2022届陕西省西安市高三下学期5月第三次质检理科数学试题解析版

保密★启用前西安市2022年高三年级第三次质量检测理科数学注意事项：1．本卷共150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选徐其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试题和答题卡一并交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数z满足，其中i为虚数单位，则z对应的点满足方程（）A．B．C．D．3．若实数x，y满足约束条件，则的最小值是（）A．B．7C．3D．14．已知半径为2的圆M经过点，则其圆心M到原点的距离的最小值为（）A．10B．11C．12D．135．“”是“双曲线的焦点在x轴上”的（）A．充分不必要条件B必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．如图1，在一个正方体中，E，G分别是棱AB，的中点，F为棱CD靠近C的四等分点．平面EFG截正方体后，其中一个多面体的三视图中，相应的正视图是（）A．B．C．D．7．已知函数满足，，则（）A．B．C．D．8．小金是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读莫言的两本著作—《红高粱》、《檀香刑》．假设他读完这两本书共需50个小时，第1天他读了15分钟，从第2天起，他每天阅读的时间比前一天增加10分钟，则他恰好读元这两本书的时间为（）A．第24天B．第23天C．第25天D．第26天9．袁隆平院士一生致力于杂交水稻的研究，当前我国杂交水稻种植面积超过2.4亿亩，占水稻总种植面积的57%，产量占水稻总产量的65%，以此估算，杂交水稻的单位产量是常规水稻单位产量的（）A．180%B．110%C．140%D．170%10．已知数列的通项公式为，记为中第一个七位数字，则（）（参考数据：）A．19B．20C．21D．2211．如图2是一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．设圆柱的体积与球的体积之比为m，圆柱的表面积与球的表面积之比为n，则的值为（）A．B．C．D．112．林老师等概率地从中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从中抽取一个数字，记为Y，已知，其中（，）是的概率，其中，则（）A．3B．5C．6D．8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．写出一个同时满足下列条件的向量①；②且与的夹角为锐角．14．函数在点处的切线方程是．的展开式中系数为有理数各项的系数之和为．16．已知直线l：，抛物线上一动点到直线l的距离为d，则的最小值是．三、解答题：本大题共7小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题（60分）17．（本小题满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求B的大小；（2）若，求的最大值．18．（本小题满分12分）网课是一种新兴的学习方式，它以互联网为平台，为学习者提供包含视频、图片、文字等多种形式的系列学习课程，由于具有方式多样，灵活便捷等优点，成为许多学生在假期实现自主学习的重要手段．为了调查A地区高中生一周网课学习的时间，随机抽取了500名上网课的学生，将他们一周上网课的时间（单位：h）按，，，，分组，得到频率分布直方图如图3所示．（1）求a的值，并估计这500名学生一周上网课时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了了解学生与家长对网课的态度是否具有差异性，研究人员随机抽取了200人调查，所得数据统计如下表所示，判断是否有99.5%的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．支持上网课支持上网课家长3070学生5050附：，其中．0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（本小题满分12分）如图4，已知正方形ABCD的边长为4，E，F分别为AD，BC的中点，将正方形ABCD沿EF折成如图5所示的二面角，且二面角的大小为，点M在线段AB上（包含端点）运动，连接AD．（1）若M为AB的中点，直线MF与平面ADE的交点为O，试确定点O的位置，并说明理由．（2）若，求直线DE与平面EMC所成的角的大小．20．（本小题满分12分）已知椭圆；，、分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，P是椭圆上异于点、的点，是边长为4的等边三角形．（1）写出椭圆的标准方程；（2）设点R满足：，．求证：与之比为定值．21．（本小题满分12分）设函数，．（1）设l是图象的一条切线，求证：当时，l与坐标轴围成的三角形的面积为定值；（2）当时，求函数零点的个数．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4-4；坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，直线l过点，倾斜角为．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的直角坐标方程，并写出l的一个参数方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且，求．23．（本小题满分10分）[选修4-5]不等式选讲]已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若的最大值为m，正数a，b，c满足，求证．西安市2022年高三年级第三次质量检测理科数学参考答案一、（60分）1．B（，解得或，所以．，所以．所以．故应选B．）2．C（在复平面内，复数z对应的点为，则，x，，，因，于是得，所以z对应的点满足方程是：．故应选C．）3．D（画图如下：由图可知，在处取得最小值，所以．故应选D．）4．B（因为半径为2的圆M经过点，所以圆心M的轨迹是以点为圆心半径为2的圆，所以圆心M到原点的距离的最小值为，故应选B．）5．A（由双曲线的焦点在x轴上可知．于是“”是“双曲线的焦点在x轴上”的充分不必要条件．故应选A．）6．D（连接，因为E，G分别是棱AB，的中点，F为棱CD靠近C的四等分点，所以，所以平面EFG经过点所以多面体的正视图为故应选D．）7．B（令，，则，即，令，，则，即，令，，则，即，令，，则，即，令，，则，即，故应选B．）8．A（根据题意，小金第n天的阅读时间（单位：分钟）依次构成等差数列，且首项为15，公差为10，则，整理得．设），易知为递增数列，因为，，所以他恰好读完这两本书的时间为第24天．故应选A．）9．C（设水稻总产量为a，总种植面积为b，则由题意知杂交水稻的单位产量，常规水稻的单位产量，所以杂交水稻的单位产量与常规水稻的单位产量之比为．故应选C．）10．B（若为七位数字，则，所以．所以．因为，，所以．故应选B．）11．D（设球的半径为r，则圆柱的底面半径为r，高为2r，依题意，．故应选D．）12．C（依题意，，，，，，，，，，∴．故应选C．）二、（20分）13．（答案不唯一，如，）（由．可，，又向量与的夹角为锐角，所以．不妨取，则答案不唯一，如，．）14．（由题意，函数，可得，则且，所以在点处切线方程是，即．）15．117（因为展开式的通项为（，1，…，6），则当，均为整数，由或6时，展开式中的系数为有理数，故所求系数之和为．）16．（如下图示：若PC⊥直线l，PB⊥抛物线准线且交y轴于A点，则，，由抛物线定义知，则，所以，即最小，当F，P，C共线时，又，此时．）三、（70分）17．（1）因为，所以，则，则有，即，所以，因为，所以，所以，又，所以；（2）由（1）得，即，解得，当且仅当时，取等号，所以的最大值为8．18．（1）因为，所以，平均数为；（2）因为，所以有99.5%的把握认为学生与家长对网课的态度具有差异性．19．（1）因为直线平面ABFE，故点O在平面ABFE内，也在平面ADE内，所以点O在平面ABFE与平面ADE的交线（即直线AE）上，延长EA，FM交于点O，连接OD，如图所示。因为，M为AB的中点所以△OAM与△FBM全等，所以，，故点O在EA的延长线上且与点A间的距离为2，（2）如图，由已知可得，．又，EA，平面ADE，所以EF⊥平面ADE，且，平面ABFE，所以平面ABFE⊥平面ADE，因为，，所以△ADE为等边三角形，取AE的中点H，连接DH，则，而平面ABFE⊥平面ADE，平面平面，平面ADE，所以DH⊥平面ABFE，过点H作直线，以H为坐标原点，以HA，HT，HD分别x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，，所以，，，设平面EMC的法向量为，即，取，则，，所以平面EMC的一个法向量为，则，所以直线DE与平面EMC所成的角为．20．（1）由的边长为4的等边三角形，得，且．∴椭圆的标准方程为；（2）证明：设，．直线的斜率为，由，得直线的斜率为．于是直线的方程为．同理，的方程为：．联立两直线方程，消去y，得∵在椭圆上，∴，从而．∴，∴．21．（1）当时，，，，设图象上任意一点，切线l斜率为．过点的切线方程为，令，解得；令，解得．切线与坐标轴围成的三角形面积为．∴l与坐标轴围成的三角形的面积为定值；（2）显然不是的零点，∴，令，且则，，，∴在上单调递减，在，上单调递增，∴在时，有极小值；在时，∴的图象如图：，∴时，零点个数为0；，零点个数为1；时，零点个数为2．