1 认识一元二次方程 数学北师大版九年级上册

第二章一元二次方程1认识一元二次方程初中数学北师大版九年级上册第1课时认识一元二次方程探究新知地毯问题幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.8m5m已知量：未知量：矩形地面的长、宽地毯的面积地毯的长、宽条形区域的宽8m5m已知量：未知量：矩形地面的长、宽地毯的面积地毯的长、宽条形区域的宽你能找出地毯问题中的相等关系吗？地毯问题地毯的长×宽=18m2地毯的长+2倍条形区域的宽=8m地毯的宽+2倍条形区域的宽=5m幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.8m5m你能求出这个宽度吗？地毯问题如果设所求的宽为xm，那么地毯的长为

m，宽为

m，根据题意，可得方程：（8－2x）（5－2x）

(8－2x)(5－2x)

=18

(8－2x)(5－2x)

=18

40-16x-10x+4x2

=182x2

-13x+11=0（去括号）（移项、合并同类项）幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.你能求出这个宽度吗？地毯问题连续整数问题观察下面等式：102＋112＋122＝132＋142你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：_______，_______，_______，_______。根据题意，可得方程：x2+(x＋1)2+(x＋2)2=(x＋3)2+(x＋4)2x＋1x＋2x＋3x＋4x2+(x＋1)2+(x＋2)2=(x＋3)2+(x＋4)2去括号、移项、合并同类项x2-8x-20=0梯子滑动问题如图，一个长为10

m

的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8

m．如果梯子的顶端下滑1

m，那么梯子的底端滑动多少米？10m8m几何画板.GSP梯子滑动问题如图，一个长为10

m

的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8

m．如果梯子的顶端下滑1

m，那么梯子的底端滑动多少米？7m1m10m6m解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙

m.6如果设梯子底端滑动x

m，那么滑动后梯子底端距墙_______m.（x＋6）根据题意，可得方程：72＋(x＋6)2

＝10272＋(x＋6)2

＝102去括号、移项、合并同类项x2

＋12x－15

＝0

(8－2x)(5－2x)

=182x2

-13x+11=0x2+(x＋1)2+(x＋2)2=(x＋3)2+(x＋4)2x2-8x-20=072＋(x＋6)2

＝102x2

＋12x－15

＝0由上面三个问题，我们可以得到三个方程：议一议上述三个方程有什么共同特点？上面的方程都是只含有一个未知数x

的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0

(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．一元二次方程我们把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.ax2bxc二次项一次项常数项ab二次项系数一次项系数达标检测根据题意列出一元二次方程:已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.【选自教材P32随堂练习】解：设较短边长为x.x2+(x+1)2=(x+2)2.把方程(3x＋2)2=4(x-3)2

化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次顶系数和常数项.【选自教材P32随堂练习】解:化为一般形式为5x2＋36x－32＝0．二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为－32．根据题意，列出一元二次方程：

（1）有一面积为54m2

的长方形，将它的一边剪短5m，

另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的

边长是多少？（1）解:设这个正方形的边长为x．(x＋5)(x＋2)＝54，即x2＋7x－44＝0．【选自教材P32习题2.1第1题】（2）解:设较小数为

x．x(x＋1)＋(x＋1)(x＋2)＋x(x＋2)＝242，即x2＋2x－80＝0．根据题意，列出一元二次方程：（2）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，

这三个数分别是多少？【选自教材P32习题2.1第1题】把下列方程化为一元二次方程的形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项：方程一般形式二次项系数一次项系数常数项3x2=5x-1(x+2)(x-1)=64-7x2=03x2－5x＋1＝03－51x2＋x－8＝011－8－7x2＋4＝0－704【选自教材P32习题2.1第2题】从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．【选自教材P33习题2.1第3题】解：

设竹竿的长为x

尺，则门的宽度为(x－4)尺，长为(x－2)尺，依题意得方程：(x－4)2＋(x－2)2＝x2即：x2－12x

＋20＝0通过这节课的学习活动，你有什么收获？课堂小结只含有一个未知数x

的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0

(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．我们把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式.课堂小结ax2bxc二次项一次项常数项ab二次项系数一次项系数第二章一元二次方程1认识一元二次方程初中数学北师大版九年级上册第2课时一元二次方程根的估算复习导入1.使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的______.一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化成一般形式是__________________.3.近似数2.36≈_______（精确到十分位）.解2x2–x-7=02.44.一元二次方程有哪些特点？（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次项系数是2；（3）整式方程.5.一元二次方程的一般形式是什么？

ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）复习导入探究新知幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同.8m5m

(8－2x)(5－2x)

=18你能设法估计四周未铺地毯部分的宽度x(m)吗？8m5m

(8－2x)(5－2x)

=18（1）x

有可能小于0吗？说说你的理由x不可能小于0，因为宽度不能为负.x

可能大于4吗？x不可能大于4，(8-2x)表示地毯的长，所以有8-2x>0.8m5m

(8－2x)(5－2x)

=18x

可能大于2.5吗？x不可能大于2.5，(5-2x)表示地毯的宽，所以有5-2x>0.（2）你能确定x的大致范围吗？0<x<2.5

(8－2x)(5－2x)

=18（3）填写下表：x0.511.52(8-2x)(5-2x)2818104（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴进行交流.所求宽度为x=1m.如图，一个长为10

m

的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8

m．如果梯子的顶端下滑1

m，那么梯子的底端滑动多少米？72＋(x＋6)2

＝102化为一般形式x2

＋12x－15

＝0（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗？为什么？10m8m不正确，因为x=1时，方程左边不等于0x2

＋12x－15

＝0（2）底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？不可能是2，因为x=2时，方程左边不等于0.不可能是3，因为x=3时，方程左边不等于0.（3）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（4）x

的整数部分是几？十分位是几？x2

＋12x－15

＝0填写下表你能发现x

的大致范围吗？x00.511.52x2+12x-15-15-8.75-25.2513通过观察发现，若想使代数式的值为

0，那么

x

的取值应在

1

和1.5之间。所以1<x<1.5x2

＋12x－15

＝0进一步计算：x1.11.21.31.4x2+12x-15-0.590.842.293.76所以1.1＜x＜1.2因此x的整数部分是1，十分位是1。达标检测五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方.您能求出这五个整数分别是多少吗？【选自教材P34随堂练习】解:设第一个整数为x．x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2．3x2＋6x＋5＝2x2＋14x＋25．x2－8x－20＝0．根据列表求值估算，解得x1＝10，x2＝－2．所以，这五个整数分别是10,11,12,13,14或－2,－1,0,1,2.一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m.苗固的长和宽各是多少？解:设苗圃宽为xm．x(x＋2)＝120．