2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期开学初数学试题解析版

2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高二下学期开学初数学试题一、单选题1．已知复数（为虚数单位），则复数的实部为（）A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【分析】根据复数的乘法运算法则，化简，即可得出其实部.【详解】因为，所以其实部为.故选：D2．准线为的抛物线的标准方程方程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据抛物线的准线方程可知抛物线的焦点位置和的值，由此可得抛物线的标准方程.【详解】因为准线为，所以抛物线的焦点在轴负半轴上，且，所以，所以抛物线的方程为.故选：D3．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚硬币正面朝上”，事件B=“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等【答案】C【分析】根据互斥事件、对立事件和独立事件的定义即可判断.【详解】显然事件A和事件B不相等，故D错误，由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.故选：C.4．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标和双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可得出结果.【详解】抛物线的焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，因此，抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为.故选：C.【点睛】本题考查抛物线与双曲线的简单几何性质，考查了点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于基础题.5．某节目组决定把《将进酒》《山居秋暝》《望岳》《送杜少府之任蜀州》和另外确定的两首诗词排在后六场做节目开场诗词，并要求《将进酒》与《望岳》相邻，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻，且均不排在最后，则后六场开场诗词的排法有（）A．72种 B．48种C．36种 D．24种【答案】C【分析】本题可根据题意分2步分析：第一步将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，第二步将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里（最后一个空不排），由分步计数原理计算可得答案．【详解】首先可将《将进酒》与《望岳》捆绑在一起和另外确定的两首诗词进行全排列，共有种排法，再将《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》插排在3个空里(最后一个空不排)，共有种排法，则后六场开场诗词的排法有种，故选：C.【点睛】方法点睛：排列组合常见解法有：直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题倍缩法、至少问题间接法、复杂问题分类法、列举法、隔板法.6．已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先求出向量在向量上的投影，从而求出投影向量，【详解】解：因为，所以，所以向量在向量上的投影为设向量在向量上的投影向量为，则且，所以，所以，解得所以故选：B【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.7．某保险公司把被保险人分为类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这类人在一年内发生事故的概率依次为，和．如果“谨慎的”被保险人占，“一般的”被保险人占，“冒失的”被保险人占，则一个被保险人在一年内出事故的概率是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，即可求出一个被保险人在一年内出事故的概率.【详解】解：根据题意可知：一个被保险人在一年内出事故的概率为：.故选：A.8．中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同长短的小木棍．如图，是利用算筹表示的一种方法．则据此，可表示为“”，可表示为“”，现有根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用这数字表示的两位数的个数为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】6根算筹可分为1、5，2、4，3、3，再根据图示写出可能的组合，即可得出答案．【详解】解：根据题意，现有6根算筹，可以表示的数字组合为1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、3，3、7，7、7；数字组合1、5，1、9，2、4，2、8，6、4，6、8，3、7中，每组可以表示2个两位数，则可以表示个两位数；数字组合3、3，7、7，每组可以表示1个两位数，则可以表示个两位数；则一共可以表示个两位数.故选D．二、多选题9．甲､乙两类水果的质量(单位：)分别服从正态分布，其正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法正确的是（）A．甲类水果的平均质量B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数【答案】ABC【分析】根据正态密度曲线的性质即可得出结论．【详解】由图象可知甲图象关于直线对称，乙图象关于直线对称，所以，故A正确；C正确；因为甲图象比乙图象更“高瘦”，所以甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即，，故D错误.故选：ABC【点睛】本题考查了正态密度曲线的性质，属于基础题．10．给出下列命题，其中正确的命题有（）A．设具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高B．随机变量，若，则C．公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有种D．回归方程为中，变量y与x具有正的线性相关关系，变量x增加1个单位时，y平均增加0.85个单位【答案】BD【分析】A.根据相关系数的应用，即可做出判断；B.由正态分布可知，，，且，计算的值；C.根据分步计数原理直接计算结果；D.根据回归方程的形式，即可做出判断.【详解】A.设具有相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近于0，之间的线性相关程度越弱，故A不正确；B.随机变量，则，，若，则，得，故B正确；C.由分步计数原理可知，每位乘客下车方法有5种，所以乘客下车的可能方式有种，故C不正确；D.由回归方程的形式可知，，变量y与x具有正的线性相关关系，变量x增加1个单位时，y平均增加0.85个单位，故D正确.故选：BD【点睛】本题考查回归方程，分步计数原理，正态分布方差的性质，以及相关系数的辨析，属于基础题型.11．以下四个命题表述正确的是（）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1C．曲线与曲线恰有三条公切线，则D．已知圆，点P为直线上一动点，过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过定点【答案】BCD【分析】将直线的方程进行整理利用参数分离即可判断选项A；根据圆心到直线的距离与半径的关系比较即可判断选项B；由题意知两圆外切；由圆心距等于半径即可求得值，即可判断选项C；设出点坐标，求出以线段为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减即可得直线的方程，即可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：由可得：，由可得，所以直线恒过定点，故选项A不正确；对于选项B：圆心到直线的距离等于，圆的半径，平行于且距离为1的两直线分别过圆心以及和圆相切，故圆上有且仅有3个点到直线的距离等于，故选项B正确；对于选项C：由可得，圆心，，由可得，圆心，，由题意可得两圆相外切，所以，即，解得：，故选项C正确；对于选项D：设点坐标为，所以，即，因为、分别为过点所作的圆的两条切线，所以，，所以点在以为直径的圆上，以为直径的圆的方程为，整理可得：，与已知圆相减可得，消去可得：即，由可得，所以直线经过定点，故选项D正确.故选：BCD.【点睛】结论点睛：（1）圆和圆的公共弦的方程为两圆的方程相减即可.（2）已知，，以线段为直径的圆的方程为：.12．已知A，B两点的坐标分别是，，直线AP、BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是（）A．当时，点P的轨迹为圆B．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除去与x轴的交点）C．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线D．当时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去与x轴的交点）【答案】ABD【分析】设出P点的坐标，根据直线AP的斜率与直线BP的斜率之积为，可得出含有参数的点P轨迹方程，然后对进行讨论，分析轨迹方程表示哪种曲线，最后确定正确选项.【详解】设点P的坐标为，直线AP，BP的斜率为，由已知得，化简得点P的轨迹方程为，分析A，当时，方程为，故A正确；分析B，当，方程为，表示焦点在轴上的椭圆，故B正确；分析C，当，方程为，不表示抛物线，故C错误；分析D，，方程为，表示焦点在轴上的双曲线，故D正确；故选：ABD.【点睛】曲线的轨迹方程解题步骤为：①设动点坐标②根据题意建立与的关系式③化简整理与的关系式，得出轨迹方程.三、填空题13．抛掷一个骰子，若掷出5点或6点就说试验成功，则在3次试验中恰有2次成功的概率为______.【答案】【分析】先求出每次试验成功的概率为，在根据次独立重复试验恰好发生次的概率公式即可.【详解】解：每次试验成功的概率为，3次试验中成功2次的概率为：故答案为：【点睛】考查次独立重复试验恰好发生次的概率公式的应用，基础题.14．广东省2021年的新高考按照“”的模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目；“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目；“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物学4门中选考2门科目．则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为______．【答案】【分析】根据题意，分两种情况讨论：（1）甲乙两名考生选考科目相同的科在物理或历史，另一科在“思想政治、地理、化学、生物学”中；（2）甲乙两名考生选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物学”中两科，由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，分两种情况讨论：（1）甲乙两名考生选考科目相同的科在物理或历史，另一科在“思想政治、地理、化学、生物学”中，有种方法；（2）甲乙两名考生选考科目相同的为“思想政治、地理、化学、生物学”中两科，有种方法；则甲，乙两名考生在选考科目中恰有两门科目相同的方法数为种；故答案为：.15．有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为____________.【答案】【分析】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，可得，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设事件为“一瓶是蓝色”，事件为“另一瓶是红色”，事件为“另一瓶是黑色”，事件为“另一瓶是红色或黑色”，则，且与互斥，又，，，故.故答案为：.【点睛】方法点睛：求条件概率的常用方法：（1）；（2）；（3）转化为古典概型求解.16．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为，则双曲线离心率的取值范围是___．【答案】【分析】由双曲线的定义结合条件可得，再由，即可得离心率的范围.【详解】因为，因为为双曲线右支上的任意一点，所以并且，所以，所以所以双曲线的离心率的范围.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求解，利用定义求解焦半径是解题的关键，属于基础题.四、解答题17．已知命题直线经过第二､三､四象限，命题：方程表示双曲线，若为真命题，求实数的取值范围.【答案】【分析】分别求得命题和都是真命题时，实数的取值范围，再结合为真命题，即可求解.【详解】由命题直线经过第二､三､四象限，可得，解得；由命题：方程表示双曲线，可得，解得，因为为真命题，即命题和命题都是真命题，可得，即实数的取值范围.18．如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是的中点.（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）以为原点，以所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，证明即可；（2）求出平面的法向量，利用即可求出.【详解】（1）证明：以为原点，以所在的直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系，，，所以，所以.（2），设平面的法向量为，则，，，令，则.设与平面所成角为，，所以与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查向量法证明线线垂直，考查线面角的向量求法，属于基础题.19．若，且.（1）求的展开式中二项式系数最大的项；（2）求的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由二项展开式通项公式得出，然后由求出，根据二项式系数的性质得出最大项的项数，再求出该项即可；（2）在展开式中令可得，令再结合可得结论．【详解】（1）因为，且，所以，解得或（舍），故的展开式中二项式系数最大的项为第5项，为；（2）令，可知，令，得，所以，故.【点睛】本题考查二项式定理，考查二项式系数的性质，考查赋值法求系数的和．属于基本题型．20．某项科研活动共进行了5次试验，其数据如下表所示：特征量第1次第2次第3次第4次第5次x258911y1210887（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系？并指出是正相关还是负相关（2）求特征量y关于x的回归方程，并预测当特征量x为12时特征量y的值；（3）设特征量x满足，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：参考公式：相关系数，，.参考数据：，，，若，则，【答案】（1）可以用线性回归模型拟合y与x的关系；负相关；（2）；时，；（3）.【分析】（1）根据题中数据，结合相关系数的公式，求出相关系数，即可判断出结论；（2）根据最小二乘法，求出，，即可得出线性回归方程，从而可得预测值；（3）根据正态分布的对称性，根据题中条件，即可求出结果.【详解】（1）由题意得，，，，，因而相关系数.由于很接近1，说明x，y线性相关性很强，因而可以用线性回归方程模型拟合y与x的关系.由于，故其关系为负相关.（2）由（1）知，，∴，则所求的回归方程是.当特征量x为12时，可预测特征量.（3）由（1）知，，又由，得，从而.【点睛】本题考查相关系数的计算以及线性相关性的判定，考查最小二乘法求回归方程，根据回归方程进行预测，考查正态分布指定区间的概率，属于常考题型.21．某网游经销商在甲地区5个位置对“电信”和“网通”两种类型的网络在相同条件下进行游戏掉线测试，得到数据如下：电信438612网通57943（1）如果在测试中掉线次数超过5次，则网络状况为“糟糕”，否则为“良好”，那么在犯错误的概率不超过的前提下，能否说明游戏的网络状况与网络的类型有关？（2）若该游戏经销商要在上述接受测试的电信的5个地区中任选3个作为游戏推广，求、两个地区同时选到的概率；（3）在（2）的条件下，以表示选中的掉线次数超过5个的位置的个数，求随机变量的分布列及数学期望.参考公式：【答案】（1）不能；（2）；（3）分布列见解析，.【分析】（1）写出列联表计算出可得结论；（2）求出任选3个的方法数，以及同时选到的方法数，然后可计算概率；（3