高考总复习文数（北师大版）讲义第1章第01节集合

第一节集合考点高考试题考查内容核心素养集合2017·全国卷Ⅰ·T1·5分集合运算与一次不等式的解法数学运算2017·全国卷Ⅱ·T1·5分并集运算2017·全国卷Ⅲ·T1·5分交集运算2016·全国卷Ⅰ·T1·5分集合的交集运算数学运算2016·全国卷Ⅱ·T1·5分集合运算与二次不等式的解法2016·全国卷Ⅲ·T1·5分集合补集运算2015·全国卷Ⅰ·T1·5分集合交集运算数学运算2015·全国卷Ⅱ·T1·5分集合交集运算命题分析集合的基本运算以及一元二次方程、函数定义域、值域的综合问题是高考的热点；难点是以集合及相关知识为背景的综合问题.1．元素与集合(1)集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．(2)集合与元素的关系：若a属于集合A，记作a∈A；若b不属于集合A，记作b∉A．(3)集合的表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)常用数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN＋或N*ZQR2.集合与集合之间的基本关系描述关系文字语言符号语言集合间的基本关系子集A中任何一元素都是B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于AAB或BA相等如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，同时集合B中的任何一个元素都是集合A中的元素A＝B空集空集是任何集合的子集∅⊆A空集是任何非空集合的真子集∅B且B≠∅3.集合间的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A的补集为∁UA图形表示意义{x|x∈A，或x∈B}{x|x∈A，且x∈B}{x|x∈U，且x∉A}提醒：(1)若集合A含有n个元素，则其子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．(3)集合的运算性质①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A．(4)Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)集合{x2＋x,0}中实数x可取任意值．()(2)任何集合都至少有两个子集．()(3)若A＝{0,1}，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，则A⊆B．()(4)已知集合A＝{x|y＝x2}，B＝{y|y＝x2}，C＝{(x，y)|y＝x2}，则A＝B＝C．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．(教材习题改编)若集合A＝{x∈N＋|x≤8}，a＝2eq\r(2)，则下面结论中正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉A解析：选D因为2eq\r(2)不是正整数，所以a∉A．3．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，则A∩B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B∵A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，∴A∩B＝{2,4}．∴A∩B中元素的个数为2.故选B．4．(2016·全国卷Ⅲ)设集合A＝{0,2,4,6,8,10}，B＝{4,8}，则∁AB＝()A．{4,8} B．{0,2,6}C．{0,2,6,10} D．{0,2,4,6,8,10}解析：选C∁AB＝{0,2,6,10}．5．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝()A．{1,3,4} B．{3,4}C．{3} D．{4}解析：选D因为A∪B＝{1,2,3}，U＝{1,2,3,4}，所以∁U(A∪B)＝{4}．集合及集合间的关系[明技法](1)与集合中的元素有关问题的求解策略一看元素，二看限制条件，三列式求参数的值或确定集合中元素的个数．注意检验集合是否满足元素的互异性．(2)判断两集合的关系常有两种方法①化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．②用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．[提能力]【典例】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为()A．3 B．4C．5 D．6(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为____________解析：(1)∵a∈A，b∈B，∴x＝a＋b为1＋4＝5,1＋5＝2＋4＝6,2＋5＝3＋4＝7,3＋5＝8.共4个元素．(2)∵B⊆A，∴若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.若B≠∅，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.②由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为(－∞，3]．答案：(1)B(2)(－∞，3][母题变式]在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？解：若A⊆B，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤－3，,m≥3.))所以m的取值范围为∅.[刷好题]1．(金榜原创)已知集合A＝{x|y＝ln(x＋3)}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是()A．A＝B B．A∩B＝∅C．A⊆B D．B⊆A解析：选D因为A＝{x|x>－3}，B＝{x|x≥2}，所以结合数轴可得B⊆A．2．(2018·莱州模拟)已知集合A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{C|C⊆A}，则集合B中元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．5解析：选CA＝{x∈N|(x＋3)(x－1)≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C．集合的运算[析考情]集合的基本运算是历年高考的热点．高考中主要考查求集合的交、并、补运算，常与解不等式、求函数定义域和值域等知识相结合．考查题型以选择题为主，属容易题，分值5分．[提能力]命题点1：求交集或并集【典例1】(1)(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1,0}C．{1,3} D．{1,5}解析：选C∵A∩B＝{1}，∴1∈B．∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．(2)(2017·浙江卷)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，那么P∪Q＝()A．(－1,2) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,2)解析：选A∵P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜2}，∴P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，故选A．命题点2：交、并、补的综合运算【典例2】(1)已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝()A．[2,3] B．(－2,3]C．[1,2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B∵Q＝{x∈R|x2≥4}，∴∁RQ＝{x∈R|x2＜4}＝{x∈R|－2＜x＜2}．∵P＝{x∈R|1≤x≤3}，∴P∪(∁RQ)＝{x∈R|－2＜x≤3}＝(－2,3]．(2)(2018·柳州模拟)设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁UA)∩B＝________.解析：由题意U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，则∁UA＝{4,6,7,9,10}，∴(∁UA)∩B＝{7,9}．答案：{7,9}命题点3：集合的新定义问题【典例3】设A，B是非空集合，定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知集合A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥0}，则A⊗B＝________.解析：由已知，A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≥0))，A∩B＝{x|0<x<2}，故由新定义结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．答案：{0}∪[2，＋∞)[悟技法]解决集合运算问题的四个关注点(1)看元素构成：集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键．(2)对集合化简：有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决．(3)应用数形：常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．(4)创新性问题：以集合为依托，对集合的定义、运算、性质进行创新考查，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决．[刷好题]1．(2018·兰州一模)已知集合M＝{x|(x－3)(x＋1)≥0}，N＝{x|－2≤x≤2}，则M∩N＝()A．[－2，－1] B．[－1,2]C．[－1,1] D．[1,2]解析：选A由(x－3)(x＋1)≥0，解得：x≤－1或x≥3，∴M＝{x|x≤－1或x≥3}，∵N＝{x|－2≤x≤2}，则M∩N＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1]．2．(2018·晋中一模)设U＝R，A＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁UB)＝()A．{1,2} B．{－1,0,1}C．{－2，－1,0} D．{－2，－1,0,1}解析：选C因为全集U＝R，集合B＝{x|x≥1}，所以∁UB＝{x|x＜1}＝(－∞，1)，且集合A＝{－2，－1,0,1,2}，所