湖南省岳阳市岳阳县第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

2024年09月高二数学月考试题一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．若全集U＝{3，4，5，6，7，8}，M＝{4，5}，N＝{3，6}，则集合{7，8}等于（）A．M∪N B．M∩N C．（∁UM）∪（∁UN） D．（∁UM）∩（∁UN）2．已知＝（1，2，3），＝（2，λ，3），＝（4，2，k），若OA⊥平面ABC，则λ+k的值是（）A． B． C． D．3．样本（x1，x2，⋯，xn）的平均数为，样本（y1，y2，⋯，ym）的平均数为．若样本（x1，x2，⋯，xn，y1，y2，⋯，ym）的平均数，且n＜m，则实数α的取值范围是（）A． B． C． D．不能确定α与的大小4．已知直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m与l2：2x+（5+m）y＝8，则“l1∥l2”是“m＝﹣7”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知函数f（x）满足，若f（a）＞f（﹣a），则实数a的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1） B．（﹣1，0）∪（1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）6．已知点P（1，2）．向量，过点P作以向量为方向向量的直线为l，则点A（3，1）到直线l的距离为（）A． B． C． D．7．已知函数f（x）＝|lgx|，若存在0＜a＜b且f（a）＝f（b），使得m≥a+3b成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C．（4，+∞） D．[4，+∞）8．点P为棱长是2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为（）A． B． C． D．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．已知四面体ABCD，下列选项中，能推出AC⊥BD的有（）A．AB，AC，AD两两垂直 B．AB＝AC＝AD C．AB⊥CD，AD⊥BC D．顶点A到底面△BCD的三条边的距离相等10．已知A（2，2，0），B（0，2，2），C（2，0，2），则以下坐标表示的点在平面ABC内的是（）A．（2，1，1） B． C．（1，1，1） D．（﹣2，3，3）11．下列函数中，满足f（ln（log310））+f（ln（lg3））＝2的有（）A．f（x）＝lg（+2x）+1 B．f（x）＝+ C．f（x）＝ D．f（x）＝sin2（x+）+12．在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数图象上一动点．若点P，A之间的最短距离为，则满足条件的实数a的所有值为（）A． B． C．1 D．﹣1三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）＝4x，则f（﹣）+f（1）＝．14．已知a＞0，b＞0，直线（a﹣1）x+2y+3＝0与直线x+by﹣1＝0垂直，则的最小值是．15．如图，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上（包括端点），则三棱锥P﹣A1BD的体积的取值范围是．16．已知四面体顶点A（2，3，1），B（4，1，﹣2），C（6，3，7）和D（﹣5，﹣4，8），则从顶点D所引的四面体的高h＝．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）近期中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，决定在今年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加游泳、长跑、一分钟跳绳三项测试，其中一分钟跳绳满分20分，某校在初三上学期开始要掌握全年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到如图所示的频率分布直方图，且规定计分规则如下表：每分钟跳绳个数[155，165）[165，175）[175，185）[185，+∞）得分17181920（1）根据频率分布直方图估计样本数据的25%分位数（保留2位小数）；（2）已知在该样本中，得分为17分的同学中恰有两名男生，现从得分为17分的同学中任取2名同学，调查平时锻炼时间分配情况，求所抽取的2名同学中至少有1名男生的概率．18．（12分）设全体空间向量组成的集合为V，为V中的一个单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”．（1）设，，若，求向量；（2）对于V中的任意两个向量，，证明：；（3）对于V中的任意单位向量，求的最大值．19．（12分）在△ABC中，AC＝2，AB＝3，A＝60°．（1）求△ABC的外接圆的面积；（2）在下述条件中任选一个，求AD的长．①AD是△ABC的角平分线；②AD是△ABC的中线．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的方程是＝1（a，b＞0）．（1）当a＝1，b＝2时，求曲线C围成的区域的面积；（2）若直线l：x+y＝1与曲线C交于x轴上方的两点M，N，且OM⊥ON，求点（，）到直线l距离的最小值．21．（12分）已知函数f（x）满足：f（x+2）＝2f（x）+a（a∈R），若f（1）＝2，且当x∈（2，4]时，f（x）＝2x2﹣6x+11．（1）求a的值；（2）当x∈（0，2]时，求f（x）的解析式；并判断f（x）在（0，4]上的单调性（不需要证明）；（3）设，，若f[h（x）]≥g[h（x）]，求实数m的值．22．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2．（1）在线段PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积．

参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．D2．D3．A4．C5．B6．B7．C8．C二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．AC10．AB11．ACD12．AD三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13：﹣2．14．．15．．16．11．四．解答题（共6小题，满分70分）17．（1）177.06．（2）．18．解：（1）依题意得：，设，代入运算得：，解得＝（，0，）或．证明：（2）设，，，则＝．∴．解：（3）设与的夹角为α，则，则，∴的最大值为2．19．（1）．（2）选择①，．选择②，．20．解：（1）当a＝1，b＝2时，曲线C的方程是|x|+＝1，曲线C围成的区域为菱形，其面积为×2×4＝4；（2）当x＞0，y＞0时，有+＝1，联立直线x+y＝1可得M（，），当x＜0，y＞0时，有+＝1，联立直线x+y＝1可得N（，），由OM⊥ON可得kOMkON＝﹣1，即有•＝﹣1，化为＝﹣+2，点（，）到直线l距离d＝＝＝，由题意可得a﹣ab＜0，a﹣b＜0，ab﹣b＜0，即a＜ab＜b，可得0＜a＜1，b＞1，可得当＝，即b＝2时，点（，）到直线l距离取得最小值．21．（1）a＝7；（2）当x∈（0，2]时，f（x）＝x2+x，判断：f（x）在（0，4]上为增函数；（3）实数m的值为﹣1．22解：（1）存在，当E为PD中点时，有CE∥平面PAB．证明如下：取AP的中点G，连接BG，EG，由GE∥AD，BC∥AD，，所以GE∥BC，GE＝BC，所以四边形GBCE为平行四边形，所以GB∥CE，又CE⊄平面PAB，GB⊂平面PAB，所以CE∥平面PAB；（2）取AD的中点F，连接BF，因为AD＝2DC，BC∥AD，所以FD∥BC，FD＝BC，所以四边形FBCD是平行四边形，又CD⊥AD，所以四边形FBCD是矩形，以F为原点，，垂直于平面ABCD向上的方向为正方向，分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则F（0，0，0），B（1，0，0），A（0，﹣1，0）