乘方，再加减计算即可．【详解】（1）解：原式=4−6+2=0；（2）解：原式=−=−=1．知识点2：估算法（1）若，则；（2）若，则；根据这两个重要的关系，我们通常可以找距离a最近的两个平方数和立方数，来估算和的大小．例如：，则；，则．常见实数的估算值：，，．【题型3估算无理数的大小】【例3】（23-24八年级·北京·期中）如图，用边长为4的两个小正方形拼成一个大正方形，则与大正方形的边长最接近的整数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】本题考查了无理数的估算、实数的大小比较法则，熟练掌握实数的大小比较法则是解题关键．先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得．【详解】解：大正方形的边长为2×4×4=∵25<32<36，∴25<32又∵6−32=11−232=2×5.5−=2×30.25∴6−32∴与32最接近的整数是6，即大正方形的边长最接近的整数是6，故选：D．【变式3-1】（23-24八年级·四川成都·期中）估算9+11的运算结果应在哪两个整数之间(A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7【答案】D【分析】本题主要考查的是估算无理数的大小先利用夹逼法求得11的范围，然后可求得9+【详解】解：∵9<11<16，∴3<11<4，∵9=3∴6<9+11故选：D．【变式3-2】（23-24八年级·四川成都·期末）在学习《估算》一课时，李老师设计了一个抽卡比大小的游戏，数值大的为赢家．小丽抽到的卡上写的是6−1，小颖抽到的卡上写的是2，那么赢家是【答案】小颖【分析】估算出6的大小，继而比较即可求解．【详解】解：∵4<6<9，∴4∴2<6∴1<6∴赢家是小颖，故答案为：小颖．【点睛】本题考查了实数大小比较，无理数的估算，估算出6的大小是解题的关键．【变式3-3】（23-24八年级·江苏盐城·期中）下面是小明探索2的近似值的过程：我们知道面积是2的正方形的边长是2，易知2>1．因此可设2由图中面积计算，S另一方面由题意知S所以x略去x2，得方程2x+1=2解得x=0.5．即2≈1.5(1)仿照上述方法，探究5的近似值．（画出示意图，标明数据，并写出求解过程）(2)结合上述具体实例，已知非负整数a、b、m，若a<m<a+1，且m=a2+b，请估算m【答案】(1)2.25，见解析(2)a+【分析】（1）参照题目的过程解题即可．（2）把条件的过程中的数字换成对应的字母解题即可．【详解】（1）解：面积是5的正方形的边长是5，设5=2+x∵S正方形而S正方形∴x2略去x2，得方程4x+4=5，解得x=0.25即5≈2.25（2）解：设m=a+x∴m=a∵m=a∴a2解得x=b∴m=a+故答案为：a+b【点睛】本题主要考查用几何方法求无理数的近似值，能够读懂题意是解题关键．【题型4估算无理数的整数部分或小数部分】【例4】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）若a是90的整数部分，b是3的小数部分．则a+b−3+1的平方根是【答案】±3/3和−3/−3和3【分析】根据92<90<102可得9<90【详解】解：∵92<90<∴9<90<10，∴90的整数部分是9，则a=9，3的小数部分是3−1，则b=∴a+b−3∴9的平方根为±3．故答案为：±3．【点睛】本题考查实数的估算、实数的运算、平方根的定义，掌握实数估算的方法是解题的关键．【变式4-1】（23-24八年级·河南新乡·期中）已知m是6的整数部分，n是6的小数部分，则m−n的值为（

）A．−6 B．4−6 C．4+【答案】B【分析】本题主要考查了无理数的估算，实数的运算，先估算出2<6<3，进而得到【详解】解：∵4<6<9，∴2<6∵m是6的整数部分，n是6的小数部分，∴m=2，∴m−n=2−6故选：A．【变式4-2】（23-24八年级·江苏·期中）若【x】表示实数x的整数部分，<x>表示实数x的小数部分，如【1】=1，【2】=1，<2>=2−1，则A．4−3 B．1−13 C．6−3【答案】A【分析】估算出3−3的小数部分和7【详解】解：∵1<3∴−2<−3∴3−2<3−3<3−1，即∴<3−3∵4<7<9，∴2<7∴【7】=2，∴<3−3>+【7】故选：A【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．【变式4-3】（23-24八年级·河南新乡·期中）下面是小明在学习“无理数的估算”时做的学习笔记．无理数的估算大家知道3是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此3的小数部分我们不可能全部写出来，于是我用3−1来表示3事实上，我的表示方法是有道理的，因为3的整数部分是1，所以将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．例如：∵4<7∴7的整数部分为2，小数部分为7根据以上笔记内容，请完成如下任务．(1)任务一：19的小数部分为______．(2)任务二：a为5的小数部分，b为15的整数部分，请计算a+b−5(3)任务三：x+y=10+3，其中x是整数，且0<y<1，求2x−y【答案】(1)19(2)a+b−(3)2x−y的相反数是−23+【分析】本题考查估算无理数的大小，相反数的定义，代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．（1）估算无理数19的大小即可确定整数部分和小数部分；（2）估算无理数5，13的大小，确定a、b的值，再代入计算即可；（3）估算无理数3的大小，求出x、y的值，再代入计算，求出相反数即可．【详解】（1）解：∵16<即4<19∴19的整数部分为4，小数部分为19故答案为：19−4（2）∵4<5<∴5的小数部分a=∵9<即3<1313的整数部分b=3，∴a+b−5（3）∵1即1<3∴3的整数部分为1，小数部分为3∴10+3又∵x+y=10+3∴11+3∵x是整数，且0<y<1，∴x=11，∴2x−y=11×2−3∴2x−y的相反数−23+3【题型5实数与数轴】【例5】（23-24八年级·山东临沂·期中）如图，面积为7的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，若点E在数轴上，（点E在点A的右侧）且AB=AE，则点E所表示的数为（

）

A．7 B．1+7 C．2+7 【答案】B【分析】本题考查了数轴与实数、算术平方根的应用，关键是结合题意求出AB=AE=7由题意可知，面积为7的正方形ABCD边长为7，所以AB=7，而AB=AE，得AE=7，A点的坐标为1，故E点的坐标为【详解】∵面积为7的正方形ABCD为7，∴AB=7∵AB=AE，∴AE=7∵A点表示的数为1，∴E点表示的数为1+7故选：A．【变式5-1】（23-24八年级·北京·期中）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，且满足a+b<0,ab<0，则原点所在的位置有可能是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】C【分析】本题考查实数与数轴，能够根据题意分析出a与b的符号是解题的关键．根据ab<0可以得出a与b异号，再根据a+b<0可以得出负数的绝对值大于正数的绝对值，然后根据数轴的特点进行解题即可．【详解】解：∵ab<0，∴a与b异号，由数轴上观察可知：a<b,∴a<0，又∵a+b<0，∴负数的绝对值大于正数的绝对值，∴C点由可能是原点．故选：D．【变式5-2】（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图，数轴上A、B两点表示的数分别为−1和3，AB=AC，则点C所表示的数为（

）A．−2−3 B．−1−3 C．−2+3【答案】A【分析】本题主要考查了求数轴上两点之间的距离．由于A，B两点表示的数分别为−1和3，先根据对称点可以求出OC的长度，根据C在原点的左侧，进而可求出C的坐标．【详解】解：∵对称的两点到对称中心的距离相等，∴CA=AB，−1+∴OC=2+3，而C∴C表示的数为：−2−3故选：A．【变式5-3】（23-24八年级·湖北恩施·期中）已知实数a，b在数轴上的位置如图所示：

(1)化简：a+b−b(2)若1+2a的平方根是±7，2a+b−4的立方根是−2，求【答案】(1)3a(2)a+2b算术平方根为1【分析】本题考查了通过数轴判断实数的大小，平方根，立方根，算术平方根的定义，熟练掌握平方根，立方根，算术平方根的定义是解题关键．（1）根据数轴判断出a<0<b，再根据算术平方根，立方根的定义进行化简即可；（2）根据题意可以求出a，b的值，再代入求出最后结果．【详解】（1）解：由数轴可知：a<0<b，∴a+b−b=a+b−b+2a，=3a；（2）∵若1+2a的平方根是±∴1+2a解得：a=±3．因为，a<0，所以，a=−3，又∵2a+b−4的立方根是−2，∴2a+b−4=−8，即−6+b−4=−8，解得：b=2，∴a+2b=即，a+2b算术平方根为1．【题型6实数的大小比较】【例6】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）实数−π3，−3和−A．−π3<−C．−3<−3【答案】C【分析】本题考查了比较实数的大小，无理数的估算等知识．先估算出π3≈1.05，3≈1.732，即可得到3【详解】解：∵π≈3.14，∴π3∵3≈1.732∴3>∴−3故选：D【变式6-1】（23-24八年级·安徽·专题练习）1，−2，0，5这四个数中，绝对值最大的数是（

）A．1 B．−2 C．0 D．5【答案】D【分析】本题考查了实数大小比较、绝对值、算术平方根等知识点，准确熟练地进行计算是解题的关键．先求出各数的绝对值，然后再进行比较即可解答．【详解】解：|1|=1，|−2|=2，|0|=0，|5∵2.236>2>1>0，∴1，−2，0，5这四个数中，绝对值最大的数是5，故选：D．【变式6-2】（23-24八年级·河南平顶山·期中）通过估算3，11，326，的大小为：【答案】326＜3＜11【分析】先估算出11和326【详解】∵32∴3＜11＜4，2＜326∴326＜3＜11故答案为：326＜3＜11【点睛】本题主要考查实数的大小比较，估算一个数的算术平方根和立方根，是解题的关键.【变式6-3】（23-24八年级·贵州黔南·期中）数学课上，老师提出一个问题，比较无理数的时，由于老师无法解决，你能帮老师解决这个问题21−34与小明的方法：因为21>4，所以21−33，所以21−3434小英的方法：21−34−34=21−64，因为21<62=36(1)将上述材料补充完成；(2)请从小明和小英的方法中选择一种比较17−12与【答案】(1)<,<,<,<(2)见解析【分析】本题考查实数比大小，熟练掌握无理数之间比大小是解题的关键，根据题意把无理数变成有理数再比大小，即可得到答案．【详解】（1）解：小明的方法：∵21>4∴21−3<3∴21−3小英的方法：21−3∵21<6∴21−6<0∴21−3故答案为：<,<,<,<．（2）解：选小明的方法：∵17>4∴17−1>1∴17−1选小英的方法：17−1∵17>4，∴17>2∴17−2>0∴17−2∴17−1【题型7程序设计中的实数运算】【例7】（23-24八年级·广东阳江·期中）如图是一个数值转换器，请根据其原理解决问题：当x为12时，求y的值，并写出详细过程．【答案】y=11【分析】本题主要考查了有理数和无理数的分类、实数的运算以及流程图，掌握有理数和无理数的分类以及读懂流程图是解答本题的关键．【详解】解：把x=12代入数值转换器，第一次计算可得12×2+1=把x=5代入数值转换器，第二次计算可得5×2+1=则输出y=11【变式7-1】（23-24八年级·山西太原·阶段练习）根据如图所示的计算程序，若开始输入x的值为−2，则输出yA．−2−5 B．1 C．−1【答案】D【分析】本题主要考查了实数的运算，先求出−2【详解】解：∵1<2<4，∴1<2∴−2∴y=−故选：D．【变式7-2】（23-24八年级·上海黄浦·期中）根据下图中的程序，当输入x为36时，输出的值是．【答案】3【分析】此题主要考查了立方根、算术平方根的性质和应用．根据立方根、算术平方根的含义和求法，以及有理数、无理数的含义和求法，求出当输入的x为36时，输出的值是多少即可．【详解】解：当输入x为36时，y=−36−6是有理数，y=−3∴当输入的x为36时，输出的值是36故答案为：36【变式7-3】（23-24八年级·河北张家口·期末）如图是一个数值转换器x<10

(1)当输入的x值为−2时，求输出的y值；(2)若输入有意义的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值，并说明你的理由；(3)若输出的y值是3，直接写出x的负整数值．【答案】(1)2(2)1或2或3，理由见解析(3)x=−1【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的定义进行计算即可；（2）根据0或1的算术平方根的特殊性得出答案；（3）可以考虑1次运算输出结果，2次运算输出结果，进而得出答案．【详解】（1）解：当x=−2时，−2−2=44的算术平方根为4=2而2是有理数，2的算术平方根为2，故答案为：2；（2）解：1或2或3，理由如下：∵0的算术平方根是0，1的算术平方根是1，∴当x−2=1解得x=1或2或3，∴当x=1或2或3时，无论进行多少次运算都不可能是无理数；（3）解：若1次运算就是3，∴x−2∴x−2∴解得x=5或−1，∴x为负整数，则输入的数为−1；若2次运算输出的数是3，∴x−2∴x−2∴解得x=27或−23∵x∴不符合题意，综上所述，x=−1．【点睛】本题考查算术平方根、有理数和无理数，理解算术平方根的定义是解题的关键．【题型8新定义中的实数运算】【例8】（23-24八年级·山东济宁·期中）任何实数a，可用a表示不超过a的最大整数，如4=4，3=1，现对72进行如下操作，这样对72只需进行3次操作后变为1，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是【答案】255【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，根据算术平方根的意义得到255=15，256=16，进而得到对255只需进行3次操作后变成1，对【详解】解：∵22=4，4∴256=16，16=4，4∵255=15，15=3∴对255只需进行3次操作后变成1．∵256=16，16=4，4∴对256只需进行4次操作后变成1．∴只需进行3次操作后变成1的所有正整数中，最大的正整数是255．故答案为：255．【变式8-1】（23-24八年级·四川达州·阶段练习）用“@”表示一种新运算；对于任意正实数a，b，都有a@b=b+1，如8@9=9+1，则【答案】3【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【详解】解：根据题中的新定义得：m@m@9故答案为：3．【变式8-2】（23-24八年级·福建福州·期中）若实数a，b满足a+b=6，我们就说a与b是关于6的“如意数”，则与3−2是关于6的“如意数”是（

A．3+2 B．3−2 C．9−2【答案】A【分析】本题考查了新定义下的实数运算，准确理解新定义是解题的关键．直接根据“如意数”的概念进行求解即可．【详解】∵3−∴3−2与3+故选：A．【变式8-3】（23-24八年级·山西吕梁·期中）用“•”表示一种新运算：对于任意正实数a•b=a2+b，例如10•21=102+A．13 B．7 C．4 D．5【答案】C【分析】根据新运算的定义计算即可．【详解】解：∵a•b=a∴13=13=13=13=13=16=4，故选：D．【点睛】本题考查新定义，算术平方根，理解运用新运算是解题的关键．【题型9实数运算的实际应用】【例9】（23-24八年级·福建莆田·期中）虹胜广场要建一个占地面积4000平方米的花园，现有两种方案：一种是建正方形花园，一种是建圆形花园，如果你是设计者，你能估算出两种花园的围墙有多长吗（误差小于1米）？如果你是投资者，你会选择哪种方案，为什么？【答案】圆形广场围墙224.2米，正方形广场围墙253.0米，选择圆形广场的建设方案，理由见详解【分析】分别计算出圆形花园和正方形花园所需围墙的长度，比较即可作答．【详解】当为圆形时，设圆的半径为r，则有：πr即：r=4000则此时花园的围墙为：2π当广场为正方形时，设正方形边长为a，则有：a2即：a=4000则此时花园的围墙为：4a=4×4000∵253.0＞∴建造成圆形时，广场的围墙会更短，则建造成本更低，∴作为投资商，会选择建圆形花园．【点睛】此题主要考查实数的大小的比较在实际生活中的应用，所以学生在学这一部分时一定要联系实际，不能死学．【变式9-1】（23-24八年级·广西玉林·期中）某高速公路规定汽车的行驶速度不得超过100千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是v＝16df，其中v表示车速（单位：千米/时，d表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），f表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量d＝32米，f＝2，请你判断一下，肇事汽车当时是否超速了．【答案】肇事汽车当时的速度超出了规定的速度．【分析】先把d=32米，f=2分别代入v=16df，求出当时汽车的速度再和1