2024高考数学一轮备考复习第8章立体几何第2节空间几何体的表面积与体积课时跟踪检测文含解析新人教B版

PAGE第八章立体几何其次节空间几何体的表面积与体积A级·基础过关|固根基|1.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是()A．4π B．3πC．2π D．π解析：选C由几何体的形成过程知，所得几何体为圆柱，底面半径为1，高为1，其侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.2．(2025届惠州市高三其次次调研)某几何体的三视图如图所示，其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成的，俯视图由圆与内接三角形构成，则该几何体的体积为()A.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,6) B.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6) D.eq\f(\r(2)π,3)＋eq\f(1,2)解析：选C由三视图可知该几何体是一个半球上面有一个三棱锥，其体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(\r(2)π,6)＋eq\f(1,6)，故选C.3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为()A．2 B．4＋2eq\r(2)C．4＋4eq\r(2) D．4＋6eq\r(2)解析：选C由三视图知，该几何体是直三棱柱ABC－A1B1C1，其中AB＝AA1＝2，BC＝AC＝eq\r(2)，∠ACB＝90°，其直观图如图所示，侧面为三个矩形，故该“堑堵”的侧面积S＝(2＋2eq\r(2))×2＝4＋4eq\r(2)，故选C.4.如图，有一个水平放置的透亮无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，假如不计容器的A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3解析：选A设球的半径为R，则由题意知，球被正方体上底面截得的圆的半径为4cm，球心到截面圆的距离为(R－2)cm，则R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5，所以球的体积为eq\f(4π×53,3)＝eq\f(500π,3)(cm3)．5．(2025届辽宁五校协作体联考)一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．36 B．48C．64 D．72解析：选B由几何体的三视图可得，几何体如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为eq\f(1,2)×3×4×4＋eq\f(1,2)×3×4×4＝48，故选B.6.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－解析：三棱锥D1－EDF的体积即为三棱锥F－DD1E的体积．因为E，F分别为AA1，B1C上的点，所以在正方体ABCD－A1B1C1D1中，△EDD1的面积为定值eq\f(1,2)，F到平面AA1D1D的距离为定值1，所以Veq\a\vs4\al(D1－EDF)＝Veq\a\vs4\al(F－DD1E)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)7．(2025届福建市第一学期高三期末)已知圆柱的高为2，底面半径为eq\r(3)，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积为________．解析：如图，由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，于是，球的半径r＝OB＝eq\r(OA2＋AB2)＝eq\r(12＋（\r(3)）2)＝2.故这个球的表面积S＝4πr2＝16π.答案：16π8．已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，沿AD进行折叠，使折叠后的∠BDC＝eq\f(π,2)，则过A，B，C，D四点的球的表面积为________．解析：连接BC，由题知几何体ABCD为三棱锥，BD＝CD＝1，AD＝eq\r(3)，BD⊥AD，CD⊥AD，BD⊥CD，将折叠后的图形补成一个长、宽、高分别是eq\r(3)，1，1的长方体，其体对角线长即为外接球的直径，2R＝eq\r(1＋1＋3)＝eq\r(5)，故该三棱锥外接球的半径是R＝eq\f(\r(5),2)，其表面积为4πR2＝5π.答案：5π9.现须要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形态是正四棱锥P－A1B1C1D1，下部的形态是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如图所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍，若AB＝6m，PO1＝解：由PO1＝2m，知O1O＝4PO1＝8m．因为A1B1＝AB＝6m，所以正四棱锥P－A1B1C1D1的体积V锥＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)；正四棱柱ABCD－A1B1C1D1V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，所以仓库的容积V＝V锥＋V柱＝24＋288＝312(m3)．故仓库的容积是312m10．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E＝D1F＝4.过点E，F(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．解：(1)交线围成的正方形EHGF如图所示．(2)如图，作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝16－4＝12，EM＝AA1＝8.因为四边形EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.于是MH＝eq\r(EH2－EM2)＝6，则AH＝10，HB＝6.故S四边形A1EHA＝eq\f(1,2)×(4＋10)×8＝56，S四边形EB1BH＝eq\f(1,2)×(12＋6)×8＝72.因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，所以其体积的比值为eq\f(9,7)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)也正确)).B级·素养提升|练实力|11.已知一个简洁几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．3π＋6 B．6π＋6C．3π＋12 D．12解析：选A由三视图还原几何体如图，该几何体为组合体，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，则其体积V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×π×32×4＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×3×4＝3π＋6.故选A.12．体积为eq\r(3)的三棱锥P－ABC的顶点都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA＝2，∠ABC＝120°，则球O的体积的最小值为()A.eq\f(7\r(7),3)π B.eq\f(28\r(7),3)πC.eq\f(19\r(19),3)π D.eq\f(76\r(19),3)π解析：选B设AB＝c，BC＝a，AC＝b，由题可得，eq\r(3)＝eq\f(1,3)×S△ABC×2，解得S△ABC＝eq\f(3\r(3),2)，因为∠ABC＝120°，S△ABC＝eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(1,2)acsin120°，所以ac＝6，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos120°＝a2＋c2＋ac≥2ac＋ac＝3ac＝18，当且仅当a＝c时取等号，此时bmin＝3eq\r(2)，设△ABC外接圆的半径为r，则eq\f(b,sin120°)＝2r(b最小，则外接圆半径最小)，故eq\f(3\r(2),\f(\r(3),2))＝2rmin，所以rmin＝eq\r(6)，如图，设O1为△ABC外接圆的圆心，过O作OD⊥PA，垂足为D，R为球O的半径，连接O1A，O1O，OA，OD，PO，设OO1＝h，在Rt△OO1A中，R2＝r2＋OOeq\o\al(2,1)＝r2＋h2，在Rt△OPD中，R2＝r2＋(2－h)2，联立得h＝1.当rmin＝eq\r(6)时，Req\o\al(2,min)＝6＋1＝7，Rmin＝eq\r(7)，故球O体积的最小值为eq\f(4,3)πReq\o\al(3,min)＝eq\f(4,3)π×(eq\r(7))3＝eq\f(28\r(7)π,3)，故选B.13．榫卯是我国古代工匠极为精致的独创，它是在两个构件上采纳凹凸部分相结合的一种连接方式．我国的北京紫禁城、山西悬空寺、福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构．图中网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一种榫卯构件中榫的三视图，则其体积为________，表面积为________．解析：由三视图可知，榫卯构件中的榫由一个长方体和一个圆柱拼接而成，故其体积V＝4×2×3＋π×32×6＝24＋54π，表面积S＝2×π×32＋2×π×3×6＋4×3×2＋2×2×3＝54π＋36.答案：24＋54π54π＋3614．(2025届合肥调研)如图，已知三棱柱ABC－A1B1C1，M为棱AB上一点，BC1∥平面A1MC(1)求证：AM＝BM；(2)若△ABC是等边三角形，AB＝AA1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，△A1MC的面积为4eq\r(2)，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解：(1)证明：如图，连接AC1交A1C于N，连接MN∵BC1∥平面A1MC，BC1⊂平面ABC1，平面ABC1∩平面A1MC＝MN，∴BC1∥MN.由三棱柱ABC－A1B1C1知，四边形ACC1A1为平行四边形，∴N为AC∴M为AB的中点，即AM＝BM.(2)连接A1B，∵△ABC是等边三角形，AB＝AA1，∠A1AB＝∠A1AC＝60°∴△ABC，△AA1B，△AA1C由(1)知，M为AB的中点，∴