二次函数考点知识点例题全

二次函数命题点份各地命题形式考察频次2021考察方向二次函数的图象和性质2021云南〔T12填〕填空1个近3考察2次，主要考察对图象的相识及性质的理解，意料2021考察的可能性较大.2021昭通〔T9选〕选择1个确定二次函数的解析式2021昆明〔T23解〕,曲靖〔T24解〕解答2个高频考点：近3考察12次，主要考察求二次函数的解析式，一般出如今压轴题中，意料2021考察的可能性很大.2021昆明〔T23解〕，曲靖〔T24解〕，大理〔T23解〕，昭通〔T25解〕，玉溪〔T23解〕，普洱〔T23解〕，德宏〔T23解〕，红河〔T23解〕，西双版纳〔24解〕解答9个2021云南〔T23解〕解答1个考点1二次函数的概念一般地，形如①(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其中x是自变量，a、b、c分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.考点2二次函数的图象和性质函数二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)aa＞0a＜0图象开口方向抛物线开口向②，并向上无限延长抛物线开口向③，并向下无限延长对称轴直线x=-直线x=-顶点坐标(-，)(-，)最值抛物线有最低点，当x=-时，y有最小值，y最小值=抛物线有最高点，当x=-时，y有最大值，y最大值=增减性在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而④；在对称轴的右侧，即当x＞-a时，y随x的增大而⑤，简记左减右增在对称轴的左侧，即当x＜-时，y随x的增大而⑥；在对称轴的右侧，即当x＞-时，y随x的增大而⑦，简记左增右减【易错提示】二次函数的增减性确定要分在对称轴的左侧或右侧两种状况探讨.考点3二次函数的图象及字母系数的关系字母或代数式字母的符号图象的特征aa＞0开口向⑧|a|越大开口越⑩a＜0开口向⑨bb=0对称轴为⑪轴ab＞0(b及a同号)对称轴在y轴⑫侧ab＜0(b及a异号)对称轴在y轴⑬侧cc=0经过⑭c＞0及y轴⑮半轴相交c＜0及y轴⑯半轴相交b2-4acb2-4ac=0及x轴有eq\o\ac(○,17)交点(顶点)b2-4ac＞0及x轴有eq\o\ac(○,18)不同交点b2-4ac＜0及x轴eq\o\ac(○,19)交点特别关系当x=1时，y=eq\o\ac(○,20)当x=-1时，y=eq\o\ac(○,21)假设a+b+c＞0，即当x=1时，yeq\o\ac(○,22)0假设a+b+c＜0，即当x=1时，yeq\o\ac(○,23)0考点4确定二次函数的解析式方法适用条件及求法一般式假设条件是图象上的三个点或三对自变量及函数的对应值，则可设所求二次函数解析式为eq\o\ac(○,24).顶点式假设二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程及最大值(最小值)，可设所求二次函数为eq\o\ac(○,25).交点式假设二次函数图象及x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，可设所求的二次函数为eq\o\ac(○,26).【易错提示】(1)用顶点式代入顶点坐标时横坐标简洁弄错符号；(2)所求的二次函数解析式最终要化成一般式.考点5二次函数及一元二次方程以及不等式之间的关系二次函数及一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c的图象及eq\o\ac(○,27)轴的交点的eq\o\ac(○,28)坐标是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根.二次函数及不等式抛物线y=ax2＋bx＋c在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的全部值就是不等式ax2＋bx＋ceq\o\ac(○,29)0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋ceq\o\ac(○,30)0的解集.考点6二次函数的应用利用二次函数解决实际问题的步骤〔1〕通过阅读理解题意；〔2〕分析题目中的变量及常量，以及它们之间的关系；〔3〕根据数量关系或图形的有关性质列出函数表达式；〔4〕根据问题的实际意义或详细要求确定自变量的取值范围；〔5〕利用二次函数的有关性质，在自变量的取值范围内.1.二次函数y=(x-h)2+k的图象平移时，主要看顶点坐标的变更，一般根据“横坐标加减左右移〞、“纵坐标加减上下移〞的方法进展.2.二次函数的图象由对称轴分开，在对称轴的同侧具有一样的性质，在顶点处有最大值或最小值，假设自变量的取值中不包含顶点，则在取最大值或最小值时，要根据其增减性而定.3.求二次函数图象及x轴的交点的方法是令y=0解关于x的方程；求函数图象及y轴的交点的方法是令x=0得y的值，最终把所得的数值写成坐标的形式.命题点1二次函数的图象和性质例1(2021·昭通)二次函数y＝ax2＋bx＋c〔a≠0〕的图象如下图，则以下结论中正确的选项是()2＋bx＋c＝0的一个根C.a＋b＋c＝0D.当x＜1时，y随x的增大而减小方法归纳：解决此类问题应留意视察所给抛物线的特征，逐个解除不符合的选项.1.〔2021·上海〕假设将抛物线y＝x2向右平移1个单位，则所得的抛物线的表达式是()A.y＝x2－1B.y＝x2＋1C.y＝(x－1)2D.y＝(x＋1)22.〔2021·巴中〕对于二次函数y=2(x+1)(x-3)，以下说法正确的选项是()A.图象的开口向下B.当x>1时，y随x的增大而减小C.当x<1时，y随x的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=－13.〔2021·云南〕抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为.4.〔2021·珠海〕如图，对称轴平行于y轴的抛物线及x轴交于〔1，0〕，〔3，0〕两点，则它的对称轴为.5.〔2021·滨州〕二次函数y=x2-4x+3.〔1〕用配方法求其函数的顶点C的坐标，并描绘该函数的函数值随自变量的增减而增减的状况；〔2〕求函数图象及x轴的交点A，B的坐标〔A在B的左侧〕，及△ABC的面积.命题点2二次函数的图象及系数的关系例2抛物线y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，则以下说法正确的选项是()2-4ac＜0B.abc＜0C.-＜-1D.a-b+c＜0方法归纳：解决此类问题应当理解a,b,c,Δ=b2-4ac,a+b+c,a-b+c的符号断定的方法，同时还要视察对称轴x=.1.(2021·黔东南)如图，二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如下图，以下4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④b2-4ac＞0.其中正确结论的有()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④2.(2021·陕西)二次函数y=ax2+bx+c〔a≠0〕的图象如图，则以下结论中正确的选项是()A.c＞-1B.b＞0C.2a+b≠0D.9a3.〔2021·巴中〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，则以下表达正确的选项是()A.abc＜0B.-3a+c＜02-4ac≥0D.将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y=ax2+c命题点3确定二次函数的解析式例3〔2021·泰州〕如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=x2+bx+c的图象经过B,C两点.〔1〕求该二次函数的解析式；〔2〕结合函数的图象探究：当y>0时x的取值范围.【思路点拨】〔1〕通过正方形的边长得出点Ｂ，Ｃ的坐标，然后代入函数解析式列方程求解；〔２〕求出函数图象及x轴的交点坐标，结合图象求解.【解答】方法归纳：求二次函数的解析式，通常承受待定系数法，根据题目给出的条件选择不同的函数表达式，这样便于计算.1.〔2021·安徽〕二次函数图象的顶点坐标为〔1，-1〕，且经过原点〔0，0〕，求该函数的解析式.2.〔2021·宁波〕如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象过A〔2,0〕，B〔0，-1〕和C〔4,5〕三点.〔1〕求二次函数的解析式；〔2〕设二次函数的图象及x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；〔3〕在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.1.〔2021·益阳〕抛物线y=2〔x-3〕2+1的顶点坐标是()A.〔3，1〕B.〔3，-1〕C.〔-3，1〕D.〔-3，-1〕2.〔2021·宿迁〕假设将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为()A.y=(x+2)2+3B.y=(x－2)2+3C.y=(x+2)2－3D.y=(x－2)2－33.〔2021·泰安〕设A〔-2，y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y=-(x+1)2+m上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为()1＞y2＞y31＞y3＞y2C.y3＞y2＞y12＞y1＞y4.(2021·东营)假设函数y=mx2+(m+2)x+m+1的图象及x轴只有一个交点，则m的值为()2C.2或-2D.0,2或-25.〔2021·毕节〕抛物线y=2x2，y=-2x2,y=x2共有的性质是()6.〔2021·黄石〕二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图，则函数值y＞0时，x的取值范围是()A.x＜-1B.x＞3C.-1＜x＜3D.x＜-1或x＞37.〔2021·新疆〕对于二次函数y=〔x-1〕2+2的图象，以下说法正确的选项是()A.开口向下B.对称轴是x=-1C8.〔2021·淄博〕如图，二次函数y=x2+bx+c的图象过点B〔0，-2〕.它及反比例函数y=的图象交于点A〔m，4〕，则这个二次函数的解析式为()A.y=x2-x-2B.y=x2-x+2C.y=x2+x-2D.y=x9.〔2021·广安〕二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，对称轴是直线x=1.以下结论：①abc＞0，②2a+b=0，③b2-4ac＜0，④4a+2b+c＞0.其中正确的选项是()A.①③②C.②④D.③④10.〔2021·长沙〕抛物线y=3(x-2)2+5的顶点坐标是.11.〔2021·北京〕请写出一个开口向上，并且及y轴交于点〔0，1〕的抛物线的解析式.12.函数y=-3(x-2)2+4，当x=时，函数获得最大值为.13.〔2021·河南〕点A〔2，y1〕,B〔3，y2〕是二次函数y=x2－2x＋1的图象上两点，则y1及y2的大小关系为y1<y2〔填“＞〞“＜〞或“=〞〕.14.(2021·安徽)某厂今一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金及上月相比增长率都是x，则该厂今三月份新产品的研发资金y〔元〕关于x的函数关系式为.15.(2021·温州)如图，抛物线y=a(x－1)2∥x轴交抛物线的对称轴于点D，连接BD.点A的坐标为〔－1,0〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕求梯形COBD的面积.16.〔2021·龙东〕如图,二次函数y=ax2+bx+3的图象及x轴交于A〔－3,0〕和B〔1,0〕两点，交y轴于点C，点C,D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B,D.〔1〕请干脆写出D点的坐标；〔2〕求二次函数的解析式；〔3〕根据图象干脆写出访一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.1.〔2021·荆州〕将抛物线y＝x2－6x＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是()A.y＝(x－4)2－6B.y＝(x－4)2－2C.y＝(x－2)2－2D.y＝(x－1)2－32.〔2021·黔东南〕抛物线y=x2-x-1及x轴的一个交点为〔m，0〕，则代数式m2-m+2014的值为()A.2012B.2013C3.〔2021·长沙〕函数y=及y=ax2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()4.〔2021·泰安〕函数y=-〔x-m〕〔x-n〕〔其中m＜n〕的图象如下图，则一次函数y=mx+n及反比例函数y=的图象可能是()5.〔2021·凉山〕以下图形中阴影部分的面积相等的是()A.②③B.③④C.①②D.①④6.〔2021·枣庄〕二次函数y=ax2+bx+c的x,y的部分对应值如下表：x-10123y51-1-11则该二次函数图象的对称轴为()A.y轴B.直线x=C.直线x=2D.直线x=7.〔2021·烟台〕二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如下图，图象过点〔－1，0〕，对称轴为直线x=2,以下结论：其中正确的结论有()①4a+b=0;②9a+c＞3b;③8a+7b+2c＞0;④当x＞－1时，y的值随x的值的增大而增大.8.〔2021·齐齐哈尔〕如图，抛物线的顶点为A〔1，4〕,抛物线及y轴交于点B〔0，3〕，及x轴交于C,D两点.点P是x轴上的一个动点.〔1〕求此抛物线的解析式;〔2〕当PA+PB的值最小时，求点P的坐标.9.(2021·徐州)某种商品每天的销售利润y〔元〕及销售单价x〔元〕之间满意关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.〔1〕销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？〔2〕销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？参考答案考点解读①y=ax2+bx+c②上③下④减小⑤增大⑥增大⑦减小⑧上⑨下⑩小⑪y⑫左⑬右⑭原点⑮正⑯负eq\o\ac(○,17)唯一eq\o\ac(○,18)两个不同eq\o\ac(○,19)没有eq\o\ac(○,20)a+b+ceq\o\ac(○,21)a-b+ceq\o\ac(○,22)＞eq\o\ac(○,23)＜eq\o\ac(○,24)y=ax2+bx+ceq\o\ac(○,25)y=a(x-h)2+keq\o\ac(○,26)y=a(x-x1)(x-x2)eq\o\ac(○,27)xeq\o\ac(○,28)横eq\o\ac(○,29)＞eq\o\ac(○,30)＜各个击破例1B解析：根据抛物线的开口向下，可推断a＜0，故A错误；由抛物线及x轴的交点〔-1,0)和对称轴x=1可知抛物线及x轴的另一个交点是〔3,0〕，故B正确；由当x=1时，y=a+b+c≠0，故Ｃ错误；从图象即可看出，当x＜1时，y随x的增大而增大，故Ｄ错误.应选B.题组训练1.C2.C3.(1,2)4.直线x=25.(1)y=x2-4x+3=x2-4x+4-1=(x-2)2-1,∴其函数的顶点C的坐标为〔2，-1〕，∴当x≤2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大.(2)令y=0,则x2-4x+3=0，解得x1=1,x2=3,∴A〔1，0〕，B〔3，0〕，AB=|1-3|=2.过点C作CD⊥x轴于D，则△ABC的面积=AB·CD=×2×1=1.例2C解析：由图象及x轴有2个交点可推断Ａ错误；根据图象的开口方向、对称轴、及y轴的交点可推断a＜0，＜-1，c＞0，即abc＞0，故B错误，C正确；由当x=-1时，y=a-b+c＞0可推断题组训练1.B2.D3.B例3(1)由题意可得：B〔2,2〕，C〔0,2〕，将B,C坐标代入y=x2+bx+c，得c=2，b=，∴二次函数的解析式是y=x2+x+2.(2)解x2+x+2=0，得x1=3，x2=-1.由图象可知：y>0时x的取值范围是-1＜x＜3.题组训练1.设二次函数的解析式为y=a〔x-1〕2-1〔a≠0〕，∵函数图象经过原点〔0，0〕，∴a〔0-1〕2-1=0，解得a=1，∴该函数解析式为y=〔x-1〕2-1.2.(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过B〔0，－1〕，∴二次函数解析式为y=ax2+bx－1.∵二次函数y=ax2+bx－1的图象过A〔2,0〕和C〔4,5〕两点，∴解得∴y=x2－x－1.(2)当y=0时，x2－x－1=0，解得x=2或x=-1，∴D〔-1,0〕.(3)如图，当-1＜x＜4时,一次函数的值大于二次函数的值.整合集训根底过关1.A2.B3.A4.D5.B6.D7.C8.A9.C10.(2,5)11.y＝x2＋112.2413.＜14.y=a(1＋x)215.(1)把A〔－1,0〕代入y=a(x