2022年北师大版新教材高中数学必修第一册第二章函数 教学设计

第二章函数

2.1生活中的变量关系............................................................1

2.2函数.........................................................................5

2.2.1函数概念...............................................................5

2.2.2函数的表示法..........................................................11

2.3函数的单调性和最值..........................................................16

2.4函数的奇偶性与简单的鬲函数.................................................26

2.4.1函数的奇偶性..........................................................26

2.4.2简单累函数的图象和性质................................................31

2.1生活中的变量关系

【教材分析】

现实世界充满着变量，一些变量之间存在着依赖关系，函数是揭示变量间依赖关

系的重要的数学概念，它是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥着重要作

用.本节内容主要学生更好的认识到生活处处有数学，只要做个有心人，我们可以随

时随地学习数学

【教学目标与核心素养】

一、教学目标：

1.通过生活中的实际例子，引起学生积极的思考和交流，从而认识到生活中处

处可以遇到变量间的依赖关系.能够利用初中对函数的认识，了解依赖关系与函数关

系的联系与区别。

2.培养学生类比分析问题的能力，并通过对现实生活中依赖关系的观察、分析

归纳和比较来提高学生的实践能力.

二、核心素养

1.数学抽象：初中对函数概念的理解

2.逻辑推理：借助初中所学的变量之间的关系，分析生活中变量的关系，将函

数运用于实际生活中，更能体现数学知识无处不在

3.数学运算：根据变量之间的关系，列出相应函数关系式，从而解决实际问题

4.直观想象：通过有些函数图像的画法，了解什么是分段函数。

5.数学建模:利用函数变量的关系，对于生活中，牵扯到有关变量的实际问题,

我们都可以构建数学模型，更好的解决一些问题。

【教学重点】

在于让学生领悟生活中处处有变量，变量之间充满了关系

【教学难点】

依赖关系和函数关系的差别

【教学准备】

PPT

【教学过程】

1.知识探究：

例1：图2-1是某高速公路加油站的图片，加油站在地下常用圆柱体储油罐储存

汽油等燃料.储油罐的长度d、截面半径r是常量，油面高度h,油面宽度w、储汕

量V是变量.

思考：V,h,w之间是否具有关系

结论：

储油量V与油面高度h存在着依赖关系，也与油面宽度w存在着依赖关

对于油面高度h的每一个取值，都有唯一的储油量V和它对应.但是，取一个油

面宽度w的值，却对应着两个储汕量V

例2自2008年京津城际列车开通运营以来，高速铁路在中国大陆迅猛发展.截

至2017年年底，中国高铁运营里程突破25000km.图2-2表示的是中国高铁年运

营里程的变化.

里悭/km

25000

25000

22)00

2000019000

I64S6

15000

1102s

100009356*

6601

5133

5000

2699

672

01~—

2008200920102011201220132014201520162017年伤

图2・2

思考：高铁运营里程与年份的关系

结论：

观察图2-2,不难看出：

(1)随着时间的变化，高铁运营里程在变化，它与年份存在着依赖关系；

(2)从2008年到2017年，高铁年运营里程是不断增加的，与前一年相比，2014

年增长得最多

同学回顾初中如何定义函数概念：

有两个变量x和y,对于变量x的每一个值,变量y都有唯一确定的值和它对应，

那么y就是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.

函数概念中需注意：

凡是要确定两个变量具有函数关系，就要判断“对于变量x的每一个值，变量y

都有唯一确定的值和它对应”.

同学思考：

例1中，V与h是否具有函数关系；V与w是否具有函数关系

例3弹簧的伸长量x与弹力y满足函数关系y=其中k为劲度系数.对于变

量“伸长量”的每一个值，变量"弹力”都有唯一确定的值和它对应，弹力y是伸长

量x的函数.

例4表2-1记录了几个不同气压下水的沸点：

气压/(laPa.0.5d1.OQ2.0-5.0-10。

沸点/°a82d100。121P152/180^

表2-1

对于变量“气压”的每一个值，变量“沸点”都有唯一确定的值和它对应，沸点

是气压的函数.

例5绿化可以改变小环境气侯.某市有甲、乙两个气温观测点，观测点甲的绿化

优于观测点乙，图2-3是这两个观测点某一天的气温曲线图.为了方便比较，将两条

曲线画在了同一直角坐标系中.每一条曲线都表示了一个函数关系，反映的都是对于

“时间”的每一个值,都有唯一确定的“气温”值和它对应.

例6国内某快递公司邮寄普通货物限重30kg,从A城市到B城市的快递资费标

准是:质量1kg及以下收费12元，以后质量每增加1kg收费增加8元，质量不足1

kg按1kg计算请写出邮件的质量6kg与邮资M元的函数解析式并画出局部图象.

解依题意知邮件的质量6kg与邮资M元的函数解析式为

M一|28.2<m<3.

l244.29Ow<30.

该函数的局部图象如图2I.

v/jfcj

44

36

2S.

20-------

形如上述的函数，一般叫作分段函数.

生活中存在着许许多多的函数关系,正是函数概念中的关键词“每一个”“唯

一”“对应”恰当地反映了事物特征.

【课堂探讨】

1.举出生活中具有函数关系的一些实例

2.找出一个生活实例，说明两个变量之间存在依赖关系，但不是函数关系

【教学反思】

1,判断量与量之间的关系：是函数关系还是依赖关系

2.函数关系理解：每一个自变量有惟一确定因变量的值

2.2函数

2.2.1函数概念

【教材分析】

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之

间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的

思想.

【教学目标】

1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，

在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的

作用：

2.会求一些简单函数的定义域和值域；

3.能够正确表示某些函数的定义域；

【核心素养】

1.数学抽象：借助集合语言，抽象的概述函数的概念

2.逻辑推理：根据初中的函数概念，掌握函数变量之间的基本特性，从而引导

学生用高中集合的语言对函数的概念重新定义。

3.数学运算：求函数的定义域；会判断两个函数是否为同一函数：求函数值

4.直观想象：对于函数的定义域，可以直观理解为是满足函数有意义的所有自

变量组成的集合。

5.数学建模:通过对函数的重新定义，让学生了解到如何借助集合的语言可以抽

象的概述出函数的定义，这样不仅让学生学会建立数学知识间的关联，也可以将这种

数学思想运用于实践中。

【教学重点】

理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数

【教学难点】

符号=的含义，函数定义域和值域的区间表示

【课前准备】

PPT

【教学过程】

1.知识引入

初中学习了三个重要的函数类型：一次函数》=去+〃、一元二次函数

y=ax2+bx+c,和

反比例函数y=其中k,a,b,c为常数，攵工0,。工0.对于每一个x的取值，

x

都有唯一确

定的y值和它对应，这是函数的基本特征.

2.函数概念抽象概述：

给定实数集R中的两个非空数A和B,如果存在一个对应关系f使对于A中的每

一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就把对应关系f叫作定

义在A上的一个函数，记作尸f(x)其中集合A叫作函数的定义域,x叫作自变量，与

x值对应的y值叫作函数值，集合"(x)|xeA｝叫作函数的值域.

【重点强调】

1.函数是建立在数与数之间的对应关系

2.对应关系指对应的结果，而不是对应过程

3.=是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”

4.函数符号=中的“X)表示与x对应的函数值

【知识扩充】

函数的三要数：定义域，解析式，值域

3.如何判断两个函数是同一函数

方法：1.判断两个函数定义域是否相同;2.判断两个函数解析式是否一样

同时满足以上两个条件，即为同意函数

例1下列各组中的两个函数是否为同一个函数？

(1)/(X)=V?,g(X)=(五月

(2)(2)/(x)=x2,g(x)=(x+l)2

x2-\

(3)f(x)=----,g(x)=x-l

x+1

⑷/(x)=x+-,g(t)=t+-

Xt

解(1)因为的定义域是R,g(x)的定义域是[0,+8),两个函数的定义域不同,

所以不是同一个函数；

(2)因为两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数；

(3)因为/(X)的定义域是-1},g(x)的定义域是R,两个函数的定义域不

同，所不是同一个函数；

(4)/(口和g(z)虽然表示自变量的字母不同，但它们的定义域及对应关系都相

同，所以是同一个函数.

例2求下列函数的定义域：

(1)y=2x+3+---

x-1

(2)y=ylx-l+—

X

(3)y=y[x+3+y/-x~3

解⑴为使函数有意义，只需解析式中分式的分母不为零，所以函数

y=2x+3+」一的定义域{x|xwl}

X-]

(3)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，且分式的分母不为0,

即

Jx+3>0___।

,所以y=4^1十一的定义域是{x|xN-3且XHO}

x

(x+3>0

(4)为使函数有意义，只需解析式中的被开方数非负，即(-43之0,所以函

数y=Jx+3+J-x-3的定义域{k|x=-3}={3}

【题型归类】

题型一：函数概念考核：

1.下列从集合M到集合N的对应关系中，其中y是x的函数的是()

A.A/={x|xeZ},N={y\JGZ},对应关系其中y=

B.M={x\xX)txGR),N={y|yeR},对应关系其中y=±2x

C.M={X\XGR},N={y|jGR),对应关系其中y=/

D.M={x\xeR}»N={y|jeR),对应关系/:x—>y,其中y二-

【解析】解:A.M中的一些元素，在N中没有元素对应，比如，x=3时，y=N,

・•・)不是x的函数；

B.”中的任意元素x,在N中有两个元素i2x与之对应，不满足对应的唯一性，

・・・y不是x的函数；

C.满足在M中的任意元素x,在集合M中都有唯一元素X?与之对应，・,・》是x的

函数；

D.M中的元素0,通过y=2在N中没有元素对应，・•・丁不是x的函数.

X

故选：C.

题型二：判断函数是否为同一函数

2.下列各组函数是同一函数的是()

①/(x)=l=g(x)=——1

X

②/⑶二/⑴二必与

③/(x)=x°=g(x)=l

@f(x)=x2-2x-i^g(t)=t2-2t-\

A.①

B.②

C.③

D.④

【解析】解：①中函数的定义域不相同，故不是同一函数,

②函数的值域不相同，不是同一函数，

③函数的定义域不相同，故不是同一函数

④是同一函数，

故选：D.

题型三：求函数定义域

3.函数的定义域为()

x

A.(-00,1]

B.(-oo,0)

C.(-oo,0)u(0,1]

D.(0,1]

【解析】解：要使函数有意义，贝

得11即E且…，

即函数的定义域为(-oo,0)u(0,l]，

故选：C.

4.已知函数的定义域为(0,1),则函数/(l-3x)的定义域是()

C.(-1,1)

D.(0,j

【解析】解：・・・/(2彳-1)的定义域为(0,1),

・•・0<r<l,

A-K2x-l<l,

・•・/(x)的定义域为(-U),

・，・/(I-3x)需满足—1VI—3rQ,解得,

・•・/(I-3x)的定义域为(0,|).

故选：D.

题型四：关于函数值的问题

5.己知函数/(21-4)=/+1,则八2)的值为()

A.5

B.8

C.10

D.16

【解析】解：・・•函数八2%-4)=炉+1,

・•・/⑵=/(2X3-4)=32+1=10.

故选：C.

6.已知函数/(幻=上4,记/(2)+/(3)+/(4)+..+/(10)=〃?

x-1

G)+同+/(;)+…+/向=“,则…=()

A,-9

B.9

C.10

D.-10

【解析】解：・・•函数〃%)=岩,

x-1

-+2

:'/«+/3+X

X-1

--1

X

・・・/⑵+/（3）+/⑷+…+/（10）=%/（；）+/（：）+/（；）+...+｛《）=〃，

.*./«+/?=9x（—1）=—9.

故选：A.

【教学反思】

从具体实例引入了函数的的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相

关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示

集合。

2.2.2函数的表示法

【教材分析】

根据函数的定义，函数有三种最常用的表示法：解析法、列表法、图象法，这三

种表示法在体现函数性质方面各有优势，根据不同情况采用适当的函数表示形式，有

助于深入理解相关函数的性质，养成运用函数知识解决实际问题的习惯。掌握函数三

种形式的相互转换，为进今后学习新的函数（指数函数、对数函数等）的性质做好知

识和方法准备。

【教学目标与核心素养】

1.知识目标：掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；灵活运用函

数的三种表示法研究函数的性质；熟练作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝

对值函数等）的图象；掌握函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。

2.核心素养目标：熟练掌握函数的三种表示法，利用函数图象研究函数性质，

提高学生的数学运算能力和直观想象能力。

【教学重难点】

1.函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法；

2.准确作出部分常见函数（分段函数、取整函数、绝对值函数等）的图象；

3.函数的相关运算、函数解析式的求解方法等。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、知识引入

提到“函数”，同学们立刻想到的是什么？

可能是初中学过的形如“y二E、y=ax+b.y=ax2+bx+c^ff,这些正比例函

数、一次函数、二次函数…等等。这些都是解析式形式的函数。

思考讨论：

如图，是我国最大的水库一一三峡水库上游某个地区年降雨量的统计图，图中表

示了年号与降雨量之间的对应关系，那么它们是不是函数关系呢？能不能用精确的解

析式表示呢？

2nm2001200220032004200620072nM20102ml2OI22OI32OI4

年序

提示：是函数关系，但没有精确的函数解析式。

二、新知识

函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法

将变量的函数关系用代数式表示，是函数表示方法的解析法；用表格给出变量之

间的函数对应关系，是函数表示方法的列表法；用图形给出变量之间的函数对应关系,

是函数表示方法的图象法。

上图分别是用列表法、图象法表示的列车时刻表和成绩变化图。

注意：①函数的三种表示法各有优势.

解析法；变量之间的关系明确，便于精确计算，但不够直观，某些函数无法用解

析式表示；

列表法：变量之间的对应关系直观、明了，不需计算，但数据量有限；

图象法：直观地显示出变量的关系、变化规律和函数的性质，使抽象的函数具体

化，但无法进行精确运算，如求函数定义域、求精确的函数值等。

②灵活运用函数的三种表示法，可以清楚、全面的了解函数的性质.

“描点法”作函数图象的一般步骤：解析式（得到函数定义域等），列表（算出

一些对应值），描点连线（光滑曲线连接）。

③并非所有函数都有解析式，也并非所有函数都能画出图象，如狄利克雷函数:

乙、fL%为有理数，

f（x）=<.

x为无理数.

例3.画出函数y=因的图象.

解：函数的定义域为R,由绝对值的定义，y=画出图象，其图象

I-x,x<0

为第一、二象限的角平分线。

例4.设%是任一实数，[刈表示不超过》的最大整数，如[-3.14]=T、=

[3.14]=3、[0.14]=0等等，我们把函数y=[x]叫作取整函数（高斯函数）。试画出

取整函数y=印的局部图象.

解：根据题意，函数y=团的定义域为R,值域为Z.

-2,?xe--I

-1,?XG[-)

y=[']="0,?XG[)(

1,?xe[)1

2,?xe[)7

思考讨论(综合练习)

(1)根据条件，求函数解析式/a).

①f(x+1)二/一3工+2；

②/(五-2)=21+3;

③小

④已知/(x)是一元二次函数，且满足f(0)=0;/(X+1)=/(X)4-X4-1.

(2)若函数=f一21+4的定义域为［0,团，值域为［3,4］,求实数m的取值

范围.

提示：(1)①设x+l=r,Mx=r-1,W/(r)=(r-l)2-3(/-l)+2=r2-5r+6

所以/(x)=x2-5x+6；

②设yfx-2=ti贝lj/N-2,得x=(r+2)2,

则/(1)=2(r+2)2+3=2r2+8;+ll(r>-2)

所以〃X)=2X2+8X+11&N-)；

③由均值不等式，x+—>2>/fx+—l=x2+-y=(x+—)2-2,

所以f(x)=炉-2(|H>2)；

2

@iSf(x)=ax+bx+ct由"0)=0,则。=0,即/'(x)=&+bx

又/(x+l)=/(x)+x+l,BPHx+D?+b(x+1)=ax2+bx+x+\

^ar2+(2a+/?)x+(a+b)=ar2+(Z>+1)x+\

则产+了+1,解得"2

a+b=1,1

1^=2

所以=

(2)作出一元二次函数，(幻=炉-2工+4的图象.

抛物线对称轴x=l,函数的最小值/(I)=3,如图

所以实数m的取值范围\<m<2.

三、课堂练习

教材P55,练习1、2、3、4、5.

四、课后作业

教材P56,习题2-2,A组第3题，B组第2、3、4题.

【教学反思】

函数的图象法表示，是函数表示中非常重要的一种表示方法，它直观、具体地反

映了函数的性质，弥补了数、式的枯燥与抽象，是“数形结合”思想方法的主要内容

之一，不仅在研究函数中经常使用，在日常生活中用途也非常广泛。

2.3函数的单调性和最值

【第一课时】

【教材分析】

函数的单调性和最值的第一课时，主要学习用数学语言刻画函数的变化趋势（单

诡性的定义）及简单的应用，是学习函数概念后研究的第一个、也是最基本的一个性

质，对于分析函数性质、求函数最值、比较大小、解不等式、函数零点的判定以及其

他函数综合问题等，都有重要的应用，掌握函数单调性的定义和应用，为学习累函数、

指数函数、对数函数，包括导函数等做好准备。

【教学目标与核心素养】

1.知识目标：利用图象判断函数的单调性、寻找函数的单调区间；掌握函数的

单调性的定义，用定义证明函数的单调性，及作差结果符号的判断方法；熟悉常见函

数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。

2.核心素养目标：通过函数单调性的概念的学习和简单的应用，体会数形结合、

分类讨论等基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。

【教学重难点】

（1）利用函数的图象判断单调性、寻找函数单调区间；

（2）函数的单调性的定义，用定义证明函数的单调性的方法，及作差结果符号

的判断方法；

（3）常见函数（绝对值函数、二次函数、分段函数等）的单调性及简单应用。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、知识引入

初中学习了一次函数）=丘的图象和性质，当AX）时，直线是向右上，即函数

值y随X的增大而增大，当&vo时，直线向右下，即函数值）'随X的增大而减小。同样

二次函数、反比例函数等，也有类似的性质。

思考讨论:

（1）如图，是某位同学从高一到高三上学期的考试成绩的统计图，从图中，你

可以得出该同学成绩是怎样变化的呢？

4

7

10口

16

19

22»

28”

34

37

40

提示：高一时成绩在下降，高一下期期末降到最低名次32名，以后各次考试成

绩逐步提高，到高三上期时已经进入前五名。

（2）如图，是函数的图象，说出在各个区间函数值/□）随x的

值的变化情况。

提示：在区间［-6，-5］、［-2刀、［3,4.5］、［7,8］上，函数值八"）都是随x的值的增大而

增大；

在区间［-5,-2］、［1,3］、［4.5,7］、［8,9］上，函数值f（x）都是随x的值的增大而减小。

二、新知识

一般地，在函数y=/（x）定义域内的一个区间A上。

如果对于任意的石，当再V/时，都有〃N）＜/（面），那么就称函数

y=在区间A上是增函数或递增的；

如果对于任意的匹，再£A,当玉V电时，都有了（M）》（再），那么就称函数

y=AM在区间A上是减函数或递减的。

注意；

①函数y=/（x）在区间A上是增函数（减函数），那么就称函数在区间A上是单

调函数，或称在区间A上具有单调性，区间4称为函数y=单调区间。

如：一元二次函数/（'）=/在区间［0,田）上是单调增函数（单调递增），区间

四”）是函数/（"）=炉的单调增区间；

②增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的；

③“函数在区间A上单增”与“函数的单增区间是A”两种叙述含义是不同的。

如：函数/（%）二/一2"-1的单调递增区间为⑵go）,则对称轴a=2；

函数〃））=炉-2aLi在区间［2,w）上单调递增，则对称轴心2。

④函数［的定义域为（—，°）。9E），由函数图象可知，在两个区间上函数

都是单调递减的，但不能说成“函数在定义域内递减”或“函数的单调递减区间是

（YO,0）D（0,E）”，而只能说“函数在区间（口，⑺和区间（0，”）上都是递减的”。

例1.设"“>nJ—。），画出函数/（”+3）（=-3）的图象，并通过图象直观判

断它的单调性。

解：函数"'+3）=不（—一3）,其图象是函数；的图象向左平移3个单

位得到，如图，该函数在区间（-8，-3）上单调递减。

例2.根据函数图象直观判断y=i、Ti的单调性。

解：函数,=仅-1|={;二;:画出该函数的图象，如图，函数在区间（-81］

上是减函数，在区间【Lx°）上是增函数。

例3.判断函数〃M=-3X+2的单调性，并给出证明.

解：画出函数/（”）=-3X+2的图象，如图，可以看出函数在R上是减函数.

下面用定义证明这一单调性.

任取X,用eR,且处〈42,则内一声＜0

/（国）一/（论）=（-3匹+2）-（一3电+2）=-3（用一死）〉。，即/（%）＞/（%）

所以函数/（2=-3x+2在R上是减函数.

思考讨论（综合练习）

（1）二次函数〃工）=炉+2"+2在区间［1,2］上单调，则实数a的取值范围；

（2）设函数/（"卜47二1一⑪，证明：当。之1时，函数”工）在区间⑼口）上是

减函数；

（3）已知。＞0,函数〃M=是区间口小）上的单调函数，求实数。的取

值范围;

(4)设实数YR,函数在区间[fj+1]上的最小值是g(f),求

g(0并画出y=g⑺的图象。

提示：(1)二次函数/(、)=炉+2"+2,图象抛物线开口向上，对称轴工=-。

函数在区间口，2]上单调，则YW1或TZ之2,所以。的取值范围为。钎2或。之一

(2)设西,%e[0,+8),且再<々

/(^l)-/(^)=(V^l2+l-^l)-(V^22+l-^2)

=Jxj+1-5电？+]-4(石一电)

“3工+厂(…)

二…—加.

因为匹V&,所以用一为v°

________'+__<]二+至y

J-，+1+y]=+1>匹+%,y1炉+1+J%?+1,.2],所以J%?+[++]

⑸X)

即/(匹)>/(工2)

函数”I)在区间O+8)上是减函数

(3)任取否〈电，且匹，电£口,+8)

/(用)-/(工2)=(婷-公1)-(々3-然)=(匹3-电3)一。(匹72)

22

=(X|-Xj)(X1+x2+x1x2-a)

2

x]tx2e[l,+a>),得为2+x2+X|X2>3

根据题意，¥+82+4用一”的符号恒正或恒负，故。<3

所以实数a的取值范围是33].

(4)画出函数〃乃二/一2八-1的图象，如图，抛物线对称轴为x=l

当r+KI时(V。),函数在区间H/+1］上单调递减，

/(X)加=g")=/('+1)二产一2.

9

当/<lK/4-l>1时(OKFG),函数在区间［U+1］上的最小值为

/(虫”=g(r)="l)=—2.■

当时，函数在区间上"+1］上单调递增，/(M*=g(')=")=产—2-1.

(t2-2,t<0

综上，g(t)={-2,0<t<1,画出函数图象如图：

(t2-2t-1,t>1

三、课堂练习

教材P60,练习1、2、3o

四、课后作业

教材P62,习题2-3：A组第1、2、3、4题。

【教学反思】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它反映了函数的变化趋势，通过函数图象,

可以直观、定性地进行初步判断，要精确地判断函数的单调性，还是要根据定义证明，

今后还要学习其他方法(导数等〕判断函数的单调性。

在函数的很多问题中(求值域、求极值等)都要用到函数的单调性。

【第二课时】

【教学分析】

上一节，同学们己经可以利用函数图象判断函数的单调性，学习了函数单调性的

定义以及用定义证明函数的单调性、找出函数单调区间，本节课在此基础上继续学习

复杂函数(双曲函数、分式函数、复合函数等)单调性的分析和证明，达到熟练运用

函数单调性，解决有关函数性质的综合问题。

【教学目标与核心素养】

(1)知识目标：

利用函数的单调性定义证明函数的单调性；复杂函数(双曲函数、分式函数、复

合函数等)单调性的分析和证明；熟练利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综

合问题。

(2)核心素养目标：

通过函数单调性的应用，体会数形结合、分类讨论等基本的数学思想方法，提高

学生的数学运算和直观想象能力。

【教学重难点】

1.利用定义证明函数的单调性；

2.复杂函数(双曲函数、分式函数、复合函数等)单调性的分析和证明；

3.利用函数的单调性解决函数、不等式等函数综合问题。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

思考讨论：

(1)增函数和减函数的定义是什么？

提示：在函数y=/(%)定义域内的一个区间力上，如果对于任意的W4，当

V%2时，都有/(%i)，就称函数y=/(%)在区间4上是增函数；如果都

有/(/)(X2)，就称函数y=/0)在区间A上是减函数。

(2)如果有两个函数y=/(%)和、=g(%),在同一个区间/上都是单增(单减)

函数，那么函数y=/(%)+g(%)的具有怎样的单调性？能不能判断函数y=/(%)-

g(%)的单调性呢？

提示：函数、=/0)+9(切也是单增(单减)函数，函数)，=/(%)-g(%)的单

调性不确定。

例4.判断函数f(%)=正的单调性，并给出证明.

下面给出证明：

设%1，%2€［°，+8)，且％1<%2，则%2Vo

/Q1)一/(%2)=后-伍=/黑，•・,后十怎>0,.,・/(%1)

一/3)<o

即/(%1)<f(%2)，所以函数f(%)=4在定义域。+8)上是增函数.

例5.试用定义证明：函数/&)=%+：在区间(0,1］上是减函数，在区间［1,+8)

上是增函数.

解：设W(0,1］，且%1V%2,则2Vo

)_/3)=&+9_&+£)=-然=—(i-

1\(X1X2-1)

#1犬2/xlx2

\,xltx2E(0,1］，.*.0<xrx2<1,xxx2-1<0,又％i—不<o

/(%)-f(%2)>0，即函数/(%)=X+1在区间(0,1］上是减函数.

同理可证，函数/(%)=%+：在区间［1,+8)上是增函数.

注意：

①函数y=x+；在区间(0,1］上是减函数，在区间口,+8)上是增函数.

在区间(0,+8)上，由函数的单调性或由均值不等式工+工22,可得当％=1时,

X

函数y=%+1取得最小值2,同理也可以得到XE(-8,0)时函数的单调性。画出该函

数的图象，如图，该函数又叫双曲函数.

形如/(%)=«%+：(a>0,Z?>0)的函数，在区间(0,+8)上也具有类似的性

质，根据均值不等式，可得当x=Jj时，函数取得最小值2面，函数在区间(0小

上是减函数，在区间［电,+8)上是增函数；

②设y足”的函数、=fQ),讥是％的函数a=g(x),其中函数a=g(x)的值

域是函数y=/(〃)的定义域或子集，则函数y=/(g(%))称为函数y=/(〃)与函数

u=g(x)的复合函数。

复合函数单调性常采用分层分析的方法：

如：函数y=+1,令〃=/+1,则y=向

2

当工€(—oo,0)时，x7,u=x+1\fy=y/u\,所以函数y=在x6

(-00,0)时单减，

当％W(0,+oo)时，x7,u=x2+17,y=y［u7,所以函数y=Yx?+1在％w

(-oo,0)时单增，

其中代表增大，代表减小.

③有些函数问题中(如求值域、求最值等)，如果要用到函数的单调性，而又不

需证明，可以通过分析的方法，得到函数的单调性.

如：求函数/(%)=上?在区间［2,3］上的最值.

X—1

/)=3=热土=一2--，

/、/X-lx-lX-1

当％W［2,3］时，随着-^7,所以函数/(%)/,即函数单增.

所以/Onin=/⑵=-3,fMmax=/(3)=

思考讨论(综合练习)

(1)如果函数/(%)=%?+加+c,对任意实数%都有/'(2+久)=f(2-,

试比较〃一3)、/(2)、/(3)的大小；

(2)函数/(%)=［2：+在R上单调递增，求实数Q的取值范围

/tax+a-lx>0

(3)求函数y=R3-2%一公的单调区间;

(4)已知定义在区间(0,+8)上的函数f(%),满足：i)对任意居y€(0,+8),

都有f(%y)=/(%)+f(y)；ii)当0<%v1时，/(%)>0.

①判断并证明f(%)在区间(0,+8)上的单调性；

②解关于a的不等式/(I-2Q)-f(4-a2)>0.

提示：(1)根据题意，对任意实数%都有f(2+%)=/(2-x),则二次函数图

象的对称轴为％=2,抛物线开口向上，所以离对称轴距离越远的自变量，对应的函

数值越大，所以f(-3)>/(3)>f⑵.

(2)函数在R上单调递增，则在％>0时单增，且在分界点％=0处，右侧函数值

不小于左侧函数值，即a>0且Q-121,得Q22,所以实数Q的取值范围为a22.

(3)函数有意义，则3-2%-720,得一34x41,所以函数定义域为［一3,1］

设〃=3-2%-7,函数对称轴为工二-1,y=Vu

当xW［-3,-1］时，x7,u7,y=Vu7,函数的递增区间为［一3,-1］；

当xW|-l,l］时，x7,u\,y=Vu函数的递减区间为

所以，函数的递增区间为递减区间为［—1,1］.

(4)①：设X］,X2E(0,+8),且X1VX2

f(Xx)-f(X2)=fg-x2)-f(x2)=喧)+f(x2)-f(x2)=fg).

因X1VX2，故0V券■<!■,得，(打>0

f(Xi)-f(x2)>0,函数在区间(0,+8)上单减.

②不等式f(l-2a)-f(4-a2)>0即f(l-2a)>f(4-a2)

1-2a>0

由函数的定义域和单调递减，得4-a2>0,解得一1<aVa

.1—2a<4—a"

三、课堂练习

教材P62,练习1、2、3.

四、课后作业

教材P62,习题2-3：A组第5题，B组第1、2、3、4题.

【教学反思】

函数的单调性是函数的一个重要性质，有关函数的很多问题中，均以函数的单调

性为基础，比如求函数的值域、求函数的极值等等，大家在掌握定义法证明函数单调

性同时，也要掌握分析函数单调性的方法。

2.4函数的奇偶性与简单的骞函数

2.4.1函数的奇偶性

【教材分析】

函数奇偶性是函数的又一个重要性质，是函数概念的拓展和深化，奇偶性充分体现了函数图

象在研究函数性质的重要性，渗透了探索发现、数形结合、归纳转化等数学思想方法。奇偶性的

教学在知识和能力方面对学生的教育起着非常重要的作用，是后续学习暴出数、指数函数、对数

函数、三角函数等基本初等函数的基础。因此，在函数的学习中，本节课起着承上启下的重要作

用。

【教学目标与核心素养】

i.知识目标：理解、掌握函数奇偶性的概念、图象特征和性质；能够根据定义和图象判断

简单函数的奇偶性；能够应用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。

2.核心素养目标：通过函数奇偶性概念的学习和简单的应用，体会数形结合、归纳转化等

基本的数学思想方法，提高学生的数学运算和直观想象能力。

【教学重难点】

1.函数奇偶性的概念、图象特征和性质；

2.根据定义和图象判断简单函数的奇偶性；

3.用定义证明和解决与函数的奇偶性有关的问题。

【课前准备】

多媒体课件

【教学过程】

一、知识引入

在日常生活中，我们经常会看到一些具有对称性的图片，如美丽的蝴蝶、精彩的剪纸等等。

思考讨论：

（1）上列各图，分别是怎样的对称图形？

提示：第1、2图为轴对称图形，第3、4图为中心对称图形.

（2）在我们学习的函数中，有些函数的图象也具有对称性，请举出几个这样的函数;

提示：一元二次函数图象（轴对称）、反比例函数图象（中心对称）等等.

例1.画出函数/（%）=/的图象，并观察它的对称性.

解：先列表，然后描点、连线，得到函数图象如图

(3)上例函数的图象是关于原点中心对称的，你能说出函数解析式是怎样体现这个性质的

吗？

提示：对于定义域中任一个自变量的取值%0,都有函数值f(-%0)=-/夕0>.

二、新知识

一般地，设函数y=/(》)定义域为4

如果当xw4时，有一％w4,且f(-幻=一/(x),那么就称函数y=f(x)为奇函数；

如果当％64时,有一“€4且/•(-%)=/'(x),那么就称函数y=/(%)为偶函数。

如：函数/(幻=%2、/(外=：等等

注意：

①当函数y=f(x)是奇函数或偶函数时，称函数f(x)具有奇偶性。

奇函数图象关于原点中心对称，反之亦然；

偶函数图象关于y轴对称,反之亦然。

②函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称；

③若奇函数y=/(%)是在％=0处有定义，则有f(0)=0；

④如果已知了一个函数的奇偶性，那么在研究它的性质时，可以先研究其在非负区间

[O.+oo；上的性质，然后利用对称性可得在y轴另•一侧函数的性质.

例2.根据定义，判断下列函数的奇偶性：

(1)fix)="2xs；

(2)g(x)=x4+2；

(3)h(x)=专;

⑷m(x)

解：(1)函数/(%)=-2必定义域为凡对任意％6R,有

/(-x)=-2(-x)5=2x5,-/(x)=2x5.

得/■(—£)=—/•(3)，所以函数为有函数.

(2)函数g(%)=/+2定义域为R,对任意有

g(-x)=(-x)4+2=%4+2,得g(r)=g(x),

所以函数为偶函数.

(3)函数九(%)=妥定义域为{木工0},对任意％e{X|黑工0},有

九(一%)=-z=&得九(一%)=八(%)，

(-X)x

所以函数为偶函数.

(4)函数加(幻=会定义域为｛XX工-2｝,定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数

也不是偶函数.

思考讨论(综合练习)

(1)根据定义，判断下列函数的奇偶性:

®/(x)=V1-x2+y/x2—1

(x2+xX<0

l-x2+x%>0

③/(%)

|x+2|-2

Vxz4-1+X-1

®fMVx2+l+x+l

(2)已知函数/(%)是定义在R上的奇函数，且当％>0时，/(x)=-x2+2x+1.

①求函数f(%)的解析式；

②若函数在(-1,。-2)上单调递增，求实数Q的取值范围.

提示：(1)①函数有意义，则£二：：；，即定义域为LU｝，有/(公=0，

此时既有/•(-%)=-/«,又有八一为=/(x)

所以函数既是奇函数又是偶函数.

②函数定义域为R,/(0)=0

若%>0,则一％V0,

有/(r)=(-X)2+(-x)=x2-x,-fW=x2-x,W/(-x)=-f(x)

若x<0,则一x>0,

有f(r)=-(-x)2+(-x)=-x2-x,-/(x)=-x2-x,仍有/'(r)=-/(x)

所以函数为奇函数.

③函数有意义，则[[即定义域为[-1,0)U(0,1],函数即为/•(%)=三三

\\X十Z|—ZHUx

易得;•(-%)=-/(X)

所以函数为奇函数.

④函数定义域为R,对任意XWR,有

「/、了/、Vx2+1-X-1Jx2+1+x-1-2A+2x八

f(-x)+f(x)=-----------+,---------------=-.----------------------------------------------=0

dX2+1—X+1x/x2+1+X+1(Vx2+1-x+1)G/%2+1+x+1)

W/(-x)=-fW

所以函数为奇函数.

(2)①函数/(幻是定义在R上的奇函数，设%V0,则一%>0

/(—x)=—(—x)24-2(—x)+1=-X2—2%+1.

又函数为奇函数，/(-x)=-/(%),上式即为2%+1

得f(%)=x2+2x-l

(-x2+2x+lx>0

所以函数/'(%)=]Ox=0

(x24-2x-1%<0

②函数在(-1,。-2)上单调递增，画出函数图象，如图

则忆短j解得IV—3

所以实数a的取值范围为1VaW3.

注意：

①奇偶性的定义是判断函数奇偶性的基本方法，某些函数，如果不易直接看出/(-幻与外幻的

关系，可以通过验证人一切+/(幻=。或/(一切一/(幻=0来判断函数的奇偶性；

②奇函数如果在工