数学期末考重难点-初二君（沪科版）

第十一章平面直角坐标系

【知识网络】

确定直线」二点的位置确定平面上点的位置

一条数轴

一个数3)

x轴上(x,0)

夕轴上(Oy)

表示地理位置I表示平移变换

形

(1)建立直角坐标系(1)点(X7)左移a个单位(方叩)状

(2)确定比例尺•(2)点(xy)右移a个单位(x+ay)大

小

(3)按题意确定各地位置(3)点(xy)上移a个单位(x/a)不

变

(4)写出各地的坐标(4)点(xy)下移a个单位Qya)

【要点梳理】

要点一、有序数对

把一对数按某种特定意义，规定了顺序并放在一起就形成了有序数对，人们在生产生活中

经常以有序数对为工具表达一个确定的意思，如某人记录某个月不确定周期的零散收入，可用

(13,2000),(17,190),(21,330)-,表示，其中前一数表示日期，后一数表示收入，

但更多的人们还是用它来进行空间定位，如：(4,5),(20,12),(13,2),…，用来表示电

影院的座位，其中前一数表示排数，后一数表示座位号.

要点二、平面直角坐标系

平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.水平的数轴称为x

轴或横轴，向右为正方向；铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向，两轴的交点0

是原点.如下图：

II3'I

第二象限2第一象限

1■

-3-2-IO123x

IIIIV

第三象限_3第四象限

要点诠释：

(1)两条坐标轴将平面分成4个区域：第一象限、第二象限、第三象限、第四象限，x轴

与y轴上的点(包括原点)不属于任何一个象限.

(2)在平面上建立平面直角坐标系后，坐标平面上的点与有序数对(x,y)之间建立了一

一对应关系，这样就将‘形'与‘数’联系起来，从而实现了代数问题与几何问题的转化.

(3)要熟记坐标系中一些特殊点的坐标及特征：

①x轴上的点纵坐标为零；y轴上的点横坐标为零.

②平行于x轴直线上的点横坐标不相等，纵坐标相等；

平行于y轴直线上的点横坐标相等，纵坐标不相等.

③关于x轴对称的点横坐标相等，纵坐标互为相反数；

关于y轴对称的点纵坐标相等，横坐标互为相反数；

关于原点对称的点横、纵坐标分别互为相反数.

④象限角平分线上的点的坐标特征：

一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；

二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反

数.注：反之亦成立.

(4)理解坐标系中用坐标表示距离的方法和结论：

①坐标平面内点P(x,y)到x轴的距离为|y1,至Uy轴的距离为|x|.

②x轴上两点A(x”0)、B(x2,0)的距离为AB=|x「x2|；

y轴上两点C(0,y)、D(0,y。的距离为CD上y「y2|.

③平行于x轴的直线上两点A发i,y)、B(xz,y)的距离为AB=|x「x2|；

平行于y轴的直线上两点C(x,%)、D(x,%)的距离为CD=1yi-y2|.

(5)利用坐标系求一些知道关键点坐标的几何图形的面积常用方法：切割、拼补.要

点三、坐标方法的简单应用

1.用坐标表示地理位置

(1)建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

(2)根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名

称.要点诠释：

(1)我们习惯选取向东、向北分别为x轴、y轴的正方向，建立坐标系的关键是确定原点

的位置.

(2)确定比例尺是画平面示意图的重要环节，要结合比例尺来确定坐标轴上的单位长度.

2.用坐标表示平移

(1)点的平移

点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x,y)向右(或左)平移a个单

位长度，可以得到对应点(x+a,y)(或(x-a,y));将点(x,y)向上(或下)平移b个单位长度，

可以得到对应点(x,y+b)(或(x,y-b)).

要点诠释：

上述结论反之亦成立，即点的坐标的上述变化引起的点的平移变换.

(2)图形的平移

在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a,相应

的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减

去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度.

要点诠释：

平移是图形的整体运动，某一个点的坐标发生变化，其他点的坐标也进行了相应的变化，反过

来点的坐标发生了相应的变化，也就意味着点的位置也发生了变化，其变化规律遵循：

“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”.

【典型例题】

类型一、有序数对

1.数学家发明了一个魔术盒，当任意数对(a,b)进入其中时，会得到一个新的数：

a+b+1.例如把(3,-2)放入其中,就会有3?+(-2)+1=8,现将数对(-2,3)放入其中得

到数m,再将数对(m,1)放入其中，得到的数是.

【思路点拨】解答本题的关键是正确理解如何由数对得到新的数，只要按照新定义的数的运

算，把数对代入a1+6+1求值即可.

【答案】66.

【解析】解：将(-2,3)代入,a2+b+l,得(-2)，3+1=8,

再将(8,1)代入,得8?+1+1=66,

故填：66.

【总结升华】解答此题的关键是把实数对(-2,3)放入其中得到实数m,解出m的值，即

可求出把(m,1)放入其中得到的数.

举一反三：

【变式】我们规定向东和向北方向为正，如向东走4米，再向北走6米，记作(4,6),则向

西走5米，再向北走3米，记作；数对(-2,-6)表示.

【答案】(-5,3)；向西走2米，向南走6米.

类型二、平面直角坐标系

第三象限内的点P(x,y),满足|x1=5,y'=9,则点P的坐标为.

【思路点拨】点在第三象限，横坐标<0,纵坐标<0.再根据所给条件即可得到x,y的具

体值.

【答案】(-5,-3).

【解析】因为|x|=5,y'=9.所以x=±5,y=±3,又点P(x,y)在第三象限，所以x<0,

y<0,故点P的坐标为(-5,-3).

【总结升华】解决本题的关键是记住各象限内点的坐标的符号，第一象限(+,+);第二象

限+)；第三象限(-，-)；第四象限(+,-).

举一反三：

【变式1】在平面直角坐标系中，点P(-3,4)到x轴的距离为(

).A.3B.-3C.4

【答案】C.

【变式2】如图所示，小手盖住的点的坐标可能为().

A.(5,2)B.(-6,3)C.(-4,-6)D.(3,-4)

【答案】D.

类型三、坐标方法的简单应用

如图所示，建立适当的直角坐标系，写出图中的各顶点的坐标.

【思路点拨】建立平面直角坐标系的关键是先确定原点，再确定x轴、y轴，建立不同的直

角坐标系，各顶点的坐标也不同.

【答案与解析】

解：建立直角坐标系如图所示，则各点的坐标为(-4,0),(-3,0),(-3,-4),(3,-4),

(3,0),(4,0),(0,3),再建立不同的平面直角坐标系，写出各顶点的坐标.(读者自己

试试看)

【总结升华】选择适当的直角坐标系可方便解题，一般尽可能使大多数的点的坐标为整数且易

表示出来.

如图，四边形OABC各个顶点的坐标分别是0(0,0),A(3,0),B(5,2),C(2,

3).求这个四边形的面积.

【思路点拨】分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，然后利用S四边形ABCLS隈OHEF

-

-S△ABH-SACBESAOCF进行计算.

【答案与解析】

解：分别过C点和B点作x轴和y轴的平行线，如图，

则E(5,3),

S四边形ABCO=S矩形OHEF-SAABH-SACBE-S/kOCF

=5X3-1X2X2-1X1X3-1X3X2

222

=1Z

~2'

【总结升华】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标

轴的位置关系；会运用面积的和差计算不规则图形的面积.

5.AABC三个顶点坐标分别是A(4,3),B(3,1),C(l,2).

(1)将AABC向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得△ABG的三个顶点坐标分别

是什么？

(2)将AABC三个顶点的横坐标都减去5,纵坐标不变，分别得到A?、B。、C2,依次连接由、

B,、C,各点，所得△AzB©与AABC的大小、形状和位置上有什么关系？(3)

将4ABC三个顶点的纵坐标都减去5,横坐标不变，分别得到小、B3>C3,依次连接A3、

Bs、G各点，所得4八38£3与^ABC的大小、形状和位置上有什么关系？

【答案与解析】

解：(l)Ai(5,1),Bx(4,-1),3(2,0).

(2)△A2B&与AABC的大小、形状完全相同，在位置上是把4ABC向左平移5个单位得

到.

(3)AAsB3c3与4ABC的大小、形状完全相同，在位置上是把4ABC向下移5个单位得到.

【总结升华】此题揭示了平移的整体性，以及平移前后的坐标关系是一一对应的，在平移中，横

坐标减小等价于向左平移；横坐标增大等价于向右平移；纵坐标减小等价于向下平移；纵坐标增

大等价于向上平移.

举一反三：

【变式】

(2015•钦州)在平面直角坐标系中，将点A(X,y)向左平移5个单位长度，再向上平移3

个单位长度后与点B(-3,2)重合，则点A的坐标是()

A.(2,5)B.(-8,5)C.(-8,-1)D.(2,-1)

【答案】D.

解：在坐标系中，点(-3,2)先向右平移5个单位得(2,2),再把(2,2)向下平移3

个单位后的坐标为(2,-1),则A点的坐标为(2,-1).

故选：D.

类型四、综合应用

▼6.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2,T)、B(1,-3)、C(4,-3.5).

(1)在直角坐标系中画出三角形ABC；

(2)把三角形ABC向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC,试写

出三角形ABC三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；

(3)求出三角形ABC的面积.

【思路点拨】(1)建立平面直角坐标系，从中描出A、B、C三点，顺次连接即可.

(2)把三角形AMG向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC,即三

角形ABC向上平移3个单位，向左平移4个单位，得到三角形ABC,按照平移中点的变化

规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减.写出三角形A3C三个顶点的坐标，从

坐标系中画出图形.

(3)把△ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去，即可求得△ABC的面积.

【答案与解析】解

(1)如图1,

(2)如图2,4(-2,2),Bi(-3,0),3(0,-0.5)；

yA

C

图2

(3)把△ABC补成矩形再把周边的三角形面积减去，

即可求得△ABG的面积=3X2.5-1-2.5-0.75=3.25.

...△AjBG的面积=3.25.

【总结升华】本题综合考查了平面直角坐标系，及平移变换.注意平移时，要找到三角形各顶

点的对应点是关键，然后割补法求出三角形ABC的面积。

举一反三：

【变式】如果矩形ABCD的对角线的交点与平面直角坐标系的原点重合，且点A和点C的坐

标分别为(-3,2)和(3,2),则矩形的面积为().

A.32B.24C.6D.8

【答案】B

第十二章一次函数

【要点梳理】

要点一、一次函数与一元一次方程

一次函数丁=履+6（kW0,方为常数）.当函数y=0时，就得到了一元一次方程

kx+b=0,此时自变量x的值就是方程履+6=0的解.所以解一元一次方程就可以转化

为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.

从图象上看，这相当于已知直线y=Ax+b（ZW0,万为常数），确定它与x轴交点的

横坐标的值.

要点二、一次函数与一元一次不等式

由于任何一4'一■元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+》<0或ax+Z?20或

ax+b^0（a、b为常数,aWO）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数

y=ax+人的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范

围.

要点诠释：求关于x的一元一次不等式ax+6>0（a#0）的解集，从“数”的角度

看，就是x为何值时，函数y=ax+b的值大于0?从“形”的角度看，确定直线y=ax+b

在x轴（即直线y=0）上方部分的所有点的横坐标的范围.

要点三、一元一次方程与一元一次不等式

我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集

的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.

要点四、如何确定两个不等式的大小关系

ax+b>cx+d（。Wc,且。cw0）的解集=ax+b的函数值大于y=ex+d的

函数值时的自变量X取值范围O直线y=ax+A在直线yex+d的上方对应的点的横坐

标范围.

【典型例题】

类型一、一次函数与一元一次方程

fl、若直线丁=履+6与x轴交于（5,0）点，那么关于x的方程履+6=0的解为.

【答案】x=5

【解析】kx+b=0的解是直线y=丘+6与x轴交点横坐标.

【总结升华】当函数y=0时，就得到了一元一次方程入+6=0,此时自变量x的值就是

方程kx+b=0的解.

举一反三：

【变式1】如图，已知直线y=ax—6,则关于x的方程ax-1=6的解x=.

【答案】4；

提示：根据图形知，当y=l时，x—4,即ax-6=l时，x=4..,.方程ax-6=1

的解x=4.

【变式2】如图，直线丁=履+）分别交》轴和丁轴于点A、B,则关于x的方程依+6=0

的解为.

提示：方程入+6=0的解其实就是当y=0时一次函数，=丘+6与x轴的交点

横坐标.由图知：直线y=履+〃与x轴交于点（一2,0）,即当x=—2时，y=履+6

=0.

类型二、一次函数与一元一次不等式

-3,0）、B（0,1）两点，则不等式-kx-b<

x>3D.x<3

【思路点拨】求-kx-bVO的解集，即为kx+b>0,就是求函数值大于0时，x的取值范围.

【答案】A；

【解析】解：...要求-kx-b<0的解集，即为求kx+b>0的解集,

，从图象上可以看出等y>0时，x>-

【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用.解决此类问题关键是

仔细观察图形，注意几个关键点(交点、原点等)，做到数形结合.

举一反三：

[一次函数与一元一次不等式，例2]

【变式】如图，直线丁=依+》与坐标轴的两个交点分别为A(2,0)和B(0,-3),则不

等式依+Z?+3N0的解集是()

【答案】A；

提示：从图象上知，直线丁=日+6的函数值y随x的增大而增大，与y轴的交点

为B(0,—3),即当x=0时，y=-3,所以当无20时，函数值依+6》—3.

3、直线A：、=左1尤+。与直线U：y=Qx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示,

则关于X的不等式《1%+人>左21的解为()•

A.x>-lB.x<-lC.x<-2D.无法确定

【答案】B；

【解析】从图象上看自X+>>%2X的解，就是找到/］在4的上方的部分图象，看这部分图象

自变量的取值范围.当了<-1时，klX+b>k2x,B.

【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示

两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小

来解题.

举一反三：

【变式】直线/1：y=左科+5与直线4：y=鱼x+c在同一平面直角坐标系中的图象如图

所示，则关于x的不等式匕x+6〈k2%+c的解集为()

A.x>lB.x<lC.x>—2D.x<—2

/=&x+b

,二检x+c

【答案】B；

提示：y=匕％+6与直线4：y=&%+c在同一平面直角坐标系中的交点是(1，

—2),根据图象得到％VI时不等式2+V成立.

C4、画出函数y=2x+l的图象，并利用图象求：

(1)方程2x+1=0的解；

(2)不等式2x+l20的解集；

(3)当yW3时，x的取值范围；

(4)当一3WyW3时，x的取值范围.

【思路点拨】可用两点法先画出函数y=2x+l的图象，方程2x+1=0的解从“数”看就

是自变量x取何值时，函数值是0,从“形”看方程2x+l=0的解就相当于确定直线y

=2x+l与x轴的交点，故图象与x轴交点的横坐标就是方程2x+l=0的解.同理：图

象在x轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2x+l>0的解集.

【答案与解析】

解：列表：

y10

---------------------\1、

在坐标系内描点(0,1)和।-,0',并过这两点画直线，即得函数y=2x+l的图象.如

2

图所示.

（1）由图象可知：直线y=2x+l与x轴交点1,

，方程2x+l=0的解为x=

在

点

根

右.

H

（2）由图象可知：直线y=2x+l被点分成两部分,-J

——-

I2

图象在无轴的上方.故不等式2x+l>0的解集为；

2

（3）过点（0,3）作平行于无轴的直线交直线y=2x+l于点M,过M点作x轴的垂线，垂

足为N.则N点坐标为（1,0）；从图象上观察，在点（1,0）的左侧，函数值yW3,

则当yW3时，自变量x的取值范围是xW1；

（4）过（0,—3）作x轴的平行线交直线y=2x+l于点P,过P作x轴的垂线，垂足为H,

则点H的坐标为（-2,0）.观察图象，在（一2,0）的右侧，在（1,0）的左侧，函数

值一3WyW3.当一3WyW3时，自变量的取值范围是一2WxWl.

【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：（1）

一元一次方程依+6=%（%是已知数）的解就是直线丁=丘+匕上丁=%这点的横坐

标；（2）一元一次不等式+刈是已知数，且必<%）的解集就是直线V

=kx+b上满足%（yW%那条线段所对应的自变量的取值范围；（3）一元一次不等式履

+〃W%（或日+62%）（%是已知数）的解集就是直线y=kx+b上满足yW%（或y>

%）那条射线所对应的自变量的取值范围.

举一反三：

【变式】（2015秋•蒙城县校级月考）画出函数y=2x+6的图象，利用图象：

（1）求方程2x+6=0的解；

（2）求不等式2x+6>0的解；

【答案】

（2）观察图象知：当x>-3时，y>0,

故不等式2x+6>0的解为x>-3；

（3）当-2WyW2时，-4WxW-2.

类型三、用一次函数的性质解决不等式的实际问题

Wr5、（1）如图，是函数y=Ax+b的图象，它与x轴的交点坐标是（一3,0）,则方程丘+6

=0的解是；不等式近+人>0的解集是.

（2）如图：OC,AB分别表示甲、乙两人在一次赛跑中.各自的路程S（米）和时间t（秒）

的函数图象，根据图象写出一个正确的结论

【答案】

(1)x=—3；x<—3；

(2)根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x=9秒时，两个人跑的路

程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快.

【解析】

(1)从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得方程kx+b=O的解

和不等式质+人>0的解集.

(2)根据图象的性质可以得到，两个两个函数的交点意义是当x=9秒时，两个人跑的路

程相等，即两个人相遇；或者从图象上看出乙的速度比甲的速度快.

【总结升华】认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系.理解数

形结合思想的应用.

第十三章三角形边角关系、命题与证明

【知识网络】

(-)证明的必要性(1)不能仅仅依靠经瑜，观察或实验

\(2)必须一步一步，有根据地进行推理

(1)命题定义

(2)命题的组成

判定

〃平行线

(公理性质

真命题A1)

判定J⑵

全等三角形4

(3)

性质

证「平行线的判定与性质

明定理1

(―)

三角形内角和定理

「三角形内角和的推论1

I推论*

三角形内角和的推论2

r定义

假命题■

I说明一个命题是假命题可举反例

(三)证明

【要点梳理】

要点一、定义、命题及证明

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：判断一件事情的句子，叫做命题.

要点诠释：

(1)每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由己知事项推出的事

项.

(2)正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

(3)公认的真命题叫做公理.

(4)经过证明的真命题称为定理.3.

证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这种演绎推理的过程

称为证明.

要点诠释：

(1)实验、观察、操作所得出的结论不一定都正确，必须推理论证后才能得出正确的结论.

(2)证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、

基本事实、定理等.

(3)判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一

个反例即可.

要点二、平行线的判定与性质

1.平行线的判定

判定方法1:同位角相等，两直线平

行.判定方法2：内错角相等，两直线平

行.判定方法3：同旁内角互补，两直线

平行.

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

(1)平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点(不相交)，那么两直线平行.

(2)如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行(平行线的传递性).

(3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

(4)平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

(1)若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点.

(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直.要

点三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°.

推论：(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

(2)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

要点诠释：

(1)由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

(2)推论可以当做定理使用.

【典型例题】

类型一、定义、命题及证明

C1.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题，请举出反例.

如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.

【答案与解析】

解：条件:等腰三角形的两条边长为5和7

结论:等腰三角形的周长为17

是假命题；反例：当腰长为7,底边长为5时,周长为19

【总结升华】本题考查了命题与定理的相关知识.关键是明确命题与定理的组成部分，会判断

命题的题设与结论.

举一反三：

【变式1】某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，根据什么公理

可以说明这样做能缩短路程().

A.直线的公理B.直线的公理或线段最短公理C.线段最短公理D.平行公理

【答案】B

【变式2】下列命题真命题是().

A.互补的两个角不相等B.相等的两个角是对顶角

C.有公共顶点的两个角是对顶角D.同角或等角的补角相等

【答案】D

W2.叙述并证明三角形内角和定理.

要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程.

【思路点拨】欲证明三角形的三个内角的和为180°,可以把三角形三个角转移到一个平角

上，利用平角的性质解答.

【答案与解析】

定理：三角形的内角和是180°；

已知：ZXABC的三个内角分别为/A,ZB,ZC；

求证：ZA+ZB+ZC=180°.

证明：如下图，过点A作直线MN,使MN〃BC.

：MN〃BC,

AZB=ZMAB,/C=NNAC（两直线平行，内错角相等）.

VZMAB+ZNAC+ZBAC=180°（平角定义），

/.ZB+ZC+ZBAC=180°（等量代

换）.BPZA+ZB+ZC=180°.

【总结升华】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形的内角和是

180。.类型二、平行线的判定与性质

^^3.如图所示，请你填写-个适当的条件：，使AD//BC.

【思路点拨】欲证AD/7BC,结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两

直线平行来补充条件.

【答案】ZFAD=ZFBC,或/ADB=/CBD,或NABC+NBAD=18O°.

【解析】

解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件NFAD=/FBC；利用

“内错角相等，两直线平行”，可添加条件/ADB=NCBD；利用“同旁内角互补，两直线平

行”，可添加条件NABC+NBAD=18（r.

【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论：AD〃:BC,题设可根据平行

线的判定方法，逐一寻找即可.

举一反三：

【变式】如图所示，已知/1=52。，Z2=52°,Z3=91°,那么N4=.

【答案】解：如图，：/1=/2=52。,

；./3=/5=91。，

VZ5+Z4=180",

.•.Z4=180°-Z5=89°.

^^4.如图，己知/ADE=ZB,Z1=Z2,那么CD〃FG吗？并说明理由.

【答案与解析】

解：平行，理由如下：

因为/ADE=NB,所以DE/7BC（同位角相等，两直线平行），

所以N1=NBCD（两直线平行，内错角相等）.

又因为/1=/2（已知），

所以NBCD=/2.

所以CD/7FG（同位角相等，两直线平行）.

【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平

行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.

举一反三：

【变式】如图，已知Nl+N2=180°,Z3=ZB,试判断/AED与/ACB的大小关系，并

说明理由.

A

【答案】ZAED=ZACB,理由如下：

VZ1+Z2=18O°,又Nl+N4=180°,

.\Z2=Z4.

；.AB〃EF（内错角相等，两直线平行）.

；.N5=N3.

又/3=/B,

.•.Z5=ZB.

.-.DE//BC（同位角相等，两直线平行）.

.•.NAED=/ACB（两直线平行，同位角相等）.

类型三、三角形的内角和定理及推论

.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360。四边形ABCD

如图所示.

【思路点拨】将四边形转化为三角形去解决.

【答案与解析】

证明：如下图，连接ACVZB+ZBAC+ZACB=180°,

ZD+ZDAC+ZACD=180",

：.(ZB+ZBAC+ZACB)+(ZD+ZDAC+ZACD)=180°+180°.

，ZB+ZD+(ZBAC+ZDAC)+(ZACB+ZACD)=360°.

ZB+ZC+ZBAD+ZBCD=360°.

即四边形ABCD的内角和等于360°.

【总结升华】把不熟悉的多边形分成熟悉的三角形，利用三角形的内角和推导多边形的内角和是

解题的关键，同理可以得到n边形的内角和公式为：(n—2)X180°.

6.图1,线段AB、CD相交于点O,连接AD、CB,我们把形如图1的图形称之为"8

字形如图2,在图1的条件下，ZDAB和/BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且

与CD、AB分别相交于M、N.试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出NA、/B、ZC>ND之间的数量关系：；

(2)仔细观察，在图2中"8字形"的个数：个；

(3)图2中，当/D=50度，NB=40度时，求/P的度数.

(4)图2中ND和NB为任意角时，其他条件不变，试问NP与ND、NB之间存在着怎样

的数量关系.(直接写出结果，不必证明).

【答案与解析】解(1)VZA+ZD+ZAOD=ZC+ZB+ZBOC=180°,ZAOD=ZBOC,

.•.ZA+ZD=ZC+ZB；

(2)①线段AB、CD相交于点O,形成"8字形"；

②线段AN、CM相交于点O,形成"8字形"；

③线段AB、CP相交于点N,形成"8字形"；

④线段AB、CM相交于点O,形成"8字形"；

⑤线段AP、CD相交于点M,形成"8字形"；

⑥线段AN、CD相交于点O,形成"8字形"；

故"8字形"共有6个；

(3)/DAP+ND=/P+/DCP,①

ZPCB+ZB=ZPAB+ZP,②

ZDAB和NBCD的平分线AP和CP相交于点P,

.•.ZDAP=ZPAB,ZDCP=ZPCB,

①+②得：

ZDAP+ZD+ZPCB+ZB=ZP+ZDCP+ZPAB+ZP,

即2/P=/D+/B,

又：/D=50度，NB=40度，

；.2NP=50°+40°,

.•.ZP=45°；

(4)关系：2ZP=ZD+ZB.

由ND+Nl+/2=NB+/3+N4①

由NONC=NB+N4=NP+N2,②

①+②得：

ZD+2ZB+2Z1+2Z3=ZB+2Z3+2ZP+2Z1,

ZD+2ZB=2ZP+ZB,

即2NP=/D+NB.

【总结升华】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义及阅读理解与知识的迁移能

力.

举一反三：

【变式】在△ABC中，/A=50°,/B=70°,则/C的外角等于.

【答案】120。

第十四章全等三角形

【知识网络】

解决问题

【要点梳理】

【高清课堂：388614全等三角形单元复习，知识要点】

要点一、全等三角形的判定与性质

一般三角形直角三角形

边角边(SAS)

两直角边对应相等

角边角(ASA)

判定一边一锐角对应相等

角角边(AAS)

斜边、直角边定理(HL)

边边边(SSS)

对应边相等，对应角，相等

性质

(其他对应元素也相等，如对应边上的高相等)

备注判定三角形全等必须有一组对应边相等

要点二、全等三角形的证明思路

f找夹角“SAS

已知两边］找直角―HL

找另一边fSSS

'边为角的对边告找任一角fAAS

f找夹角的另一边fSAS

＜已知一边一角,

边为角的邻边填盍端吗篇1依ASA

俄夹边fASA

已知两角《

(找任一边fAAS

要点三、角平分线的性质

1•角的平分线的性质定理

角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

2.角的平分线的判定定理

角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.

3.三角形的角平分线

三角形角平分线交于一点，且到三边的距离相等.

4.与角平分线有关的辅助线

在角两边截取相等的线段，构造全等三角形；

在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段.

要点四、全等三角形证明方法

全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形、相

似图形、圆等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点.运用全等三

角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题.

可以适当总结证明方法.

1.证明线段相等的方法：

(1)证明两条线段所在的两个三角形全等.

(2)利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.

(3)等式性质.

2.证明角相等的方法：

(1)利用平行线的性质进行证明.

(2)证明两个角所在的两个三角形全等.

(3)利用角平分线的判定进行证明.

(4)同角(等角)的余角(补角)相等.

(5)对顶角相等.

3.证明两条线段的位置关系(平行、垂直)的方法；

可通过证明两个三角形全等，得到对应角相等，再利用平行线的判定或垂直定义证明.

4.辅助线的添加：⑴

作公共边可构造全等三角形；(2)倍

长中线法；(3)作以角

平分线为对称轴的翻折变换全等三角形；(4)利用

截长(或补短)法作旋转变换的全等三角形.

5.证明三角形全等的思维方法：

(1)直接利用全等三角形判定和证明两条线段或两个角相等，需要我们敏捷、快速地发

现两条线段和两个角所在的两个三角形及它们全等的条件.

(2)如果要证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，则应根据

图形的其它性质或先证明其他的两个三角形全等以补足条件.

(3)如果现有图形中的任何两个三角形之间不存在全等关系，此时应添置辅助线，使之

出现全等三角形，通过构造出全等三角形来研究平面图形的性质.

【典型例题】

类型一、全等三角形的性质和判定

V1、问题背景：

(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD,ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°.E,F分别是BC,

CD上的点.且/EAF=60°.探究图中线段BE,EF,FD之间的数量关系.小王同学探究此问

题的方法是，延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,先证明4ABE之AADG,再证明4AEF2AAGF,

可得出结论，他的结论应是.

探索延伸：

(2)如图2,若在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E,F分别是BC,CD上的点，

且NEAF=1<BAD,上述结论是否仍然成立，并说明理由.

2

【思路点拨】(1)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明4ABE之△ADG,可得AE=AG,

再证明4AEF之△AGF,可得EF=FG,即可解题；

(2)延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,即可证明4ABE0AADG,可得AE=AG,再证明

△AEF^AAGF,可得EF=FG,即可解题.

【答案与解析】

证明：(1)在4ABE和4ADG中，

fDG=BE

'ZB=ZADG，

AB=AD

.,.△ABE^AADG(SAS),

.\AE=AG,ZBAE=ZDAG,

•/ZEAF=1ZBAD,

2

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

ZEAF=ZGAF,

在AAEF和AGAF中，

'AE=AG

<NEAF=/GAF，

AF=AF

.,.△AEF^AAGF(SAS),

.*.EF=FG,

,-,FG=DG+DF=BE+DF,

/.EF=BE+DF；

故答案为EF=BE+DF.

(2)结论EF=BE+DF仍然成立；

理由：延长FD到点G.使DG=BE.连结AG,

图2

在ZkABE和Z\ADG中,

'DG=BE

<NB=/ADG，

AB=AD

/.△ABE^AADG(SAS),

.*.AE=AG,ZBAE=ZDAG,

•.•ZEAF=1ZBAD,

2

ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF=ZBAD-ZEAF=ZEAF,

/.ZEAF=ZGAF,

在AAEF和AGAF中，

'AE=AG

'NEAF=NGAF，

AF=AF

.,.△AEF^AAGF(SAS),

.\EF=FG,

,/FG=DG+DF=BE+DF,

；.EF=BE+DF.

【总结升华】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中

求证△AEF04AGF是解题的关键.

举一反三：

【变式】如图，已知：AE±AB,AD±AC,AB=AC,NB=NC,求证：BD=CE.

【答案】

证明：VAE±AB,ADXAC,

.•.ZEAB=ZDAC=90°

AZEAB+ZDAE=ZDAC+ZDAE,即NDAB=NEAC.

在ADAB与AEAC中，

ZDAB=ZEAC

<AB=AC

ZB=ZC

.'.△DAB^AEAC(ASA)

；.BD=CE.

类型二、巧引辅助线构造全等三角形

(1).作公共边可构造全等三角形：

如图：在四边形ABCD中，AD〃CB,AB〃CD.

求证：ZB=ZD.

【思路点拨】ZB与ND不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC,根据平行线的性

质，可构造出全等三角形.

【答案与解析】

证明：连