三角形的五心-2025届高三数学一轮复习

平面几何是培养严密推理能力的很好数学分支，且因其证法多种多样：除了几何证法外，还有三角函数法、解析法、复数法、向量法等许多证法，这方面的问题受到各种竞赛的青睐，现在每一届的联赛的第二试都有一道几何题.平面几何的知识竞赛要求：三角形的边角不等关系;面积及等积变换;三角形的心（内心、外心、垂心、重心、旁心）及其性质;四个重要定理;几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点,到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心,三角形内到三边距离之积最大的点-----重心;简单的等周问题。平面几何中的知识点《高中数学竞赛大纲》中平面几何的要求几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理．三角形中的几个特殊点：旁心、费马点，欧拉线．几何不等式．几何极值问题．几何中的变换：对称、平移、旋转．圆的幂和根轴．面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法．三角形的五心（一）——三角形的外心、重心、垂心、内心及旁心，统称为三角形的五心旁心：旁切圆的圆心，是三角形一个内角的角平分线和另外两个内角的外角平分线的交点1、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.OABC圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。若A,B,C三点不共线，P点与A,B,C的三点距离相等，则P点为三角形ABC的外心1、外心.三角形外接圆的圆心，简称外心.与外心关系密切的有圆心角定理和圆周角定理.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。推论1：在同一弧或等弧所对的圆周角中，它们的角度相等；在同一圆或等圆中，对应的圆周角相等，则其所对的弧亦相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角为直角，而90°的圆周角所对的弦为直径。推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，则该三角形为直角三角形，并且D是该三角形的外接圆圆心，DC=DA=DB。折叠例1过等腰△ABC底边BC上一点P引PM∥CA交AB于M；引PN∥BA交AC于N.作点P关于MN的对称点P1.试证：P1点在△ABC外接圆上.例2.A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC，△OCA的外心.求证：O，O1，O2，O3四点共圆.判定“四点共圆”的方法:（1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆；（3）圆的割线定理成立，则四点共圆；（4）相交弦定理的逆定理成立，则四点共圆；（5）托勒密定理的逆定理成立，则四点共圆（6）西姆松定理逆定理成立，则四点共圆“四点共圆”概念：点对圆的幂已知圆O，如果点P在圆O外，过P点作圆O的割线，它与圆O交于A,B两点：切割线定理：切割线定理是指从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的等比中项逆定理：共端点P但不共线的两条射线，其中一条上有两点A,B，另一条上有一点C，若满足,则ABC和射线PC相切于C

用于证明圆与直线相切概念：点对圆的幂割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离之积相等即：过P点另作一条圆的割线A1B1，由切割线定理，有：逆定理：共端点P但不共线的两条射线上有两点A,B和C,D，若满足则A,B,C,D四点共圆若P点在圆O内，则有：

概念：点对圆的幂相交弦定理：经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。逆定理：两条线段AB，CD交于P点，若，则A,B,C,D四点共圆结论：点P无论在圆O外还是在圆O内，过P点作圆O的割线，也无论它与圆O如何相交，始终为常数，我们把该常数叫做点P对

的幂，记作：概念：点对圆的幂考虑特殊的割线（过圆心的割线EF）即：P在圆外，P在圆上，P在圆内，圆幂定理：相交弦定理、切割线定理、割线定理例3.如图，已知的弦AB，CD相交于点P，PA=4,PB=3,PC=6,EA切于点A，AE与CD的延长线交于点E，EA=，求PE的长例4.过三角形ABC的顶点A的直线，与其旁切圆交于PQ两点，T为切点，求证：AP+AQ>C△ABC弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧对应的圆周角度数。顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角例5：AB为半圆O的直径，其弦AF、BE相交于Q，过E、F分别作半圆的切线得交点P，求证：PQ⊥AB.辅助线：连接AE，BF，EF，延长PQ交AB于H；延长EP于K点，使得PK=EP，连接KF2、重心

三角形三条中线的交点，叫做三角形的重心，记为G.(1)顶点与重心G的连线(中线)必平分对边.(2)重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍.3.垂心

三角形三条高的交点，称为三角形的垂心

可以用来证明线线垂直问题