2024-2025版高中数学第二章数列2.2.1等差数列素养评价检测含解析新人教A版必修5

PAGE等差数列(20分钟35分)1.一个三角形的三个内角A,B,C的度数成等差数列,则B的度数为()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】选C.因为A,B,C的度数成等差数列,所以2B=A+C,又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°.2.已知等差数列{an}中各项都不相等,a1=2,且a4+a8=QUOTE,则公差d=()A.0 B.QUOTE C.2 D.0或QUOTE【解析】选B.依据题意知d≠0,a4+a8=QUOTE⇒a1+3d+a1+7d=(a1+2d)2.又a1=2,则4+10d=(2+2d)2,解得d=QUOTE或d=0(舍去).【补偿训练】在等差数列{an}中,已知a1=QUOTE,a4+a5=QUOTE,ak=33,则k=()A.50 B.49 C.48 D.47【解析】选A.设等差数列{an}的公差为d,因为a1=QUOTE,a4+a5=QUOTE,所以2a1+7d=QUOTE,解得d=QUOTE,则an=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE,则ak=QUOTE=33,解得k=50.3.下列说法中正确的个数是()(1)若a,b,c成等差数列,则a2,b2,c2肯定成等差数列;(2)若a,b,c成等差数列,则2a,2b,2(3)若a,b,c成等差数列,则ka+2,kb+2,kc+2肯定成等差数列;(4)若a,b,c成等差数列,则QUOTE,QUOTE,QUOTE可能成等差数列.A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【解析】选B.对于(1),取a=1,b=2,c=3⇒a2=1,b2=4,c2=9,(1)错.对于(2),取a=b=c⇒2a=2b=2对于(3),因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b.所以(ka+2)+(kc+2)=k(a+c)+4=2(kb+2),(3)正确;对于(4),取a=b=c≠0⇒QUOTE=QUOTE=QUOTE,(4)正确.4.数列{an}是首项为2,公差为3的等差数列,数列{bn}是首项为-2,公差为4的等差数列.若an=bn,则n的值为()A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选B.an=2+(n-1)×3=3n-1,bn=-2+(n-1)×4=4n-6,令an=bn,得3n-1=4n-6,所以n=5.5.数列{an}是等差数列,且an=an2+n,则实数a=________.

【解析】因为{an}是等差数列,所以an+1-an=常数,所以[a(n+1)2+(n+1)]-(an2+n)=2an+a+1=常数,所以2a=0,所以a=0.答案:06.已知等差数列{an}中满意a1=1,a3=QUOTE-4,(1)求通项公式an;(2)求数列{an}中的最大项与最小项.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d,因为a1=1,a3=QUOTE-4,所以1+2d=(1+d)2-4,解得d=±2.所以an=1±2(n-1)=2n-1或3-2n.(2)an=2n-1时,数列{an}单调递增,n=1时,取得最小值为a1=1,无最大值;an=3-2n时,数列{an}单调递减,n=1时,取得最大值为a1=1,无最小值.【补偿训练】在等差数列{an}中,已知a1=112,a2=116,这个数列在450到600之间共有多少项?【解析】由题意,得d=a2-a1=116-112=4,所以an=a1+(n-1)d=112+4(n-1)=4n+108.令450≤an≤600,解得85.5≤n≤123,又因为n为正整数,故有38项.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设x是a与b的等差中项,x2是a2与-b2的等差中项,则a,b的关系是()A.a=-b B.a=3bC.a=-b或a=3b D.a=b=0【解析】选C.由等差中项的定义知:x=QUOTE,x2=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,即a2-2ab-3b2=0.故a=-b或a=3b.2.已知数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1,公差为2的等差数列,则a3等于()A.9 B.5 C.4 D.2【解析】选A.由题意可得,an-an-1=1+2(n-1)=2n-1,a1=1,故a2=4,a3=9.3.若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为()A.7或-3 B.log37 C.log27 【解析】选C.因为log3(2x+11)-log3(2x-1)=log3(2x-1)-log32,所以QUOTE=QUOTE,即22x-4·2x-21=0,解得2x=7或2x=-3(舍去),所以x=log27.4.等差数列的首项为QUOTE,且从第10项起先为比1大的项,则公差d的取值范围是()A.d>QUOTE B.d<QUOTEC.QUOTE<d<QUOTE D.QUOTE<d≤QUOTE【解析】选D.由题意QUOTE所以QUOTE所以QUOTE<d≤QUOTE.【补偿训练】已知在等差数列{an}中,首项为20,公差是整数,从第8项起先为负项,则公差为()A.-3B.3C.4D.-4【解析】选A.因为等差数列{an}中,首项为20,公差是整数,从第8项起先为负项,所以a1=20,且a7=a1+6d≥0,a8=a1+7d<0,所以20+6d≥0,且20+7d<0,解得-QUOTE≤d<-QUOTE,又d为整数,所以d=-3.5.(2024·随州高二检测)有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的依次组成一个新数列,则这个新数列的项数为()A.15 B.16 C.17 D.18【解析】选B.有两个等差数列2,6,10,…,190和2,8,14,…,200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的依次组成一个新数列,则这个新数列{cn}为:2,14,26,….首项c1=2,公差d=12.所以cn=2+12(n-1)=12n-10.令12n-10≤190,解得n≤16.所以这个新数列的项数为16.二、填空题(每小题5分,共15分)6.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则它的第5项为________.

【解析】设等差数列{an}的公差为d,由x,2x+1,4x+2成等差数列,得2(2x+1)=x+4x+2,解得x=0,所以a1=0,a2=1,公差d=1,故a5=a1+4d=4.答案:47.已知在数列{an}中,a1=1,a2=QUOTE,且QUOTE+QUOTE=QUOTE(n≥2),则an=________.

【解析】因为QUOTE+QUOTE=QUOTE,所以数列QUOTE是等差数列,设其公差为d,则公差d=QUOTE-QUOTE=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE+(n-1)d=1+QUOTE(n-1)=QUOTE.所以an=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】正项数列{an}满意:a1=1,a2=2,2QUOTE=QUOTE+QUOTE(n∈N*,n≥2),则a7=________.

【解析】因为2QUOTE=QUOTE+QUOTE(n∈N*,n≥2),所以数列{QUOTE}是以QUOTE=1为首项,以d=QUOTE-QUOTE=4-1=3为公差的等差数列,所以QUOTE=1+3(n-1)=3n-2,所以an=QUOTE,n≥1.所以a7=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE8.若在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1(d1≠0),若在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2(d2≠0),那么QUOTE=________.

【解析】在x,y两数之间插入3个数,使这5个数成等差数列,其公差为d1,则有x+4d1=y①,在x,y两数之间插入4个数,使这6个数也成等差数列,其公差为d2,则有x+5d2=y②,用①-②可得:4d1=5d2,就有QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题10分,共20分)9.数列{an}是等差数列,a1=f(x+1),a2=0,a3=f(x-1),其中f(x)=x2-4x+2,求数列{an}的通项公式an.【解析】a1=f(x+1)=(x+1)2-4(x+1)+2=x2-2x-1,a3=f(x-1)=(x-1)2-4(x-1)+2=x2-6x+7.因为数列{an}是等差数列,所以2a2=a1+a3,即0=2x2-8x+6,解得x=1或x=3.当x=1时,a1=-2,a2=0,a3=2.由此可求出an=2n-4.当x=3时,a1=2,a2=0,a3=-2.由此可求出an=4-2n.综上所述:当x=1时,an=2n-4,当x=3时,an=4-2n.10.在数列{an}中,an+1=2an+2n,a1=1,设bn=QUOTE.(1)证明:数列{bn}是等差数列.(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)将an+1=2an+2n两边同除以2n,得QUOTE=QUOTE+1,所以bn+1=bn+1,bn+1-bn=1,所以数列{bn}为等差数列,公差为1.(2)因为{bn}的首项b1=QUOTE=1.所以bn=b1+(n-1)d=1+n-1=n,所以QUOTE=n,所以an=n·2n-1,n∈N*.【补偿训练】已知数列{an}满意an+1=QUOTE,且a1=3(n∈N*).(1)证明:数列QUOTE是等差数列;(2)求数列{an}的通项公式.【解析】(1)由QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE+QUOTE,得QUOTE-QUOTE=QUOTE,n∈N*,故数列QUOTE是等差数列.(2)由(1)知QUOTE=QUOTE+(n-1)×QUOTE=QUOTE,所以an=QUOTE,n∈N*.1.我国古代闻名的《周髀算经》中提到:凡八节二十四气,气损益九寸九分六分分之一;冬至晷(guǐ)长一丈三尺五寸,夏至晷长一尺六寸.意思是:一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99QUOTE分;且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.则“立春”时日影长度为()A.953QUOTE分 B.1052QUOTE分C.1151QUOTE分 D.1250QUOTE分【解析】选B.一年有二十四个节气,每相邻两个节气之间的日影长度差为99QUOTE分,且“冬至”时日影长度最大,为1350分;“夏至”时日影长度最小,为160分.从“冬至”到“立春”有:“小寒”和“大寒”,且日影长变短,所以“立春”时日影长度为:1350+QUOTE×3=1052QUOTE(分).2.等差数列{an}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=[an],求b1+b2+…+b10,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0