福建省莆田市哲理中学2024-2025学年九年级上学期9月月考数学试题

2024-2025学年上学期九年级第一次综合训练数学试卷一、选择题1.下列各组图形中，一定相似的是（

）A．任意两个平行四边形 B．任意两个正方形C．任意两个菱形 D．任意两个矩形2.方程2x2﹣6x+9＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A.6，2，9 B.2，﹣6，9 C.2，6，9D.2，﹣6，﹣93.一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（）A.（x﹣3）2＝15 B.（x﹣3）2＝3C.（x+3）2＝15D.（x+3）2＝34.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和10cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm5.将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线（）A． B． C． D．6.如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A,B,C都在横线上.若线段AB=3,则线段BC的长是 ()A.23 B.1 C.32 D7.某品牌网上专卖店1月份的营业额为50万元,已知第一季度的总营业额共600万元,如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为(

)A. B.C. D.8.已知抛物线y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则当y＜0时，x的取值范围是（）A．x＜3B．x＞-1C．-1＜x＜3D．x＜-1或x＞39.如图，D为△ABC的边AB上一点，若AB＝15，AC＝10，AD＝3，在AC边上取一点E，使△ADE与△ABC相似，则AE的长为()A.2 B.3.5 C.2或4.5 D.2或3.5 10．已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a≠0）的图象经过，B（3a，y2）两点，则下列判断正确的是（）A．可以找到一个实数a，使得y1＞a B． 可以找到一个实数a，使得y2＜0C．无论实数a取什么值，都有y1＞a D．无论实数a取什么值，都有y2＜0二、填空题11.若△ABC与△A′B′C′相似，一组对应边的长为AB＝2cm，A′B′＝4cm，那么△ABC与△A′B′C′的相似比是____．12.抛物线y＝x2的对称轴是．13.二次函数，当x＜0时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小”）14.如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为____．15.设是方程的两实数根，则．16.在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是二次函数y＝﹣x2+4x﹣1图象上三点．若对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，m+2＜x3＜m+3，存在y1＜y3＜y2，则m的取值范围是．三、解答题17.解方程：18.如图，已知四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′，求∠A的度数及x的值．(第18题)(第19题)(第20题)19.如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．20.如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒．若要制作一个底面积是40dm2的一个无盖长方体纸盒，求剪去的正方形边长x．21.如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝，求∠ACB的大小．22.已知关于x的一元二次方程：2x2+（m﹣2）x﹣m＝0．（1）求证：不论m为何实数，方程总有实数根；（2）当m＝﹣7时，此方程的两个根分别是菱形ABCD两条对角线长，求菱形ABCD的面积．23.【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图（1），在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且．连结AD，BE交于点G，则=．【拓展】（2）如图（2），在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC分别交于点G、M，若，求的值．（2）24.中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x/m033.544.5竖直高度y/m1010k106.25根据上述数据，直接写出k的值为，直接写出满足的函数关系式：；（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1d2（填“＞”“＝”或“＜”）；（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？25.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，且在直线BC的上方．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1，过点P作PD⊥x轴，交直线BC于点E，若PE＝2ED，求点P的坐标．（3）如图2，连接AC、PC、AP，AP与BC交于点G，过点P作PF∥AC交BC于点F．记△ACG、△PCG、△PGF的面积分别为S1，S2，S3.求的最大值．参考答案与试题解析一．解答题（共2小题）1．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且＝，求∠ACB的大小．【考点】相似三角形的判定与性质．【解答】解：∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°，∵＝，∴△ADC∽△CDB，∴∠A＝∠DCB，∵∠A+∠ACD＝90°，∴∠DCB+∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．2．【感知】小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题：如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E是AC的一个三等分点，且．连结AD，BE交于点G，求的值．小明发现，过点D作DH∥AC交BE于H，可证明△AGE≌△DGH，得到相关结论后，再利用相似三角形的性质即可得到问题的答案．下面是小明的部分证明过程：解：如图①，过点D作DH∥AC交BE于H，则∠EAG＝∠HDG，∠AEG＝∠DHG，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴，∴BH＝EH，∴，∵E是AC的一个三等分点，且，∴，∴AE＝DH，∴△AGE≌△DGH．请你补全余下的证明过程．【尝试应用】（2）如图②，在△ABC中，D为AC上一点，AB＝AD，连结BD，若AE⊥BD，交BD、BC于点E、F．若AD＝6，CD＝2，AF＝5，则AE的长为．【拓展提高】（3）如图③，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC分别交于点G、M，若，则的值为．【考点】相似形综合题．【解答】【感知】解：如图①，过点D作DH∥AC交BE于H，则∠EAG＝∠HDG，∠AEG＝∠DHG，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴＝＝1，∴BH＝EH，∴DH＝CE，∵E是AC的一个三等分点，且AE＝AC，∴AE＝CE，∴DH＝AE，∴△AGE≌△DGH（ASA），∴GH＝GE，∴BG﹣GH＝GE+GH，∴BG＝3GE，∴＝3，∴的值为3.【尝试应用】解：如图②，取BC的中点H，连结EH，则BH＝CH，∵AB＝AD＝6，AE⊥BD于点E，CD＝2，AF＝5，∴BE＝DE，AC＝AD+CD＝6+2＝8，∴EH∥CD，EH＝CD＝1，∵EH∥AC，∴△EHF∽△ACF，∴＝＝，∴EF＝AF＝×5＝，∴AE＝AF﹣EF＝5﹣＝，∴故答案为：．【拓展提高】解：如图③，作EL∥BF交AC于点L，∵点E为BC的中点，∴BE＝CE，∴＝＝1，∴ML＝CL＝CM，∴CM＝2ML，MB＝2LE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵CF∥AB，∴△CMF∽△AMB，∴＝