高中数学模块终结性评价含解析新人教A版选修2-3

模块终结性评价

（120分钟150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上某个时段只亮三盏灯，且任意两盏亮灯

不相邻，则不同的开灯方案有（）

A.60种B.20种C.10种D.8种

【解析】选C.四盏熄灭的灯产生的5个空当中放入3盏亮灯，即C：=10.

2.如图，4个散点图中，不适合用线性回归模拟拟合其中两个变量的是（）

【解析】选A.题图A中的点不成线性排列，故两个变量不适合线性回归模型.

3.（2019•浙江高考）设0<a<l,随机变量X的分布列是

X0a1

111

p

333

则当a在(0,1)内增大时()

A.D(X)增大B.D(X)减小

C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大

【解析】选D.由表可以求得E(X)=0X：+ax1+ix1+4a,

OOuO

/2、1,1,11,12

E(X)=0X-+a2X-+1X-=§+§a,

22

11rz11

----

所以由D(X)=E(X>—[E(X)J33<33

222221

+

9-9-9-9-6_

所以当a在（0,1）内增大时，D（X）先减小后增大.

4.。2+孑5的展开式中x4的系数为（）

A.10B.20C.40D.80

【解析】选C.由题可得Tf=C；（x2）5-'^r

=C；•2r•x10-3r.令10-3r=4,

则r=2,所以C；-2r=ClX22=40.

教师

专用【补偿训练】

（六+/一2）3展开式中的常数项为（）

A.-8B.-12C.-20D.20

【解析】选C.因为（X2+"—2）=（x—?

所以L+i=C；x6—,•(一B=C；(―l)rx6-2r,令6—2r=0,得r=3,

所以常数项为C；(—1M=-20

5.设随机变量C服从正态分布N（2,9）,若P（&<2m+l）=P（W〉m—l）,则实数m的值是

)

245

A.-B.-C.D.2

3

【解析】选B.依题意P=2,因为P(&<2m+l)=P(&〉m-l),

(2m+l)+(m—1)4

所以•=2,解得m=§.

2

6.如图所示，A,B,C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9,0.8,

0.7,那么此系统的可靠性为（）

A.0.504B.0.994C.0.496D.0.06

【解析】选B.A、B、C三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法

知P=1—(1—0.9)X(1-0.8)(1-0.7)=1-0.1X0.2X0.3=0.994.

7.学校选派5位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这3所大学的自主招生考试,

每所大学至少有一人参加，则不同的选派方法共有()

A.540种B.240种C.180种D.150种

dc2c2

【解析】选D.不同的选派方法共有C；A：+。」A,=150(种).

111

---

8.已知随机变量8的分布列为€=-1,0,1,对应263

则n的期望为()

1229

A.――B.TC.-D.1

6336

【解析】选B.E(&)=—1X:+0x1+1X(=-1,所以E(n)=E(2W+1)

2636

12

=2E(C)+1=-TX2+l=-.

b3

9.(2018•全国卷III)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P，各成员的支付方式

相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)=2.4,P(X=4)

<P(X=6),则p=()

A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3

【解析】选B.由题意可知X〜B(10,p),

故DX=10p(l—p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4,

予X26q4*24

462

当p=0.6时，P(X=4)=C：°X0.6X0.4=C!0X2,

6444

,、$643X23X2

P(X=6)=CX0.66X0.44=CsX—=C4X—X32,

101O0100

满足P(X=4)〈P(X=6),所以p=0.6；

同理可验证p=0.4时不满足P(X=4)<P(X=6).

10.为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生,

通过问卷调查，得到以下数据：

作文成绩优秀作文成绩一般总计

课外阅读量较大221032

课外阅读量一般82028

总计303060

由以上数据，计算得到K，的观测值k-9.643,根据临界值表，以下说法正确的是()

A.没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

B.在犯错误的概率不超过0.5的前提下认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关

【解析】选D.根据临界值表，9.643>7,879,在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为

课外阅读量大与作文成绩优秀有关.

11.把一枚硬币任意抛掷两次，记第一次出现正面为事件A,第二次出现正面为事件B,则

P(B|A)等于()

111

--Q-

A.4B.32

【解析】选C.在第一次出现正面后，第二次可出现正面或反面，故基本事件有(正，正)，(正,

反)，而第一次出现正面，第二次也出现正面的只有(正，正)，因此P(B|A)=g.

教师

专用

某道数学试题含有两问，当第一问做对时，才能做第二问，为了解该题的难度，调查了100

名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学生有72

人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，则该学生

做对第二问的概率为()

A.0.9B.0.8C.0.72D.0.576

【解析】选A.做对第一问的学生有80人，则做对第一问的概率为瑞=0.8.既做对第一问

72

又做对第二问的学生有72人,则两问都做对的概率为荻=0.72.设“做对第一问”为事件

A,“做对第二问”为事件B,则P(A)=0.8,P(AB)=0.72,某个学生已经做对第一问，则

p(AR)072

该学生做对第二问的概率P(B|A)=£TU=干==0-9,

rIAJU.o

12.若n是正奇数，则7"+C：7"T+d7"T+…+C：T7被9除的余数为()

A.2B.5C.7D.8

【解析】选C.由题可知：原式=C：7"+C：r-'+C2„7"T+…+c「7=(c：7"-1°+C：7--1•1

+C：7n-2•12H----HC："17-r-1+C°7°•ln)—C：7°•ln=(7+l)--l=8n-l=(9-l)"-l=

[C：9n•(—1)°+C：9“T.(—1)+C：911T.(-1)2+-+6：-19•(-l)n-1+C：9°•(-1)"]-

1,

因为n为正奇数，所以上式可化简为C：9n+C；(-1)+C：911r.(-1)2+-+6^

9•(一1厂一2

=C"9"+C；9n-1•(―1)+C：9T.(-1)2+-+6：-19•(—I)"，一9+7,

所以该式除以9,余数为：7.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)

13(2018•全国卷I)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选,

则不同的选法共有种.(用数字填写答案)

【解析】方法一：根据题意，没有女生入选有C：=4种选法，从6名学生中任意选3人有

C；=20种选法，故至少有1位女生入选的选法共有20—4=16种.

方法二：恰有1位女生，有CC；=12种，

恰有2位女生，有C；C；=4种，

所以不同的选法共有12+4=16种.

答案：16

(1\n

14.(2020•长沙高二检测)3的展开式中各项系数之和为729,则该展开式中x?

项的系数为.

(2x+--1-\6n

6

【解析】依题意得3n=729,n=6,二项式3的展开式的通项是T』=C；•(2x)

(1、6-匕

-Lr34r

'•3=C；•26T•x.令6——=2,得r=3.因此，在该二项式的展开式中x2

项的系数是C•2-3=160.

答案：160

教师

专用【补偿训练】

的展开式中Y的系数为A,二项式系数为B,则9等于

D

3k

令6—5=3,即k=2,

所以T3=C；(―2)2X3=60X)所以X15的系数为A=60,二项式系数为B=C；=15,所以］=黑

D10

=4.

答案：4

15.①回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和越大；

②对于相关系数r,1r1越接近1,相关程度越大，|r1越接近0,相关程度越小；

③由一组样本数据(xi,y),(xz,yj,…，(x„,y)得到的回归直线方程为，=6x+A,

那么直线g=6x+鱼必经过点(x,y)；

④K?是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合.

以上几种说法正确的序号是.

【解析】回归分析中，相关指数V的值越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好，所以

①不正确.其余均正确.

答案：②③④

16.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则

在2次试验中成功次数X的均值是.

13

【解析】由题意可知每次试验不成功的概率为W，成功的概率为W，在2次试验中成功次数

]133§2

X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=m-2X]x-=-,P(X=2)

9

16,

所以在2次试验中成功次数X的分布列为

X012

139

p

16816

i3Q3

则在2次试验中成功次数X的均值为E(X)=OXy^+1X-+2X—=-.

168162

答案：I

教师专用4【一题多解】解答本题还可以用如下的方法解决:

33

此试验满足二项分布,其中p=1,所以在2次试验中成功次数X的均值为E(X)=np=2X-

3

=2,

上.3

答案：5

三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(10分)为了调查某生产线上质量监督员甲是否在现场对产品质量好坏有无影响，现统

计数据如下：质量监督员甲在现场时，1000件产品中合格品有990件，次品有10件，甲

不在现场时，500件产品中有合格品490件，次品有10件.

(1)补充下面列联表，并初步判断甲在不在现场与产品质量是否有关：

合格品数/件次品数/件总数/件

甲在现场990

甲不在现场10

总数/件

(2)用独立性检验的方法判断能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“甲在不在现

场与产品质量有关”？

2____________n(ad-be)____________

*(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】(1)

合格品数/件次品数/件总数/件

甲在现场990101000

甲不在现场49010500

总数/件1480201500

由列联表可知lad—be=|990X10—490X101=5000,相差较大，可在某种程度上认为“甲

在不在现场与产品质量有关”.

（2）由（1）中2X2列联表中数据，得

21500X(990X10—490X10)?

K=1480X20X1000X500-一«2.53>2,072,

又P（k》2.072）的临界值为0.15,

所以，能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为“甲在不在现场与产品质量有关”.

18.（12分）某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度

为ycm,测得一些数据图如下表所示:

第X/p>

高度y/cm0479111213

作出这组数的散点图如下

⑴请根据散点图判断，丫=0*+1）与丫=6^+d中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间

x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的

高度（结果保留1位小数）.附：

XxiYi-nxy

人i=：1人—八—

b=------------------，a=y—bx参考数据:

n___

-

VL'x2i一nx2

i=l

777

口,E(«yJ

i=li=li=li=l

1402856283

【解析】（1）根据散点图，y=c<+d更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型;

⑵令N=#，则y=c市+d构造新的成对数据，如下表所示：

/p>

1234567

y0479111213

容易计算，U=4,y=8.通过上表计算可得:

ZdyLnuy

283-7X4X8_59

因此二三------------------------

6二140—7X16=28,

n_______

十2-nu2

i=l

因为回归直线g=cu+d过点(u,y),

人-...3

所以d=y—CU=~~,

故y关于口的回归直线方程为y=j|市从而可得：y关于X的回归方程为y

人…174

令x=144,则丫二〒仁24.9,

所以预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.

教师

专用【补偿训练】

某5名学生的总成绩与数学成绩如表:

学生ABCDE

总成绩(X)482383421364362

数学成绩(y)7865716461

(1)画出散点图.

(2)求数学成绩对总成绩的回归方程.

(3)如果一个学生的总成绩为450分，试预测这个学生的数学成绩(参考数据：4822+3832+

4212+3642+3622=819794,482X78+383X65+421X71+364X64+362X61=137760).

【解析】(1)散点图如图

数学成绩

100-

80-.

60-•

40■

20-

0----------------1----------------1----------------1----------------1-----------►x

150300450600总成绩

(2)设回归方程为x+A,

3392012

13776。—5X丁X

人5

b=^0.132,

819794-5Xm2

人—£—3392012

a=y-bX---0.132X-=14.6832.

所以回归方程为g=14.6832+0.132x.

(3)当x=450时，y=14.6832+0.132X450=74.0832心74,

即数学成绩大约为74分.

19.(12分)带有编号1,2,3,4,5的五个球.

(1)全部投入4个不同的盒子里.

(2)放进4个不同的盒子里，每盒一个.

(3)将其中的4个球投入4个盒子里的一个(另一个球不投入).

各有多少种不同的放法？

【解析】(1)由分步乘法计数原理知，五个球全部投入4个不同的盒子里共有4,种放法.

(2)由排列数公式知，五个不同的球放进4个不同的盒子里(每盒一个)共有A：种放法.

(3)将其中的4个球投入一个盒子里(另一个球不投入)共有C：C：种放法.

20.(12分)为了研究某学科成绩是否与学生性别有关，采用分层抽样的方法，从高三年级

抽取了30名男生和20名女生的该学科成绩,得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女

生成绩的茎叶图，规定80分以上为优分(含80分).

⑴①请将2X2列联表补充完整:

优分非优分总计

男生

女生

总计

②根据此列联表判断，能否在犯错误概率不超过10%的前提下认为“该学科成绩与性别有

关”？

(2)将频率视作概率，从高三年级该学科成绩中任意抽取3名学生的成绩，求至少2名学生

的成绩为优分的概率.

下面的临界值表供参考:

2

P(K^k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考公式：■=(a+b)(《I::;c)(b+d)'其中n=a+b+c+d.

【解析】(1)①将2义2列联表补充完整如表:

优分非优分总计

男生92130

女生11920

总计203050

②由题意得K?的观测值

____________n(ad—be)2___________________

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)儿1=),

因为3.125>2.706,所以能在犯错误概率不超过10%的前提下认为该学科成绩与性别有关.

(2)由于有较大的把握认为该学科成绩与性别有关，因此需要将男女生成绩的优分频率f=

0.4视作概率；设从高三年级中任意抽取3名学生的该学科成绩中，优分人数为X,则X服

从二项分布B(3,0.4),所求概率P=P(X=2)+P(X=3)=C'X0.42X0.6+C3X0.43=

0.352.

21.(12分)某工厂在试验阶段大量生产一种零件.这种零件有A,B两项技术指标需要检测,

设各项技术指标达标与否互不影响.若A项技术指标达标的概率为I,有且仅有一项技术指

5

标达标的概率为正.按质量检验规定：两项技术指标都达标的零件为合格品.

(1)求一个零件经过检测为合格品的概率.

(2)任意依次抽出5个零件进行检测，求其中至多3个零件是合格品的概率.

⑶任意依次抽取该种零件4个，设1表示其中合格品的个数，求E(&)与D(&).

【解析】(1)设A、B两项技术指标达标的概率分别为R、P2.

「3

一P'F

由题意得，

5

Pl(l-p)+(1-P1)p=—,

、22LN

9

解得P2=W.

Q91

所以一个零件经过检测为合格品的概率P=PR=/X?=3.

4J%

(2)任意抽出5个零件进行检查，其中至多3个零件是合格品的概率为

13

16'

⑶依题意知&〜B4,E(C)=4X-=2,D(C