2025届高考数学基础总复习提升之专题突破详解专题24直线方程含解析

PAGEPAGE1专题24直线方程一．【学习目标】1.理解直线的倾斜角、斜率、截距等概念，驾驭直线的斜率计算公式.2.驾驭直线方程的点斜式、两点式和一般式方程，了解直线方程的斜截式和截距式，能依据已知条件，选择恰当形式娴熟地求出直线的方程.3.了解斜截式与一次函数的关系.4.驾驭两直线平行、垂直、相交的条件，能敏捷运用点到直线的距离公式及两直线平行、垂直的条件解决有关问题.5.驾驭中心对称、轴对称等问题的几何特征和求解的基本方法.并能利用图形的对称性解决有关问题.二．【方法规律总结】1.直线的倾斜角、斜率及直线在坐标轴上的截距是刻画直线位置状态的基本量，应正确理解.(1)要擅长结合图形进行倾斜角与斜率间的相互转化.①由倾斜角α探究斜率k须分α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))和α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两类探讨.②由斜率k探究倾斜角须分k≥0和k<0两类探讨.(2)“截距”与“距离”是两个不同的概念.2.因为确立一条直线需两个独立的条件，所以直线方程也须要两个独立条件，其方法一般有两种：(1)干脆法：干脆选用直线方程的四种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式)，写出适当的直线方程.(2)待定系数法：先由直线满意的一个条件设出直线方程，方程中含有一待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数，最终将求得的系数代入所设方程，即得所求直线方程，概括起来三句话：设方程，求系数，代入.3.由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在详细求直线方程时，可能产生遗漏状况，尤其是选择点斜式、斜截式时肯定要留意斜率不存在的状况.选择截距式时，留意截距为零的状况.4.推断两条直线平行或垂直时，不要遗忘考虑两条直线中有一条或两条直线均无斜率的情形.在两条直线斜率都存在的条件下，才有l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2与l1⊥l2⇔k1k2＝－1.5.在运用公式d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))求平行直线间的距离时，肯定要留意两直线的x，y项系数对应相等.6.求对称点的步骤：(1)设点——设对称点为(x，y)；(2)列式——利用中点公式(中心对称状况)或垂直、平分的条件(轴对称情形)来列关于x，y的方程组；(3)求解——解所列方程组，求到的解就是所求对称点的坐标.7.求对称曲线的步骤：(1)设点——设所求曲线上的点为P(x，y)；(2)求点——求出P点的对称点为Q(x′，y′)，即用x，y来表示x′，y′；(3)代入——将Q点坐标代入已知曲线的方程，所得的x，y的关系式就是所求对称曲线的方程.留意记住几种特殊的对称性结论：①对称中心是特殊点(如原点)；②对称轴是特殊直线(如x轴，y轴，y＝x＋b，y＝－x＋b等直线)，求对称点和对称曲线可采纳代入法干脆求解.三．高考命题类型及解题方法1.直线的倾斜角例题1．直线3x+3y+7=0的倾斜角为A.B.C.D.【答案】D【解析】直线3x+3y+7=0的斜率故选D.练习1．直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的倾斜角为（）A.30°B.45°C.120°D.135°【答案】D2．下列说法正确的是（）A.截距相等的直线都可以用方程表示B.方程不能表示平行轴的直线C.经过点，倾斜角为的直线方程为D.经过两点，的直线方程为【答案】D【解析】A错误，比如过原点的直线，横纵截距均为0，这时就不能有选项中的式子表示；B当m=0时，表示的就是和y轴平行的直线，故选项不对。C不正确，当直线的倾斜角为90度时，正切值无意义，因此不能表示。故不正确。D依据直线的两点式得到斜率为，再代入一个点得到方程为：。故答案为：D。3.若直线的倾斜角为，则__________．【答案】2.直线过定点例2.无论取何值，直线必过定点__________．【答案】【解析】直线（λ+2）x﹣（λ﹣1）y+6λ+3=0，即（2x+y+3）+λ（x﹣y+6）=0，由求得x=﹣3，y=3，可得直线经过定点（﹣3，3）．故答案为（﹣3，3）．练习1.直线，当改变时，全部直线都通过定点()A.B.C.D.【答案】C【解析】直线方程整理为，当，解得，不管如何改变，直线都通过点，故选C.2.已知直线（1）求证：直线过定点。（2）求过(1)的定点且垂直于直线直线方程.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：⑴将直线化为，解不等式组即可得证；⑵由（1）知定点为，结合题目条件计算得直线方程解析：（1）依据题意将直线化为的。解得，所以直线过定点。（2）由（1）知定点为，设直线的斜率为k，且直线与垂直，所以，所以直线的方程为。3.两条直线的平行和垂直问题例3.已知直线与直线平行，则的值为__________．【答案】或【解析】若直线与直线平行，则，且，解得：或．练习1．若直线：与直线：相互垂直，则实数的值为__________．【答案】-2【解析】由于两条直线垂直，故.2.已知直线与直线平行，则的值为()A.B.C.1D.【答案】D【解析】由题意可得：，解得故选3．若两平行线与之间的距离是，则（）A.-2B.-1C.0D.1【答案】A4．两条直线，相互垂直，则的值是（）A.3B.-1C.-1或3D.0或3【答案】C【解析】由题意，解得，故选C．5．设，则“a=1”是“直线：与直线：平行”的（）A.充分必要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当时，直线：与直线：，两条直线的斜率都是，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，当两条直线平行时，得到，解得后者不能推出前者，前者是后者的充分不必要条件，故选C.4.对称问题例4.若点关于直线的对称点是，则直线在轴上的截距是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】∵点A（1，1）关于直线y=kx+b的对称点是B（﹣3，3），由中点坐标公式得AB的中点坐标为，代入y=kx+b得①直线AB得斜率为，则k=2.代入①得，．∴直线y=kx+b为，解得：y=4．∴直线y=kx+b在y轴上的截距是4．故选：D．练习1．光线由点P（2，3）射到直线上，反射后过点Q（1，1），则反射光线所在的直线方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】设点关于直线的对称点为，则，解得，即对称点为，则反射光线所在直线方程即：故选2．已知点与关于对称，则点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】设，因为点与关于对称，则，解得，点的坐标为，故选D.3．已知点与直线：，则点关于直线的对称点坐标为A.B.C.D.【答案】C【解析】设关于直线：对称的点为，则，解得，即关于直线：对称的点为.故选C.4.点和关于对称，则__________．【答案】5【解析】由题意，点（1，2）和（﹣1，m）关于kx﹣y+3=0对称，则点（，）在直线kx﹣y+3=0上，可得：，解得m=4．那么：点（1，2）和（﹣1，4）确定的直线的斜率为﹣1与kx﹣y+3=0垂直，故得：k=1则m+k=4+1=5，故答案为：5．【方法总结】轴对称问题可分解为两个基本问题：①中点问题：两点连线段的中点在轴上；②垂直问题：两点连线的斜率与轴所在直线的斜率互为负倒数.5.设直线，，．（1）若直线，，交于同一点，求的值；（2）若直线与直线关于直线对称，求直线的方程【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）先求，交点，再代入即得的值；（2）直线必过，交点，再在直线取一点A，求其关于直线对称点B，则B在直线上，最终依据两点式求直线的方程试题解析：（1）（2）取A（1,0）其关于直线对称点B（x,y）5.最值及范围问题例5.已知椭圆过点，且离心率。（1）求椭圆方程；（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围。【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）由椭圆的离心率可得，依据椭圆过点可得，求得，后可得椭圆的方程．（2）将直线方程代入椭圆方程后整理可得，由得．由根与系数的关系求得弦MN的中点，由此可得直线AG的斜率，依据可得，由此可得，解得，即为所求范围．试题解析：（1）椭圆的离心率，，即；①又椭圆过点，∴，②由①②得，，∴椭圆的方程为．（2）由消去整理得，直线与椭圆交于不同的两点，，整理得……（1）设，弦MN的中点A，则，∴∴，∴点A的坐标为，∴直线AG的斜率为，又直线AG和直线MN垂直，∴，∴，将上式代入（1）式，可得，整理得，解得．∴实数的取值范围为．【方法总结】：圆锥曲线中求最值（范围）问题的方法依据条件建立目标函数，再求这个函数的最值．求解时常从以下几个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是在两个参数之间建立等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．练习1.已知，，动点在轴上，当取最小值时，则点的坐标为__________．【答案】【解析】因为关于轴的对称点为，所以，当为直线与轴的交点时等号成立，即当为直线与轴的交点时取最小值，因为，所以直线的方程为，令可得，所以，故答案为.2．已知直线恒过定点，若点在直线上，则的最小值为________________.【答案】【解析】∵直线方程可整理为∴点∵点在直线上∴∴，当且仅当时取等号故答案为【方法总结】：在利用基本不等式求最值时，要特殊留意“拆、拼、凑”等技巧，使其满意基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必需为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.3.已知椭圆的左、右顶点分别为，为椭圆的右焦点，圆上有一动点，不同于两点，直线与椭圆交于点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意得，．设点的坐标为，则．∴，又且，∴或，故的取值范围为．选D．【方法总结】解决圆锥曲线中的范围问题时，可依据题意将所求范围的量表示为某一个变量的目标函数，然后再依据所得目标函数的特点选择相应的方法求得最值，其中运用基本不等式、利用二次函数求最值的方法在解题时常常用到．四，高考真题演练