2020-2021学年湖北省部分高中联考协作体高二下学期期中数学试题解析版

2020-2021学年湖北省部分高中联考协作体高二下学期期中数学试题一、单选题1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝.其中正确的个数是（）A．0 B．1C．2 D．3【答案】B【分析】分别利用余弦函数、常函数与幂函数的求导公式求导，从而可判断各结论的正误.【详解】解：对于①，，故错；对于②，，故错；对于③，若，则，故错；对于④，，故正确．故选：．2．已知是函数的导数，且，则（）A．2 B．8 C．－4 D．不能确定【答案】B【分析】根据极限的运算法则和导数的概念，即可求解.【详解】由.故选：B.【点睛】本题主要考查极限的运算，以及函数在某点出的导数的概念及其应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.3．五行是中国古代的一种物质观.多用于哲学、中医学和占卜方面.五行指代：金、木、水、火、土.现将“金、木、水、火、土”排成一排，且“木、土”不相邻排法的种数（）A．72 B．48 C．36 D．24【答案】A【分析】根据不相邻问题用插空法可以得到符合题意的共有种排法．【详解】由题意先将“金、水、火”三种不同属性的物质任意排成一列，共有种排法，此时共有四个位置可以插放“木、土”所以“木、土”不能相邻的排法共有种排法，故选：．4．已知直线与曲线在点处的切线互相垂直，则为（）A．3 B．-3 C． D．【答案】B【分析】先求得的导函数，进而求得点处的切线的斜率，由直线垂直列出方程，即可求得结果.【详解】因为，所以切线的斜率，而直线的斜率，由题设，即，则.故选:B．5．函数为自然数的底数）的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据单调性排除，利用排除选项，从而可得结果.【详解】的定义域为,且；令，得或，令得，所以在上递增，在上递减，在上递增，故排除;又，故排除，故选A.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6．用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应添加的式子是（）.A． B． C． D．【答案】C【分析】计算当时，左边的式子，然后与，左边的式子进行对比，可得结果.【详解】当时，左边当时，左边所以当时，左边增加的式子为：故选：C【点睛】本题考查数学归纳法的应用，注意观察左边式子的特点，属基础题.7．《九章算术》中有一分鹿问题：“今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何．”在这个问题中，大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员，现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成3组派去三地执行公务（每地至少去1人），则不同的方案有（）种．A．150 B．180 C．240 D．300【答案】A【分析】将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2；（2）每组的人数分别为1，1，3，然后分别计算出现的结果数并相加，可得结果.【详解】解：将5人分3组，每组至少1人，共有两种情况：（1）每组人数别为1，2，2，方法有；（2）每组的人数分别为1，1，3，方法有，所以不同的方案有90+60=150种.故选：A【点睛】此题考查的是排列组中的分类、分步计数原理，属于中档题.8．若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由在有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求．【详解】解：因为有两个不同的极值点，所以在有2个不同的零点，所以在有2个不同的零点，所以，解可得，．故选：．二、多选题9．已知函数，下列说法中正确的有（）A．函数的极大值为，极小值为B．当时，函数的最大值为，最小值为C．函数的单调减区间为D．曲线在点处的切线方程为【答案】ACD【分析】利用导数研究函数的极值、最值、单调性，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程，根据计算结果可得答案.【详解】因为所以，由，得或，由，得，所以函数在上递增，在上递减，在上递增，故选项正确，所以当时，取得极大值，在时，取得极小值，故选项正确，当时，为单调递增函数，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，故选项不正确，因为，所以曲线在点处的切线方程为，即，故选项正确.故选：ACD.【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值、最值、单调区间，考查了导数的几何意义，属于基础题.10．高一学生王超想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，则下列说法正确的有（）A．若任意选择三门课程，选法总数为种B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为种【答案】AC【分析】A应用组合公式知种选法，B分步乘法原理有种选法，C由间接法有种选法，D分类加法原理有种选法，结合选项可知各项正误.【详解】A：显然种选法，正确；B：在物理、化学中选一门，其它选两门，有种；物理、化学都选，其它选一门，有种；总共有种选法，错误；C：任选3门的种选法中，排除物理、历史同时选的种选法，正确；D：应分三种情况：①只选物理，则有种选法；②只有化学，则有种选法；③若物理与化学都选，则有种选法.即共有种选法，错误；故选：AC.11．为响应政府部门疫情防控号召．某红十字会安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，下列选项正确的是（）A．若恰有一地无人去，则共有42种不同的安排方法B．共有64种不同的安排方法C．若甲乙两人不能去地，且每地均有人去，则共有44种不同的安排方法D．若该红十字会又计划为这三地捐赠20辆救护车（救护车相同），且每地至少安排一辆，则共有171种不同的安排方法【答案】AD【分析】对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，再将4人安排到这两个地方即可；对于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，每人有3种安排方法求解；对于C，将4人分为3组，分甲乙在同一组和甲乙不在同一组讨论求解；对于D，将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板求解.【详解】对于A，若恰有一地无人去，需要先在3地中选出2个地方，将4人安排到这两个地方，有种选取方法，A正确；对于B，安排甲乙丙丁4名志愿者分别奔赴，，三地参加防控工作，每人有3种安排方法，则有种安排方法，B错误；对于C，根据题意，需要将4人分为3组，若甲乙在同一组，有1种分组方法，则甲乙所在的组不能去地，有2种情况，剩余2组安排到其余2地，有种情况，此时有种安排方法；若甲乙不在同一组，有种分组方法，若甲乙两人不能去地，只能安排没有甲乙的1组去地，甲乙所在的两组安排到、两地，有种情况，此时有种安排方法；则一共有种安排方法，C错误；对于D，只需要将20辆救护车排成一排，在19个空位中插入挡板，就可以将20辆救护车分为3组，依次对应，，三地即可，有种安排方法；故选：AD．【点睛】本题考查排列组合的应用以及分步、分类计数原理的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题．12．对于函数，下列说法正确的有（）A．在处取得极大值B．有两不同零点C．D．若在上恒成立，则【答案】ACD【分析】A､根据极值的定义求解判断；B､令，结合函数的图象判断；C､利用函数的图象，结合判断；D､根据在上恒成立，由求解判断.【详解】A､函数的导数，令，得，则当时，，函数为增函数；当时，，函数为减函数，则当时，函数取得极大值，极大值为，故A正确；B､当时，，时，，则的图象如图：由，得，得，即函数只有一个零点，故B错误；C､由图象知，，故成立，故C正确；D､若在上恒成立，则，设，则，当时，，当时，，即当时，函数取得极大值同时也是最大值，为，∴，故D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数法，得到函数的图象而得解.三、填空题13．函数的导函数_________．【答案】【分析】利用函数的求导公式和法则计算即可求解.【详解】由，得，故答案为：.14．位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）【答案】【分析】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁，假设甲拿了乙的帽子，利用列举法结合分类计数原理可得结果.【详解】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁.假设甲拿了乙的帽子，则乙拿了甲的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了丙的帽子；或乙拿丙的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了甲的帽子；或乙拿了丁的帽子，丙拿了甲的帽子，丁拿了丙的帽子.

若甲拿了丙或丁的帽子，同理可知，符合条件的方案数均为种.综上所述，人拿的都不是自己的帽子方案总数为.故答案为：.15．某生产厂家生产一种产品的固定成本为万元，并且每生产百台产品需增加投入万元.已知销售收入（万元）满足（其中是该产品的月产量，单位：百台，），假定生产的产品都能卖掉，则当公司每月产量为______百台时，公司所获利润最大..【答案】6【分析】设销售利润为，利用导数求出的最大值即可.【详解】设销售利润为，依题意可得，，，当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减，所以时，取得极大值，也是最大值，所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大.故答案为：6.【点睛】本题考查函数应用问题以及运用导数求最值，考查数学建模、数学计算能力，属于中档题.16．已知函数，若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围可以是___________.【答案】【分析】分段求导得到函数单调区间，画出函数图像，，即，根据图像得到答案.【详解】当时，，，令，解得，(舍去).，，为减函数，，，为增函数..当时，，，令，解得，，，为减函数，，，为增函数.，且当时，.函数的图像如图所示：因为方程有两个不相等的实根，等价于函数与有2个交点，所以或.故答案为：.【点晴】关键点睛：本题考查了函数的零点问题，利用导数求出单调区间得到函数图像是解题的关键.四、解答题17．用五个数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的自然数，问：（结果用数字作答）（1）四位数有几个？（2）比3000大的偶数有几个？【答案】（1）96个；（2）90个.【分析】（1）首位数字不能是0，其他三位数字可以任意，根据排列组合公式得到结果．（2）比3000大的必是四位数或五位数，分成两类：（Ⅰ）若是四位数，则首位数字必是3或4．（Ⅱ）若是五位数，则首位数字不能是0，个位数字必是0或2或4，再根据排列组合数公式得到结果．【详解】（1）首位数字不能是0，其他三位数字可以任意，所以四位数有个.（2）比3000大的必是四位数或五位数.（Ⅰ）若是四位数，则首位数字必是3或4.①若4在首位，则个位数字必是0或2，有个数，②若3在首位，则个位数字必是0或2或4，有个数，所以比3000大的四位偶数有个.（Ⅱ）若是五位数，则首位数字不能是0，个位数字必是0或2或4，①若0在个位，则有个；②若0不在个位，则有个数，所以比3000大的五位偶数有个.故比3000大的偶数共有30＋60＝90个.18．设数列满足，，（1）求，，的值，并猜想数列的通项公式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1），，，猜想；（2）证明见解析.【分析】（1）根据递推公式即可得，，的值，根据，，的值可猜想的通项公式；（2）根据数学归纳法的步骤证明即可.【详解】解:（1）由题可得；，，，猜想．（2）下面用数学归纳法证明．①当时，猜想成立；②假设时，等式也成立，即．则时．即时也猜想成立.由①②知等式成立.【点睛】本题主要考查用数学归纳法证明等式成立，考查学生对数学归纳法的掌握程度，属于基础题.19．已知函数，为的导函数，且．（1）讨论函数的单调性；（2）求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）最大值为9，最小值为.【分析】(1)先求出，由求出的值，再由得增区间，得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果.【详解】(1)函数),.,解得.则.,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，函数与的变化如下表：-单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为9，最小值为.【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数在闭区间上的最值，属于难题.求函数最值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数；(3)解方程求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小20．已知函数．（1）若函数在点处的切线斜率为1，求的值及此时的切线方程（2）在（1）的条件下求函数的极值．【答案】（1），切线方程为；（2）极小值为，无极大值．【分析】（1）根据导数的几何意义，结合所给条件知求，进而求，写出切线方程即可；（2）由（1）知且，由其导函数研究函数的单调区间，进而判断是否存在极值，并写出极值即可.【详解】（1）由题意，，且定义域为，∴1，即，则，∴，切线方程即.（2）由（1）知：且，即，，∴令，有，即时；时.∴在单调递减，在单调递增，故极小值为，无极大值.【点睛】关键点点睛：（1）利用导数的几何意义，结合已知条件求切线方程.（2）利用导数研究函数的单调区间，判断是否存在极值，进而求极值.21．7人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲、乙两人相邻；（2）甲、乙之间隔着2人；（3）若7人顺序不变，再加入3个人，要求保持原先7人顺序不变.【答案】（1）1440；（2）960；（3）720.【分析】（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列；（2）（捆绑法），先从5人选2人放着甲乙二人之间，并捆绑在一起，再和其他3人全排列；（3）（插空法），原先7人排列形成8个空，先插入1人，再从形成的9个空再插入1人，再从10个空中插入1人；【详解】（1）（捆绑法），把甲乙二人捆绑在一起，再和其他5人全排列，