陕西省榆林市府谷县府谷中学、府谷一中2024-2025学年高二上学期第一次质量调研检测数学试卷

府谷中学、府谷一中高二年级第一次质量调研检测卷数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米，黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章一第二章第2节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．2．已知空间向量，则（）A．0 B．1 C．2 D．33．在四棱柱中，若，点为与的交点，则（）A． B． C． D．4．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（）A．1 B．2 C． D．5．已知为实数，直线，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知空间中三点，则以为邻边的平行四边形的面积为（）A． B． C．3 D．7．已知，则点到平面的距离为（）A． B． C． D．8．在正三棱锥中，，点分别是棱的中点，则（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．如图，直线的斜率分别为，倾斜角分别为，，则下列选项正确的是（）A． B． C． D．10．在正方体中，能构成空间的一个基底的一组向量为（）A． B． C． D．11．在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（）A．当时，点在棱上B．当时，点到平面的距离为定值C．当时，点在以的中点为端点的线段上D．当时，平面三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知直线过点，且在轴上的截距是在轴上截距的2倍，则直线的方程为_________．13．在空间直角坐标系中，已知，则三棱锥的体积为_________．14．在校长为4的正方体中，点分别为棱的中点，分别为线段上的动点（不包括端点），且，则线段的长度的最小值为_________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（本小题满分13分）如图，正方体的棱长为2．（1）用空间向量方法证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．16．（本小题满分15分）已知的三个顶点是．（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求的角平分线所在直线的方程．17．（本小题满分15分）如图，已知平行六面体．（1）若，求的长度；（2）若，求与所成角的余弦值．18．（本小题满分17分）如图，四边形是直角梯形，为的中点，是平面外一点，是线段上一点，三棱锥的体积是．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（本小题满分17分）如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，且．（1）求证：四点共面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

府谷中学、府谷一中高二年级第一次质量调研检测卷・数学参考答案、提示及评分细则1．A直线的斜率为，所以其倾斜角为．故选A．2．B．故选B．3．C．故选C．4．A当时，，所以，解得．故选A．5．B易知两直线的斜率存在，当时，则解得，由推不出，充分性不成立；当时，可以推出，必要性成立．故选B．6．D夹角的余弦值为．因此夹角的正弦值为，故以为邻边的平行四边形的面积为．故选D．7．C，设平面的法向量，则即令，则，所以平面的一个法向量为，所以点到平面的距离．故选C．8．D在正三棱锥中，，所以，又，所以．．故选D．9．AD由图可得，所以A，D正确．故选AD．10．AC空间的一组向量可以成为基底的充分必要条件是这组向量不共面．选项A中，直线所在的平面是，而与平面相交，所以不共面，故这组向量可以成为基底，A正确；选项B中，满足，所以这三个向量共面，这组向量不可以成为基底，B错误；选项C中，直线所在的平面是，而与平面相交，所以不共面，这组向量可以成为基底，C正确；选项D中，因为，所以共面，这组向量不可以成为基底，D错误．故选AC．11．BCD当时，，故点在上，故A错误；当时，因，故点在棱上，因为平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确；当时，取的中点的中点，则，即，又，故在线段上，故C正确；当时，点为的中点，连接，因为，易证，从而可得平面，从而可得，又，从而得到平面，故D正确．故选BCD．12．或设在轴上的截距为，则在轴上的截距为，若，则过原点，故的方程为，即；若，则的方程为，所以，所以，所以的方程为，即．综上所述，直线的方程为，或．13．2由题意得，所以的面积为，点都在平面上，点到平面的距离3，所以三棱锥的体积为．14．以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示．所以，设，其中，则．又，所以，所以，又，所以，所以，所以，此时，即线段的长度的最小值为．15．如图，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，2），．所以．（1）证明：设平面的法向量为，由得令，得．因为，所以，又平面，所以平面．（2）解：由（1），得平面的法向量，设直线与平面所成角为，则．所以直线与平面所成角的正弦值为．16．解：（1）设边上的高所在直线的斜率为，直线的斜率，所以，所以，故所求直线方程为，即．（2）由题意得，设分别为与同向的单位向量，则所以，所以的平分线所在直线的斜率为，（或：所以的中点为，故，由等腰三角形的性质知，的平分线所在的直线斜率为，）故所求直线方程为，即．17．解：（1），因为，所以，所以．（2）因为，所以，因为，所以，因为，所以，设与所成的角为，则，即与所成角的余弦值为．18．（1）证明：如图，连接交于点，因为，所以，所以，因为，所以，所以，即．又因为平面，所以平面，又平面，所以．又因为，所以，又平面，所以平面．（2）解：以为原点，所在直线分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示，则设，则，即点，则三棱锥的体积，解得，所以．则，设平面的法向量，由令，得平面的一个法向量，易知，为平面的一个法向量，所以，由图可知二面角是锐二面角，故二面角的余弦值是．19．（1）证明：因为平面平面，所以．因为四边形是正方形，所以，所以两两垂直，则以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．根据题意，得．所以．因为，所以共面，又有公共点