沪教版 七年级(上)数学 秋季课程 第8讲 因式分解综合(解析版)

因式分解综合

嗓》内容分析

本节课的内容，主要是对因式分解的四种方法——提取公因式法，公式法,

十字相乘，分组分解法进行综合练习.通过本节课的学习，可以帮助同学们在做

题目时，更加快速准确地找准分解因式的方法.并且可以用因式分解的思想去解

决实际问题.

g)知识结构

9J例题解析

【例1】下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是().

A.x{a-b)=ax-bxB-x2-1+y2=(x-l)(x+1)+j2

C.x?-1=(尤+l)(x-1)D.ax+bx+c=x{a+b)+c

【答案】C

【解析】因式分解是将一个多项式分解成因式乘积的形式.

【总结】考察因式分解的定义.

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【例2】如果一个多项式因式分解的结果是伊+2）（2-A）,那么这个多项式是（).

A.Z/-4B.4-b4C.b4+4D.b4-4

【答案】B

【解析】伊+2）（2-62）=（2+万）（2-万）=4-〃.

【总结】考察平方差公式的运用.

【例3】下列各式中，是完全平方式的是（）.

A.y2—y-|—3.1+C•a+cib+1D.x?+2x—1

【答案】A

【解析】y2_y+J_=（*.

42

【总结】考察用完全平方公式的运用.

【例4】如果%2+侬:+〃是一个完全平方式，则相、〃的关系是

【答案】m2=4n.

【解析1《）2="，m2=4n.

【总结】考察对完全平方式的理解及运用.

【例5】利用因式分解计算：

2

1211441112

(1)992-1012；(2)

1441691213

【答案】(1)-400；(2)287.

【解析】(1)992-1012=(99+101)(99-101)=200x(-2)=^100

，八人11,12

1213

2

原式可化为L一码+3一力2_-3+6)3一份+(〃—6)2=一,

11a-b

1112

将。、b代入上式，得原式=旧二9="：13+122=287.

12_H122-13x11

1312

【总结】考察因式分解在简便运算中的应用.

【例6】已知a、b、c是AABC的三边，^,cr+b2+c2=ab+ac+bc,那么AABC的形状

是().

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形

【答案】C

【解析】由。2++c~=ab+ac+be，得：2(a~+b~+c2)-2(ab+ac+be')—0')

即(a—6)2+(b-c)2+(a—c)2=0,所以o=6,b=c,a=c.

即AABC为等边三角形.

【总结】本题一方面考察完全平方式的运用，另一方面考查几个非负数的和为零的基本模型.

【例7】如果多项式尤②+质+16可分解成两个一次因式的积，且左为整数，那么左不可能

是().

A.10B.-17C.-15D.8

【答案】C

【解析】16=16x1=-16x(-l)=4*4=Tx(T)=2x8=-2x(-8),

所以上=±17或±8或±10,故选C.

【总结】考察对十字相乘法的理解及运用.

【例8】分解因式：

(1)9(x+2y)2-25(x-2y)2=；(2)10?"—1=；

(3)尤2y?-;/=；(4)3/-6a+3=；

(5)1+—a+—a2=；(6)x2-x-6=；

216

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(7)X4+7X2-8=；(8)3y2+llj+10=.

【答案】(1)-8(2x-y)(x—8y)；(2)(10"+1)(10"-1)；(3)/(尤+1)(尤一1)；(4)3(G-1)2；

(5)(1+-(7)2；(6)(尤一3)(尤+2)；(7)(%+1)(X-1)(%2+8)；(8)(3y+5)(y+2).

4

【解析】(1)(2)(3)用平方差公式分解；(4)(5)用完全平方公式法分解；

(6)(7)(8)用十字相乘法分解.

【总结】本题主要考察利用适当的方法对多项式进行因式分解，注意分解一定要彻底.

【例9】已知一矩形面积S=W+5〃+4)(/+5〃+6)=35,求此矩形的周长.

【答案】24.

【解析】由题意，可得：(n2+5n)2+10(/22+5/2)-11=0,

分解因式，得：(〃~+5〃+11)(〃~+5〃—1)=0,则/+5"=—11或A?。+5”=1.

因为矩形边长为正整数，所以“2+5〃=1,所以一组邻边长为5和7,

所以此矩形的周长为：(5+7)X2=24.

【总结】本题一方面考查因式分解在实际问题中的应用，另一方面考查整体思想的运用.

【例10]已知a+6=3,ab=-2,利用因式分解求解。2(。+6)+与(.+6)的值.

【答案】39.

【解析】a2[a+b)+b2(a+b)=(a+bXa2+b2)=(a+b)[(a+b)2-2ab]=3x(9+4-)=39.

【总结】考察因式分解的运用，利用已知条件求值.

【例11]已知X?+J+2z?-2x+4y+4z+7=0,则；(yz=.

【答案】2.

【解析】因为x2+V+2z2-2x+4y+4z+7=0,所以(x-lp+(y+2y+2(z+lp=0.

BPx=1,y=-2,z=-l,所以孙z=2.

【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型.

【例12】已知片+人2+c?+屋—2aZ?—2cd=0,求ac—々7-仇:+6d的值.

【答案】0.

4/16

【解析】由题意，得(a—6)2+(c—df=0,所以a=6,c=d.

所以ac—ad—be+4=«(c—d)—b(c—d)=0.

【总结】考察完全平方式的运用，将原式转化为几个非负数的和为零的基本模型.

【例13］已知代数式/+6x、+9y2+2尤2+6y+4的值为7,求代数式

x4+6x2y+9y2-2x2-6y-l的值.

【答案】-2或14.

【解析】由题意，得：x4+6x2y+9y2+2x2+6y-3=0,

因式分解，得:(x2+3y-l)(x2+3y+3)=0,则无？+3y=1或尤之+3y=-3.

B^lx4+6x2y+9y2-2x2-6y-l=(x2+3y)2-2(x2+3y)-l,

所以当Y+3y=l时，原式=—2；当尤？+3y=-3时，原式=14.

【总结】考察根据已知条件求值，本题关键在于将已知条件的等式因式分解.

【例14】分解因式：(x+y)2-2ab(x+y)-l+//.

【答案］｛x+y—ab—l)(x+y—ab+I).

【解析】本题先采用一三分组，再利用公式法进行因式分解.

【总结】考察较复杂的多项式的因式分解的方法.

【例15】分解因式：(/+3x)2一8(f+3h一20.

【答案】(x+5)(x-2)(尤+1)(%+2).

［解析］(x2+_8(尤2+3》)_20=(x2+3%-10)(x2+3x+2)=(x+5)(x-2)(尤+l)(x+2).

【总结】本题主要考查利用十字相乘法进行因式分解，注意分解要彻底.

【例16】分解因式：(l-x2)(l-/)+4xy.

【答案】(xy+1+x-y)(xy+1-x+y').

【解析】原式=1-y2-x2+x2y2+4xy=x2y2+2xy+1-(x2-2xy+y2)

=(xy+1)2-(x-4=(xy+1+x-y)(xy+1-x+y).

【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先展开后再分组.

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【例17】分解因式：尤2+9y2+4z?-6孙—12yz+4xz.

【答案】(x-3y+2z)2.

【解析】x2+9y2+4z2-6xy-12yz+4xz=(x—3y)2+4z(x-3y)+4z2=(x-3y+2z)2.

【总结】本题先利用分组分解法，然后再用完全平方公式进行因式分解，注意观察每一项的

特征.

【例18】分解因式：(ox+by)2+(qy-bx)2+©2X2+c2y2.

【答案】(尤2+y2)d+/+c2).

［解析】原式=a2x2+2abxy+b~y~+a2y2-2abxy+b2x2+c2x2+c2y2

=a2(x2+y2)+b2(x2+y2)+c2(x2+y2)

=(x2+y2)(a2+b2+c2).

【总结】考察利用分组分解法分解因式，本题需要先将小括号展开后再分组.

【例19】分解因式：x(x-l)(x+2)(x+3)-40.

【答案】(x+4)(x-2)(d+2x+5).

2

［解析］原式=(%+式-3)(倍+2x)-40=(%2+2x)2—3(尤2+2x)~40

—(%?+2尤一8)(x?+2无+5)=(x+4)(x—2)(x?+2尤+5).

【总结】本题综合性较强，主要是观察前面几个因式的特征之后，通过合理的分组，然后利

用整体思想进行因式分解，注意分解要彻底.

【例20】分解因式：/+y4+(x+y)4(拆项添项).

【答案】2，+/+冷)2.

【解析】原式=X,+J?+2x2/+(x+»-2尤29

6/16

=(炉+/)2——y+q+y)472y2

=(x2+y2+xy)(x2+y2-AJ)+[(x+y)2+xy][(x+y)2-xy]

=(x2+y2+盯)(12+y2-xy)+(x2+y2+3xy)(x2+y2+盯)

=(x2+y2+xy)(2x2+2y2+2孙)

=2(x2+y?+xy)2

【总结】本题综合性较强，主要考查通过添项，构造完全平方式，然后再利用平方差公式进

行分解，注意分解要彻底.

【例21】分解因式：x2+xy-2y2-x+ly-6(双十字相乘法).

【答案】(x-y+2)(x+2y-3).

【解析】

【总结】考察用双十字相乘法分解因式的方法.

【例22】利用乘法分配律可知：

(a+b)(〃2一而+匕2)=；

(a-Z?)(/+ab+Z?2)=.

由整式乘法与因式分解的关系，我们又可以得到因式分解中的另两个公式：

/+.Q3_匕3=.

请利用新的公式对下列各题进行因式分解.

(1)x3+8y3；(2)x6-/.

【答案】+&3；々,一尸；〃3+匕3=(〃+与(〃2一〃人+/)；+〃匕+82)

(1)(x+2y)(x2-2xy+4y2)；(2)(x+y)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+xy+y2).

【解析】(1)x3+Sy3=x3+(2y)3=(x+2y)(x2-2xy+4y2)；

(2)x6-y6=(x3+9)(九3-y3)=(x+j)(x2-xy+y2)(x-y)(x2+ry+y2).

【总结】考察用新的公式进行因式分解.

班秋季级年七

【例23】已知a、b、c满足a+6+c=l,a2+b2+c2=2,a3+b3+c3=3,求/+/+C4的

值.

【答案】—.

【解析】因为(〃+/?+。)2=/+从+。2+2(而+Ac+〃c),BPl=2+2(ab+bc+ac),

222

月f以ab+be+etc=—.因毛J/+—3abe—(a+Z?+c)(4Z+Z?+c-cib—cic—be),

2

即3—3abc=2+—?所以abc=—.

因为(a+b+c)(/+户+/)=〃4+/+04+7(〃b++be)-abc(a+b+c),

BP3=a4+fo4+c4+7x(--)-lxl,所以〃+64+c4=生.

266

【总结】本题综合性较强，主要考察整式乘法与因式分解的综合运用以及整体思想的运用.

【例24］若无2+X-3=0,则X3+199L?+1987X+1990=.

【答案】7960

【解析】令a=1990,原式可化为：

x3+(a+l)x2+(a—3)尤+a=x3+ax2+龙？+办-3尤+a=x(x2+尤-3)+a(无？+尤+1)=4a,

将a=1990代入，得：原式=4x1990=7960.

【总结】考察利用因式分解的思想进行根据已知条件求值，本题用a代换较大的数1990,

便于计算.

20123-2X20122-2010

20123+20122-2013

2013

【解析】令。=2012,

目_一/—2矿_(q—2)“3_—a+2—l)(6f—2)a—23

原1A口」VG:----------------------=---------------------=------------------=-------=1---------

13+Q?—(1+1)a?+/—a—1(4—l)(a+1)Q+1〃+1

【总结】考察利用因式分解的思想进行化简求值，本题用a代换较大的数2012,便于化简.

随堂检测

【习题1】下列各式中，是完全平方式的是().

①4a2+2ab+b2；(2)x2+-2；③9m2-6mn-rr；

x

2224

@x+xy+-y;⑤4一2。3匕+Y方？；@J_+2x+x.

'4x-

A.①②③B.②④⑤C.③④⑤⑥D.①②⑤⑥

【答案】B

【解析】②④⑤是，①③⑥不是.

【总结】考察完全平方式的意义.

【习题2］已知正方形的面积是9尤2+6盯+y2(x>0,y>0),利用因式分解，写出表示该

正方形的边长的代数式是.

【答案】3x+y.

【解析19尤2+6xy+y?=(3x+y)2.

【总结】考察用完全平方式分解因式.

【习题3】已知。+6=2,ab=2,则+加=

22

【答案】4.

【解析】—a,b+a2b2+—ab3=—ab(cr+2ab+b2)=—ab(a+b)2=—x2x4=4.

22222

【总结】考察用完全平方式分解因式，然后利用整体代入进行求值.

【习题4】甲、乙两个同学分解因式尤?+依+6时，甲看错了6,分解结果为(x+2)(x+4)；

乙看错了°,分解结果为(x+l)(x+9),则a+6=.

【答案】15.

【解析】甲看错了6,所以一次项系数正确，为2+4=6；

乙看错了所以常数项正确，为1x9=9,所以a+Z?=6+9=15.

【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法.

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【习题5】如果二次三项式炉-6-8(。为整数)在整数范围内可分解因式，那么。的取值

可以是.

【答案】±7或±2.

【解析】因为一8=-8xl=—lx8=—2x4=-4x2,所以a=±7或±2.

【总结】考察用十字相乘法分解因式的方法.

【习题6】分解因式：

(1)12a3b2c-18a2b3c+24ac；(2)a(a-b-c)+b(c-a+b)+c(b-a+c)；

(3)一2，'+?+16。"-32a"号；(4)a4+O3+2a2+a+l.

【答案】(1)6或(2徜-3苏+4)；(2)(a-b-c)2；

(3)-2/2(q+2)2(q_2)2；(4)(a2+a+l)(a2+1).

【解析】(1)(2)提取公因式法；(3)先提取公因式再用公式法；(4)拆项分组法.

【总结】本题主要考查利用合适的方法进行因式分解.

【习题7】分解因式：仅一)2-4(a-b)(c-a).

【答案】(2a-b-c)2.

【解析】(b-c)~=b2-2bc+c2-4(oc-a2-bc+ab)

=b2—2bc+c2—4ac+4a2+4bc-4ab=(2a—ZJ—c)2.

【总结】本题直接无法因式分解，因此要先把每一项都拆开，然后重新分组进行因式分解.

【习题8】分解因式：尤2—10孙+25y?—6尤+30y+8.

【答案】(x-5y-4)(x-5y-2).

［解析］原式=(x-5y)~—6(x—5y)+8=(x-5y-2)(x—5y—4).

10/16

【总结】本题主要是先利用分组分解法进行分组，然后再利用十字相乘法进行因式分解.

【习题9】分解因式：尤2-孙-2y?-x+5y-2.

【答案】(x-2y+l)(x+y-2).

【解析】

【总结】考察较复杂分解因式的方法,本题用双十字相乘法比较简单.

【习题10］设x+2z=3y,试判断尤2-9y2+4z2+4xz的值是不是定值，如果是定值，求出

它的值；否则，请说明理由.

【答案】是定值，0.

【解析】尤2—9/+4Z2+4XZ=(x+2z)2—9y2=(x+2z+3y)(x+2z-3y)=6y0=0.

【总结】考察先因式分解，再根据已知条件求值.

【习题11】试讨论对于哪些机值，尤2+孙+4x+my能分解成两个一次因式的积.

【答案】4

［解析］尤2+封+4x+my-x{x+4)+y(x+m)

所以当m=4时，上式才可以继续因式分解成(元+4)(x+y).

【总结】考察分组分解法可以继续分解的条件.

【习题12］已知(2000-。)(1998-a)=1999,求(2000-a)?+(1998-。丫的值.

【答案】4002.

【解析】因为(2000-祖1998-。)=1999,所以(。-2000)(1998-。)=-1999.

(2000-a)2+(1998-a)2=［(a-2000)+(1998-a)］2-2(a-2000)(1998-a)

=4-2x(-1999)

=4002

【总结】考察完全平方公式的变形，再根据已知条件求值.

班秋季级年七

【习题13】分解因式：2/-三一6三一工+2（拆添项）.

【答案】（2尤2+3%+2）（尤—I/.

【解析】原式=2丁+2尤3_3尤3_3炉-3/-3尤+2了+2

=2/(尤+1)—3X2(X+1)-3X{X+1)+2(X+1)

=(X+1)(2X3-3X2-3X+2)

—(x+1)(2彳3+2x~—5尤2—5x+2尤+2)

=(x+1)[2X2(X+1)-5X(X+1)+2(尤+1)]

=(X+1)2(2X2~5X+2)

=(X+1)2(2X-1)(X-2).

【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底.

【习题14】分解因式：(1+»-241+力+/(1—»(拆项添项).

【答案】(x+l)(x+l+y-xy)(x-l)(x-l-^-xy).

【解析】(l+y)2—2x2(i+y2)+x40—,)2

22222

=[(l+y)+x(l-y)]-2(l+y)-x(l-y)-2x(l+y)

=[(1+y)+x2(l-y)]2-2x2(l-y2+l+y2)

=[(l+y)+x2(l-y)]2-4x2

=[(1+y)+%2(l-y)+2x][(l+y)+%2(l-y)-2x]

=[(x+l)2+y(l-♦)]l(x-l)2+y(l-x2)]

=(x+l)(x+1+y—xy)(x—l)(x—1—y—xy).

【总结】本题综合性较强，通过拆添项，找到公因式，从而进行因式分解，注意分解要彻底.

课后作业

12/16

【作业1】已知多项式2f+6尤+c分解因式为2(x-3)(x+l),则6、c的值为().

A.b=3,c=-lB.b=-6,c=2

C.b=-6,c=TD-b--4,c--6

【答案】D

【解析】根据常数项c=2x(—3)xl=-6,即可知选D.

【总结】考察十字相乘法的逆用.

【作业2】下列分解因式错误的是().

A.ci~—5a+6=(a—2)(a—3)B.1-4m2+2m=(1-2相

C.-4x^+y~=—(2x+y)(2x—y')D.3abH—ci~b~+9=(3H—cib

4(2

【答案】B

【解析11—4m2+2m=—(4m2—2m—1)不可因式分解.

【总结】考察因式分解的方法，本题B中需要先提取负号，小括号内已不可分解.

【作业3】已知2元+y=10,4?_>2=20,则母=.

【答案】12

【解析】因为2x+y=10,由4尤2-9=(2x+y)(2尤-y)=20可得:

2x-y=2,联立方程组可解得x=3,y=4,故封=12.

【总结】考察根据已知条件求值.

【作业4】分解因式：2孙+1-％2-了2.

【答案】(l+x-y)(l-x+y)-

［解析］2xy+l-x2-y2=-(x2-2xy+y2)+l=-(x—y)?+］=(1+尤—y)(l-x+y).

【总结】考察用公式法分解因式的方法.

班秋季级年七

【作业5】已知a(a-l)=/-6-2,求——-----ab的值.

【答案】2

【解析】由a(a—1)=。2—6—2,得：a—b—2,

匚匕I、I。~+,a~+b~-2ab(a—b)~4

所以-------ab=-----------=-----—=-=2.

2222

【总结】考察利用因式分解根据已知条件求值.

［作业6】已知丁+尤2+尤+1=0,那么B08+2铲00+5/6的值为.

【答案】8

【解析】因为丁+/+；(；+1=0,所以/0+1)+0+1)=0,即。+1)(/+1)=0,

所以尤=-1,将x=T代入，得：X2008+2X2000+5X1996=1+2+5=8.

【总结】考察根据已知条件求值.

【作业7】分解因式：

(1)：(6-4)3+11(4-3；(2)26/+勺用-39X%2严3；