人教版九年级数学下册第05讲 相似三角形的判定 教案讲义及练习

第5讲

相似三角形的判定

概述

适用学科初中数学适用年级初三

适用区域新人教版课时时长（分钟）120

知识点1、相似三角形的定义

2、利用平行法判定三角形相似

3、相似三角形形的判定定理

教学目标1、了解相似三角形的定义，掌握相似三角形的表示方法及判定，并应用其

解决一些问题

2、经历类比全等三角形的知识探究相似三角形的定义及表示方法的过程，

进一步探索相似三角形的判定及其应用

3、在观察、发现、探索相似三角形判定的过程中，感受学习的乐趣增强学

习数学的兴趣

教学重点1、利用平行法判定三角形相似

2、相似三角形形的判定定理

教学难点1、利用平行法判定三角形相似

2、相似三角形形的判定定理

【教学建议】

相似三角形是初中数学学习的重点内容，对学生的能力培养与训练，有着重要的地位，

而“相似三角形判定定理”又是相似三角形这章内容的重点与难点所在.在本章教学中，我

们建议重点培养学生提出问题、解决问题的能力，让学生在亲自操作、探究的过程中，获得

三南形相似的判定方法.

【知识导图】

【教学建议】

导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状

态.通过实践测量对比，调动学生学习的兴趣和积极性.

小明用长度分别为30cm、40cm>50cm的三根木条做成一个三角形框架，并计划用一根长

度为60cm的木条再做一个形状相同的三角形框架.

小明应该在找两根多长的木条？

二、复习预习

相似多边形的性质：

①相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.

②相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（或相似比等于面积比的算

术平方根）.

③相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

④反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似

上节课学习了相似多边形形及性质，今天我们继续探究如何判定两个三角形相似？

三、知识讲解

考点1相似三角形的定义

k____________________________________________J

（1）相似三角形的定义：若两个三角形的三个角分别相等，三条变成比例，则这两个三角

形相似.相似三角形的定义是由相似多边形的定义迁移得到的.

（2）相似三角形的表示:如果A4BC与AA'B'C'相似,就记作AABCsBC,符号，s”

读作相似于，利用“s”表示图形相似时，对应顶点要写在对应的位置上，主要目的是为了

指明对应角，对应边.

（3）相似比：两个三角形相似，对应边的比叫做相似比，相似比是有顺序的，若

M'B'C'与A48也相似比为一

的相似比为k,那么女

知识拓展：（1）相似三角形于全等三角形的联系与区别;全等三角形的大小相等，形状相同,

而相似三角形的形状相同，大小不一定相等，所以全等三角形是相似三角形的特例，相似比

等于1:1的两个相似三角形是全等三角形.

（2）书写两个三角形是相似时，要注意对应点的位置要一致，即若MB。相似ADEE,则

说明A的对应点是D,B的对应点是E,C的对应点是F.

（3）相似三角形的传递性：如果

AABC"

考点2利用平行法判定三角形相似

平行于三角形的一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角

形相似

知识拓展：符合相似特征的图形有“A”字型和“X”字型等，如下图所示:

每子型图

考点3相似三角形形的判定定理1(SSS)

k_________________________________

判定定理1:三边成比例的两个三角形相似.

ABBCAC

几何叙述：如图所示，在AABC和AAPC'中，若AZBCAC,则MBCsAABC

考点4相似三角形的判定定理2(SAS)

k_______________________________J

判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

ABAC,ZA=ZA'..,

几何叙述：如图所示：在AABC和ANB'C'中，AC7,则MUsAABC

知识拓展：(1)对于已知两边的长度及边的夹角相等的情况，常用此定理判定两个三

角形相似.

(2)应用此定理判定时，一定要注意必须是两边夹角相等才行.

(3)应用此定理判定时，还要注意一些隐含条件，如公共边、对顶角等.

考点5相似三角形的判定定理3(AA)

判定定理3：两个角分别相等的两个三角形相似.

几何叙述：如图所示，在AABC和AA'B'C'中，若乙4=NA,则MBCcz,\ABC

知识拓展：(1)在有一组对应角相等的情况下，可以从两个方面选择突破口：①寻找另一

组对应角相等：②寻找两个三角形中这个已知角的两边的比相等.

(2)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形都与原三角形相似(此知识常用，但

是有时需要证明)

(3)若两个直角三角形满足一个锐角相等，或两组直角边成比例，或斜边和一条直角边成

比例，则这两个直角三角形相似.

四、例题精析

类型一相似三角形的定义

如图，4ACD和aABC相似需具备的条件是（）

A.CD-BCB.AD-ACc.AC=AD«ABD.CD2=AD«B

【解析】解：•.•在^ACD和AABC中，ZA=ZA,

ACAD

根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似，得出添加的条件是：AB=AC,

；.AC2=AD・AB.

故选c.

【总结与反思】题目中隐含条件NA=NA,根据有两边对应成比例，且夹角相等的两三角形

ACAD

相似，得出添加的条件只能是屈=而，根据比例性质即可推出答案.

类型二相似三角形的判定

下列各组条件中，一定能推得aABC与aDEF相似的是（）

A.NA=NE且ND=NFB.NA=NB且ND=NF

ABEFAB_DF

C.4=/£且印"口D./A=/E且BC~ED

【解析】解：A、ND和NF不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项

错误；

B、/A=/B,ND=NF不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；

AB_EF

C、由AC~ED可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出

△ABC与4DEF相似，故此选项正确；

AB_DF

D、/A=/E且BCED不能判定两三角形相似,因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误;

故选：C.

【总结与反思】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相

似可以判断出A、B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两

个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案.

娓-1

如图，在aABC中，AB=AC=1,BC=2,在AC边上截取AD=BC,连接BD.

(1)通过计算，判断AD，与AJCD的大小关系;

(2)求NABD的度数.

【解析】解：（1）：AD=BC,BC=2

,DC=1-

5+1-2泥3-娓3-巡3-显

;.AD2=4=2AC・CD=IX2=2.

.•.AD2=AC«CD.

(2)VAD=BC,AD2=AC・CD,

BC_CD

/.BC2=AC«CD,BpAC-BC.

又；NC=NC,

.".△BCD^AACB.

AB_BD_

AC-CB-,NDBC=/A.

；.DB=CB=AD.

AZA=ZABD,ZC=ZBDC.

设NA=x,则/ABD=x,ZDBC=x,ZC=2x.

•/ZA+ZABC+ZC=180°,

.,.x+2x+2x=180°.

解得：x=36".

/ABD=36°.

【总结与反思】(1)先求得AD、CD的长，然后再计算出AD?与AUCD的值，从而可得到

AD?与AC・CD的关系；

(2)由(1)可得到BD2=AC・CD,然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△

BCD^AABC,依据相似三角形的性质可知NDBC=/A,DB=CB,然后结合等腰三角形的性质

和三角形的内角和定理可求得NABD的度数.

五、课堂运用

1.如图所示，在QABCD中，BE交AC,CD于G,F,交AD的延长线于E,则图中的相似三角

形有（）

A.3对B.4对C.5对D.6对

2.如图，添加一个条件：,使aADEsaACB,（写出一个即可）

3.如图，在平面直角坐标系中有两点A（4,0）、B（0,2）,如果点C在x轴上（C与A

不重合），当点C的坐标为时，使得由点B、0、C组成的三角形与aAOB相似（至

少找出两个满足条件的点的坐标）.

4.如图，在aABC中，NABC=80°,NBAC=40°,AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、

E,连接BD.求证：△ABCSABDC.

A

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】解：AD〃BC,可知△AGEs/XCGB,ADFE^ACFB,AABC^ACDA,

AB〃CD,可知△ABGs^CFG,AABE^ACFB,AEDF^AEAB.

共有6对，故选D.

2.【答案】解：由题意得，ZA=ZA（公共角），

则可添加：ZADE=ZACB,利用两角法可判定△ADES/IACB.

故答案可为：ZADE=ZACB（答案不唯一）.

【解析】根据相似三角形的三种判定方法即可.

3.【答案】（-1,0）；（1,0）.

【解析】解：•••点C在x轴上，，点C的纵坐标是0,且当NB0C=90°时，由点B、0、C组

成的三角形与aAOB相似，即NB0C应该与NB0A=90°对应，

①当△A0Bs/\C0B,即0C与0A相对应时，则0C=0A=4,C（-4,0）；

②当△A0BS/\B0C,即0C与0B对应，则0C=l,C（-1,0）或者（1,0）.

故答案可以是：（-1,0）;（1,0）.

4.【答案】同解析.

【解析】证明：

「DE是AB的垂直平分线，

.\AD=BD.

VZBAC=40°,

AZABD=40°,

VZABC=80°,

AZDBC=40°,

ZDBC=ZBAC,

,/zc=zc,

AABC^ABDC.

1.在三角形纸片ABC中，AB=8,BC=4,AC=6,按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三

2.在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F,求证：△DEFS/\EBD.

1_

3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED,DF=4DC,连接EF并延

长交BC的延长线于点G.

(1)求证：ZkABEs/iDEF；

(2)若正方形的边长为4,求BG的长.

答案与解析

1.【答案】D.

【解析】解：三角形纸片ABC中,AB=8,BC=4,AC=6.

A.J-=A=1,对应边9则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与aABC不相似，

AB82AB842

故此选项错误；

B、A=2,对应边处则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与AABC不相似，故

AB8AB848

此选项错误；

c、2=2=L,对应边则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与AABC不相似，

AC63AB843

故此选项错误；

D、2=2=上对应边至£=&=2▲,则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故

BC42AB822

此选项正确；

故选:D.

2.【答案】证明：YACLBE,

NAFB=/AFE=90°,

•四边形ABCD是矩形,

，ZBAE=90",

X"/ZAEF=ZBEA,

.,.△AEF^ABEA,

EFAE

AE=BE,

,点E是AD的中点，

；.AE=ED,

EFDE

AED=BE,

XVZFED=ZDEB,

.".△DEF^ABED,

EFAE

【解析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出加=施，进而得出△DEFSABED.

3.【答案】(1)证明：:ABCD为正方形，

/.AD=AB=DC=BC,ZA=ZD=90°,

VAE=ED,

AEJ^

.-.AB^2,

1

VDF=4DC,

DF_J_

.\DE^2,

AEDF

.,•△ABE^ADEF；

(2)解：：ABCD为正方形，

ED〃BG,

ED_DF

.-.CG=CF,

又•••DF=WDC,正方形的边长为4,

/.ED=2,CG=6,

.,.BG=BC+CG=10.

AE_DF

【解析】（1）利用正方形的性质，可得NA=/D,根据已知可得而■一应，根据有两边对应

成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABEsaDEF；

（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长.

1.如图，在。ABCD中，过对角线BD上一点P作EF〃BC,GH〃AB,且CG=2BG,SABPC=1,则

A.3B.4C.5D.6

2.如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC,CG=2GD,BG分别交AE,AF于M,N.则典的值是

MG-----------

y=~

3.如图，一条直线与反比例函数》的图象交于A(1,4)B(4,n)两点，与工轴交于D

点，ACJ.X轴，垂足为C.

(1)如图甲，①求反比例函数的解析式；②求n的值及D点坐标；

(2)如图乙，若点E在线段AD上运动，连结CE,作/CEF=45°,EF交AC于F点.

①试说明△CDEs/\EAF；

②当4ECF为等腰三角形时，直接写出F点坐标.

答案与解析

1.【答案】B.

【解析】解：；EF〃BC,GH〃AB,

四边形HPFD、BEPG、AEPH,CFPG为平行四边形,

SAPEB=S^BGP，

|司理可得S△PIID二Sz^DFP，SAABD=SACDB，

SAABD-SAPEB-SAPHD=SACDB-SABGP-SADFP>

BpS四边形AEPH=S四边形PFCG・

VCG=2BG,SABPG=L

••S四边形AEPH=S四边形PFCG=4X1=4,

故选：B.

2.【答案】W.

8

【解析】解：作EH_LAF,令AB=3,则BF=2,BE=EF=CF=1,

AB

AF=VAB2+BF2=^,

SA,W=—AF*BN=-^AB«BF,

22

・・・BN二量逗NF=-BN=-^H-,

13313

；.AN=AF-NF=2ZH,

13

：E是BF中点,

...EH是△BFN的中位线,

刈=型亘，BN〃削

1313

；AH-11V13AN,MN；

13AHEH

解得：MN=27A^,

173_

BM=BN-榴=盟运，MG=BG-BM="仍互,

1111

.BN_3

•.-------------;

MG8

故答案是：w.

8

3.【答案】(1)①•..点A(1,4)在反比例函数图象上

k=4

4

y=­

即反比例函数关系式为尤；

②•.•点B(4,n)在反比例函数图象上

n=l

设一次函数的解析式为y=mx+b

:点A(1,4)和B(4,1)在一次函数y=mx+b的图象上

m+h=4b篦=—1

<V

...4〃?+Z?=l解得m=5

•••一次函数关系式为y=-x+5

令y=0,得x=5

；.D点坐标为D(5,0):

(2)①证明：VA(1,4),D(5,0),人(：心轴

AC(1,0)

，AC=CD=4,

即NADC=NCAD=45°,

VZAEC=ZECD+ZADC=ZECD+45°,

ZAEC=ZAEF+ZFEC=ZAEF+45°,

NECD=NAEF,

△CDE和4EAF的两角对应相等，

.,.△CDE^AEAF.

②当CE=FE时.，由4CDE会4EAF可得AE=CD=4,DE=AF=4(夜-1),

VA(1,4),，F点的纵坐标=4-AF=4-4(近-1)=8-4夜

；.F(1,8-4&)

当CE=CF时,由NFEC=45°知NACE=90°,此时E与D重合,

；.F与A重合，AF(1,4)

当CF=EF时，由/FEC=45°知/CFE=90°,显然F为AC中点，

AF(1,2)

当4ECF为等腰三角形时，点F的坐标为Fi(1,2)；F2(1.4)；F3(1,8-4a)

k

y--

【解析】(1)①根据点A的坐标即可求出反比例函数的解析式为X；②再求出B点的

坐标B(4,1),即得n=l；利用待定系数法求一次函数的解析式，令一次函数的y=0,求

得点D的坐标D(5,0)；

(2)①在本题中要证△CDES/\EAF,只要证明出4CDE和4EAF的三个内角分别对应相等，

即可得证；

'六、课堂小结

1.知识结构及要点小结

定义及表示方法

’1.平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似

相似三角就业一2.三边成比例的两个三角形相似

3.两边成比例且夹角相等勺两个三角形相似

4.两个角分别相等的两行角形相似

2.解题方法及技巧小结

(1)两个三角形的相似比要注意顺序.

(2)判断两个三角形相似时,应先观察是否有对应角相等，在观察是否有对应边成比例,

要根据三角形的判定方法全面的分析、考虑问题.

(3)应用三角形相似时注意对应情况.

1.如图，在四边形ABCD中，如果NADC=NBAC,那么下列条件中不能判定aADC和ABAC相

似的是()

A.ZDAC=ZABCB.AC是/BCD的平分线C.AC=BC<DD.坦=匹.

2.如图，在△ABC中，AB^AC.D、E分别为边AB、AC上的点.AC=3AD,AB=3AE,点F为BC

边上一点，添加一个条件：，可以使得AEDB与aADE相似.(只需写出一个)

3.如图，AABC是等边三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影

部分的面积是AABC的面积的.

4.如图所示，在4义4的正方形方格中，^ABC和aDEF的顶点都在边长为1的小正方形的

顶点上.(1)填空：ZABC=二，BC=；

(2)判断AABC与4DEF是否相似？并证明你的结论.

答案与解析

1.【答案】C.

【解析】解：在AADC和aBAC中，ZADC=ZBAC,

如果△ADCS/SBAC,需满足的条件有：

①/DAC=/ABC或AC是/BCD的平分线；

②胆=此；

ABAC

故选：C.

2.【答案】DF〃AC,或NBF案NA.

【解析】解：DF〃AC,或NBFD=NA.

理由：,:NA=NA,坦=箜=工，

ACAB3

/.AADE^AACB,

二①当DF〃AC时，ABDF^ABAC,

.,.△BDF^AEAD.

②当NBFD=NA时，：ZB=ZAED,

.".△FBD^AAED.

故答案为DF〃AC,或NBFD=/A.

3.【答案】1.

3

【解析】解：；AB被截成三等分，

AAEH^AAFG^AABC,

•.•-A.E二--1，-A-E-二-1-，

AF2AB3

SAAFG:SA,\BC=4：9,

SAAEH：SAABC=1：9,

S阴影部分的面积=&SaABC--SAABC--SA)\BC.

993

故答案为工.

3

4.【答案】(1)135°；2圾.(2)AABC^ADEF.

【解析】(1)解：ZABC=90°+45°=135°,

BC=、22+22=5/

故答案为：135°；2圾.

(2)AABC^ADEF.

证明：•.•在4X4的正方形方格中，

ZABC=135°,ZDEF=900+45°=135°,

ZABC=ZDEF.

VAB=2,BC=2&,FE=2,DE=^

BC-2V2

-AB_2.近，=V2

,-DE~72-FE2

.,.△ABC^ADEF.

1.如图，在AABC中，/A=36°,AB=AC,按照如下步骤作图：（1）分别以A、B为圆心,

以大于/杷长为半径画弧；（2）连接弧的交点，交AC于点D,连接BD.则下列结论错误

的是（）

A.ZC=2ZAB.BD平分NABCC.SABOFSABODD.AD2=AC«CD

2.如图,矩形ABCD中,AD=2,AB=5,P为CD边上的动点，当4ADP与4BCP相似时,DP=

3.如图，在DABCD中，过点A作AELBC,垂足为E,连接DE,F为线段DE上一点，且/

AFE=ZB.

求证：△ADFs/XDEC；

答案与解析

1.【答案】C.

【解析】解：:NA=36°,AB=AC,

AZABC=ZACB=1^~_=72°,

2

ZC=2ZA,A结论正确，不符合题意；

TOD是AB的垂直平分线，

・・・DA=DB,

AZABD=ZA=36°,

AZDBC=36°,

AZABD=ZCBD,即BD平分NABC,B结论正确,不符合题意;

VOBT^BC,

**•SABCD^SABOI),C结论错误，符合题意；

VZA=ZDBC,ZC=ZC,

AABCD^AACB,

ABC=BD(即AD2=AOCD,D结论正确，不符合题意；

ACAB

故选：c.

2.【答案】1或4或2.5.

【解析】解：①当△APDsZ\PBC时，坦=理，

PCBC

即，—=里

5-PD2

解得:PD=1,或PD=4；

②当△PADSAPBC时，位■=&,即2=」^,

BCPC25-PD

解得:DP=2.5.

综上所述，DP的长度是1或4或2.5.

3.【答案】证明：V°ABCD,；.AB〃CD,AD〃BC,

/C+/B=180°,ZADF=ZDEC.

VZAFD+ZAFE=180°,ZAFE=ZB,

.\ZAFD=ZC.

在^ADF与aDEC中，

ZAFD=ZC

ZADF=/DEC

.".△ADF^ADEC.

【解析】利用对应两角相等，证明两个三角形相似△ADFSADEC.

1.如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1,连接AE交BD于点F,则

△DEF的面积与四边形BCEF的面积之比为()

C.9：28D.3：4

2.如图，点P“P”P3,P”均在坐标轴上,且PR1_P2P”P2P3U3P4,若点R,P2的坐标分别

为(0,-1),(-2,0),贝IJ点P,的坐标为

3.小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离

有关.因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置.于是，他们做了

以下尝试.

(1)如图1,垂直于地面放置的正方形框架ABCD,边长AB为30cm,在其正上方有一灯泡,

在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A，B,DC的长度和为6cm.那么灯泡离地面的高度

为—.

（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时

横向影子A，B,D，C的长度和为多少？

（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子AB,DC