山东省威海荣成市2025届高三数学上学期期中试题理含解析

PAGEPAGE22山东省威海荣成市2025届高三数学上学期期中试题理（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试时间120分钟.满分150分.答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在答题纸规定的位置.第Ⅰ卷（选择题共60分）留意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的性质化简集合，求出，利用交集的定义运算求出结果．【详解】，，解得，则，故选：B【点睛】本题考查集合的交并补运算，考查对数不等式，属于基础题．2.下列四个命题中真命题的个数是（）①“”是“”的充分不必要条件；②命题“”的否定是“”；③“，则为偶函数”的逆命题为真命题；④命题，命题，则为真命题A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用小范围可推出大范围推断①；利用全称量词命题的否定为存在量词命题推断②；利用正弦函数的奇偶性推断③；利用对数的性质和二次函数的图象推断④．【详解】①，即或，所以“”是“”的充分不必要条件，正确；②命题“”的否定是“”，正确；③“，则为偶函数”的逆命题为“为偶函数，则”，命题错误，当函数为偶函数时，；④，命题正确；，命题错误；则为假命题，错误；故选：C【点睛】本题考查命题真假的推断，考查充分必要条件的应用，考查全程量词命题和存在量词命题，考查三角函数的性质，属于中档题．3.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A. B. C.4 D.【答案】C【解析】【分析】首先解方程确定积分上限和积分下限，然后利用定积分可得封闭图形的面积.【详解】解方程可得：，求解第一象限内围成的封闭图形的面积，则积分上限为2，积分下限为0，利用定积分求解面积的方法可得所求面积的值为：.故选C.【点睛】本题主要考查定积分的应用，利用定积分求解封闭图形的面积的方法等学问，意在考查学生的转化实力和计算求解实力.4.如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、CC1的中点,则异面直线AE与BF所成角的余弦值为A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】本题考查两条异面直线所成的角.取线段的中点，连结，则且，则四边形是矩形，故.所以即为与所成的角.设正方体的棱长为，则，所以；连结，则；则；又，所以在中，由余弦定理得故正确答案为5.设为所在平面内一点，且，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用平面对量的线性运算法则干脆表示即可得解.【详解】由题意作出图形，如图：则.故选：B.【点睛】本题考查了平面对量线性运算法则的应用，属于基础题.6.已知实数x，y满意条件，则的最小值为（）A. B.4 C.2 D.3【答案】C【解析】【分析】画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入计算，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可互为直线，当直线过点时在轴上的截距最小，此时目标函数取得最小值，又由，解得，所以目标函数的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查简洁线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算实力．7.在等比数列中，首项，公比，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列的基本量运算可求出的值．【详解】数列为等比数列，且首项，公比，又，，故故选：A【点睛】本题考查等比数列的基本量运算，考查学生计算实力，属于基础题．8.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向右平移个单位长 B.向右平移个单位长C.向左平移个单位长 D.向左平移个单位长【答案】A【解析】【分析】化简得到，依据平移法则得到答案.【详解】.故向右平移个单位长可以得到的图像.故选：A.【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移的理解和驾驭状况.9.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积等于A.24 B.30 C.10 D.【答案】A【解析】【分析】依据几何体的三视图得出该几何体是三棱柱去掉一个三棱锥所得的几何体，结合三视图的数据，求出它的体积．【详解】依据几何体的三视图，得该几何体是三棱柱截去一个三棱锥后所剩几何体几何体是底面为边长为的三角形，高为的三棱柱被平面截得的，如图所示：由题意：原三棱柱体积为：截掉的三棱锥体积为：所以该几何体的体积为：本题正确选项：【点睛】本题考查的学问点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形态．10.已知函数，，则实数a的取值范围是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依据条件推断的奇偶性和单调性，把不等式转化为进行求解即可.【详解】当时，，则，当时，，则，∴函数为偶函数，∴.又当时，函数单调递增，∴可转化为，则，∴，解得.故选：A.【点睛】本题考查了分段函数的性质，考查函数的单调性与奇偶性，考查学生的推理实力与计算求解实力，属于中档题.11.在△中，是上的点，平分，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】过点作，延长与交于点，可证明△∽△，结合平分，可得，，从而可知.【详解】过点作，延长与交于点，则，所以△∽△，且，又因为平分，所以，故△是等腰三角形，且，所以.故选：C.【点睛】本题考查角分线、相像三角形的性质，考查学生的推理实力，属于基础题.12.定义域为的函数的导函数为，满意，若，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，求导可推断是上的减函数，不等式可转化为，从而可求出的取值范围.【详解】令，求导得，∵，∴，则是上的减函数，又等价于，而，∴，∴.故选：D.【点睛】本题考查利用导数探讨函数的单调性，构造函数是解决本题的关键，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）留意事项：1.请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在答题纸的指定位置.书写的答案如需改动，要先划掉原来的答案，然后再写上新答案.2.不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效.在试题卷上答题无效.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量夹角为,,则.【答案】【解析】【分析】利用平面对量数量积公式以及数量积的运算法则，求得的值，再开平方即可得结果.【详解】因为向量的夹角为,,所以,.【点睛】向量数量积的运算主要驾驭两点：一是数量积的基本公式；二是向量的平方等于向量模的平方.14.等差数列{an}的公差d≠0满意成等比数列，若=1，Sn是{}的前n项和，则的最小值为________．【答案】4【解析】【分析】成等比数列，=1，可得：=，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分别常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．【详解】∵成等比数列，a1=1，∴=，∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d=2．∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．Sn=n+×2=n2．∴==n+1+﹣2≥2﹣2=4，当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，故答案4．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.15.已知、是球的球面上两点，，球的表面积为，为球面上的动点，则三棱锥体积的最大值为___________.【答案】【解析】【分析】计算出球的半径的值，并计算出的面积，进而可求得体积的最大值为，即可得解.【详解】如下图所示：设球的半径为，球的表面积为，可得，，，是边长为的等边三角形，则的面积为，当平面时，三棱锥体积取得最大值.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥体积最值的计算，确定点的位置是解题的关键，考查计算实力，属于中等题.16.若函数在上递增，则的取值范围___________.【答案】.【解析】【分析】依据函数，求导，由函数在上递增，则在上恒成立，令，转化为在恒成立求解.【详解】由函数，所以，因为函数在上递增，所以在上恒成立，令，所以在恒成立，令，所以，解得，故答案为：【点睛】本题主要考查导数与函数单调性的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的实力，属于中档题.三、解答题：本大题6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，且，求的周长.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到，再由，则，即可求得；（2）由（1）和，求得，再利用余弦定理，求得，进而得到三角形周长.【详解】（1）在中，因为由正弦定理得，，可得，即，可得，又因为，则，因此.（2）由，可得，又，故，因为，依据余弦定理，可得，所以，即，所以周长为.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，娴熟驾驭定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.18.如图，在以为顶点的五面体中，面为正方形，，，.（1）证明：平面平面；（2）证明：；（3）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）由，，可得平面，由此能证明平面平面；（2）先证明，可得平面，再由线面平行的性质可得；（3）过作直线，分别以FA，FE，l，为x，y，z建立如图所示空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，利用夹角公式可得结果.【详解】（1）因为平面为正方形，所以，又因为，所以，因为平面，平面，且，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）证明：∵，面，面平面平面，平面平面；（3）过作直线，∵平面平面，∴面，所以l，FA，FE两两垂直，分别以FA，FE，l为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.，，，设面的法向量，，取，求得，，，∴FA与平面所成角的正弦值为【点睛】本题考查面面垂直、线线平行的证明，线面角的向量法，是中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）视察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）依据定理结论求出相应的角和距离.19.已知数列的前项和为，，，.（1）证明：数列是等差数列，并求；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；；（2）.【解析】【分析】(1)由知，当时：，两式作差化简，可证明数列是等差数列；利用等差数列的通项公式可求得；(2)由(1)求出，利用裂项相消法求和可得结果．【详解】(1)证明：由知，当时：，即，∴，对成立.又，∴是首项为1，公差为1的等差数列.∴(2)∴=【点睛】本题考查定义法证明等差数列，考查数列求和，考查数列递推关系式，属于中档题．20.设函数.（1）若曲线在点处的切线与垂直，求函数的解析式；（2）假如对于随意的，都有成立，试求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求导，由已知得，求出得解（2）求导得到在上的最大值为转化得到在恒成立.构造函数求得的最大值为，得解【详解】（1），∵曲线在点处的切线与垂直，∴，.（2），∴，，，，∴在上递减，在上递增，∴在上的最大值为较大者，即，∵对于随意的，都有成立，∴即对随意的成立.令，，∴，，，，∴在上递增，在上递减，的最大值为，∴，.【点睛】本题考查函数导数几何意义及利用导数探讨函数最值及不等式恒成立求参数范围.属于基础题.21.如图，在多面体中，平面平面，平面，，∥，且.（1）求证：平面；（2）求证：∥平面；（3）求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）依据平面∥平面，利用面面平行的性质定理得，再由，得到四边形为平行四边形，从而∥，然后结合平面得证.（2）连接，依据平面∥平面，利用面面平行的性质定理得∥，再由∥，且，得到四边形为平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明.（3）依据两两垂直，建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，然后由求解.【详解】（1）平面∥平面，平面平面，平面平面，∴又，四边形为平行四边形，∥面，平面（2）连接，平面∥平面，平面平面，平面平面，∴∥，∥，∴∥，，∴四边形为平行四边形，∴，又，∴∥平面.（3）由已知，两两垂直，建立如图的空间坐标系，设，则∴设平面的一个法向量为，