4-1指数-题型分类归纳2022-2023学年高一数学上学期讲与练人教A版2019必修第一册

4.1指数一、n次方根的定义1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且2、个数：（1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为；（2）当n是偶数，=1\*GB3①时，的有两个值，且互为相反数，记为；=2\*GB3②时，不存在二、根式1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．2、性质：（，且）a；三、分数指数幂的意义1、分数指数幂的意义（1）正分数指数幂：规定：（2）负分数指数幂：规定：（3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义2、分数指数幂的注意事项：（1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法．在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已．（2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分．（3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂，如有意义，但就没有意义．四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．五、实数指数幂的运算性质①．②．③．六、条件求值问题的解题思路：1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论；2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值；3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。题型一根式的概念【例1】下列等式中成立的个数是（）①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）.A．个B．个C．个D．个【答案】D【解析】对于①，当且时，，①对；对于②，当为大于的奇数时，，②对；对于③，当为大于零的偶数时，，③对.故选：D.【变式1-1】等式成立的条件是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】等式成立的条件是，即.故选：D【变式1-2】，则实数a的取值范围_________

【答案】【解析】由题设得，，所以，所以，．【变式1-3】（多选）下列等式中，不正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】对于A，，

故A不正确；对于B，

，故B不正确；对于C，

中，故C不正确；对于D，

，故D正确．故选：ABC题型二利用根式的性质化简求值【例2】化简并求值.【答案】3.【解析】.【变式2-1】求下列各式的值；（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）=．（2）原式=因为，所以，当，即时，当，即时，,所以.【变式2-2】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，即，，.故选：A.【变式2-3】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1）.（2）.（3）.（4）.题型三多重根式的化简【例3】求值_______．【答案】4【解析】.【变式3-1】化简________.【答案】6【解析】.【变式3-2】化简（）A．B．C．2D．【答案】D【解析】，故选：D．【变式3-3】化简=_________.【答案】【解析】=因为，所以.所以原式题型四根式与分数指数幂的互化【例4】下列根式与分数指数幂的互化正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对A：，故选项A错误；对B：，故选项B正确；对C：，不能化简为，故选项C错误；对D：因为，所以，故选项D错误.故选：B.【变式4-1】化成分数指数幂为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】．故选：B.【变式4-2】已知，则化为（）A．B．C．mD．1【答案】C【解析】，，故选：C．【变式4-3】将下列各式用分数指数幂的形式表示：（1）；（2）；（3）【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）原式.（2）原式.（3）原式.题型五利用指数幂的性质化简【例5】已知，，且，则______．【答案】【解析】由题意，，所以.【变式5-1】计算：______．【答案】【解析】．【变式5-2】化简（式中字母都是正数）：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【解析】（1）（2）【变式5-3】化简或求值：（1）；（2）；（3）；（4）（且）.【答案】（1）112；（2）21；（3）4；（4）【解析】（1）原式=.（2）=21.（3）.（4）.题型六条件求值问题【例6】已知，则______．【答案】3【解析】由，可得，，．【变式6-1】已知＝5，则的值为_________．【答案】23【解析】因为＝5，所以.【变式6-2】已知，求下列各式的值.（1）；（2）；（3）.【答案】（1）7；（2）47；（3）【解析】（1）将两边平方，得，所以．（2）将两边平方，得，所以．（3）∵，，，∴，∴．【变