高考数学（理）一轮课时达标39空间几何体的三视图直观图表面积和体积

课时达标第39讲[解密考纲]考查空间几何体的结构特征与三视图、体积与表面积，以选择题或填空题的形式出现．一、选择题1．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为(D)解析如图所示，点D1的投影为C1，点D的投影为C，点A的投影为B，故选D．2．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(D)解析由几何体的正视图和侧视图，结合四个选项中的俯视图知，若为D项，则正视图应为，故D项不可能，故选D项．3．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(B)A．2＋eq\r(5) B．2＋2eq\r(5)C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)解析三棱锥的高为1，底面为等腰三角形，如图，因此表面积是eq\f(1,2)×2×2＋2×eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＋eq\f(1,2)×eq\r(5)×2＝2＋2eq\r(5)，故选B．4．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是(A)A．eq\f(π,2)＋1 B．eq\f(π,2)＋3C．eq\f(3π,2)＋1 D．eq\f(3π,2)＋3解析由几何体的三视图可得，该几何体是由半个圆锥和一个三棱锥组成的，故该几何体的体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×π×3＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×1×3＝eq\f(π,2)＋1，故选A．5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为(B)A．6eq\r(2) B．6C．4eq\r(2) D．4解析由三视图知，该几何体为三棱锥D1－CEC1(如图所示)，∵平面CEC1⊥平面D1C1C，△D1C1C为等腰直角三角形，△CEC1为等腰三角形，且D所以CE＝C1E＝eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，CD1＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，D1E＝eq\r(42＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(5)))2)＝6，则该三棱锥最长的棱为6.6．在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)A．①和③ B．③和①C．④和③ D．④和②解析由三视图可知，正视图与俯视图分别为④②.二、填空题7．(2017·江苏卷)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则eq\f(V1,V2)的值是__eq\f(3,2)__.解析设球O的半径为r，则圆柱的底面半径为r、高为2r，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πr2·2r,\f(4,3)πr3)＝eq\f(3,2).8．等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为__eq\f(\r(2),2)__.解析如图所示．因为OE＝eq\r(\r(2)2－1)＝1，所以O′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，则直观图A′B′C′D′的面积为S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).9．某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱的长度是__eq\r(29)__.解析由三视图知，该几何体为一个四棱锥P－ABCD，其中PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB＝2AD＝4，AD⊥AB，PA＝2，∴该四棱锥的最长的棱为PC＝eq\r(22＋32＋42)＝eq\r(29).三、解答题10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PC与底面ABCD垂直，该四棱锥的正视图和侧视图如图所示，它们是腰长为6cm(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA．解析(1)该四棱锥的俯视图是边长为6cm的正方形(内含对角线)，如图，其面积为36(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．11．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4(1)若AB＝6m，PO1＝2(2)若正四棱锥的侧棱长为6m，则当PO1为多少时，解析(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，所以正四棱锥P－A1B1C1D1V锥＝eq\f(1,3)A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝312(m3)．(2)设A1B1＝a(m)，PO1＝h(m)，则0＜h＜6，O1O＝4h.连接O1B1.因为在Rt△PO1B1中，O1Beq\o\al(2,1)＋POeq\o\al(2,1)＝PBeq\o\al(2,1)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2)a,2)))2＋h2＝36，即a2＝2(36－h2)．于是仓库的容积V＝V柱＋V锥＝a2·4h＋eq\f(1,3)a2·h＝eq\f(13,3)a2h＝eq\f(26,3)(36h－h3)，0＜h＜6，从而V′＝eq\f(26,3)(36－3h2)＝26(12－h2)．当0＜h＜2eq\r(3)时，V′＞0，V是单调增函数；当2eq\r(3)＜h＜6时，V′＜0，V是单调减函数．故当h＝2eq\r(3)时取得极大值，也是最大值．因此，当PO1＝2eq\r(3)12．如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连接EF，FB，BD，DE，DF，求几何体EFC1DBC解析如图，连接DC1