河南省洛阳市2022-2023学年高一数学上学期期末试题含解析

河南省洛阳市2024-2025学年高一数学上学期期末试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先将集合化简，阴影部分表示，然后求解即可.【详解】因为，得，，图中阴影部分表示,所以得故选：C2.已知，则“函数为偶函数”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】充分性推断：利用偶函数的性质，结合和差角正弦公式求；必要性推断：应用诱导公式化简并推断奇偶性，最终由充分、必要性定义确定题设条件间的关系.【详解】当为偶函数时，则恒成立，即，；当时，为偶函数；综上，“函数为偶函数”是“”的必要不充分条件.故选：B3.已知，，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由是的必要条件，列不等式组，可得实数a的取值范围．【详解】由是的必要条件，可得，解得故选：D.4.已知集合则角α的终边落在阴影处(包括边界)的区域是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】令，由此推断出正确选项.【详解】令，则，故B选项符合.故选：B【点睛】本小题主要考查用图像表示角的范围，考查终边相同的角的概念，属于基础题.5.在流行病学中，每名感染者平均可传染的人数叫做基本传染数，当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染者人数急剧增长．当基本传染数低于1时，疫情才可能渐渐消散．而广泛接种疫苗是降低基本传染数的有效途径，假设某种传染病的基本传染数为，1个感染者平均会接触到N个新人（），这N人中有V个人接种过疫苗（为接种率），那么1个感染者可传染的平均新感染人数．已知某病毒在某地的基本传染数，为了使1个感染者可传染的平均新感染人数不超过1，则该地疫苗的接种率至少为（）A.90% B.80% C.70% D.60%【答案】D【解析】【分析】依据已知条件可得出关于的不等式，解之即可得出结果.【详解】因为，由题意，解得，故选：D．6.已知实数a，b，c满意不等式，且，，，则M、N、P的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合指数函数特征易知，，画出的图象，由的相对位置可比较大小，进而得解.【详解】因为，所以，，画出的图象，如图，则，由图可知，故.故选：A7.若，记，则的大小关系正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得，然后利用对数函数的单调性比较大小【详解】因为，所以，所以，，，因为，所以，所以，即，综上，，故选：C8.已知是定义在上的奇函数，且，当且时.已知，若对恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇偶性分析条件可得在上单调递增，所以，进而得，结合角的范围解不等式即可得解.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以当且时，依据的随意性，即的随意性可推断在上单调递增，所以，若对恒成立，则，整理得，所以，由，可得，故选：A.【点睛】关键点点睛，本题解题的关键是利用，结合变量的随意性，可推断函数的单调性，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.下列既是存在量词命题又是真命题的是（）A.，B.至少有个，使能同时被和整除C.，D.每个平行四边形都是中心对称图形【答案】AB【解析】【分析】AB选项，可举出实例；C选项，依据全部实数的平方非负，得到C为假命题；D选项为全称量词命题，不合要求.【详解】中，当时，满意，所以A是真命题B中，能同时被和整除，所以B是真命题C中，因为全部实数的平方非负，即，所以C是假命题D是全称量词命题，所以不符合题意.故选：AB．10.水车在古代是进行浇灌的工具，是人类的一项古老的独创，也是人类利用自然和改造自然的象征.如图，一个半径为6米的水车逆时针匀速转动，水轮圆心距离水面3米，已知水轮每分钟转动1圈，假如当水轮上一点P从水中出现时(图中点)起先计时，经过t秒后，水车旋转到点，则下列说法正确的是（）A.在转动一圈内，点的高度在水面3米以上的持续时间为30秒B.当时，点P距水面的最大距离为6米C.当秒时，D.若其次次到达最高点大约须要时间为80秒【答案】ACD【解析】【分析】由题意可知，再设角是以为始边，为终边的角，可求得高度与时间的关系，进而依据三角函数图象性质进行推断.【详解】由题意可知，设角是以为始边，为终边的角，由条件得高度，当时，，代入得，故，令，解得，故在转动一圈内，点的高度在水面3米以上的持续时间为30秒，即A选项正确；当时，，当时，时，点P距水面的最大距离为米，B选项错误；当时，水车旋转，即，故，C选项正确；，当，即，故其次次到达最高点的时间为，故D选项正确.故选：ACD11.已知正数a，b满意，则下列说法肯定正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】由基本不等式推断AD，取推断BC.详解】由题意可知，（当且仅当时取等号），故A正确；取，则，故BC错误；因为，所以（当且仅当时取等号），则（当且仅当时取等号），故D正确；故选：AD12.已知正实数x，y，z满意，则（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】令则，可得：，，进而结合对数运算与换底公式推断各选项即可得答案.；【详解】解：令，则，可得：，，，对于选项A：因为，所以，故选项A正确；对于选项B，因为，故，所以，即；，即，故B选项错误.对于选项C：，因为，所以，因为，所以，即，即，故选项C正确；对于选项D：，，因为，因为所以等号不成立，所以，即，所以，依据“或”命题的性质可知选项D正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数，则的值为________【答案】－3【解析】【分析】由分段函数的定义计算，留意自变量的取值范围．【详解】，，∴．故答案为：．14.如图1是某小区的圆形公园，它外围有一圆形跑道，并有4个出口A、B、C、D（视为点），并四等分圆弧（如图2）.小明从A点动身，在圆形跑道上按逆时针方向作匀速圆周跑动，假设他每分钟转过圆心角为弧度（），3分钟第一次到达劣弧CD之间（不包括C、D点），15分钟时回到动身点A，则的值为_____.【答案】【解析】【分析】首先求出的大致范围，再依据15分钟时回到动身点A，得到，即可得解；【详解】解：依题意A点3分钟转过，且，所以，又15分钟时回到动身点A，所以，所以，因为，所以故答案：15.函数的单调递减区间是________．【答案】##【解析】【详解】，设，对称轴，，递减，在上递增，依据复合函数的单调性推断：函数的调减区间为，故答案为.【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的推断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，推断复合函数单调性要留意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.16.定义在上的奇函数，当时，则函数的全部零点之和为___________________．【答案】【解析】【详解】由图知，共五个零点，从左到右交点横坐标依次为，满意，因此全部零点之和为四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合，．（1）当时，求；（2）是的必要条件，求的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）当时，求出集合、，利用交集的定义可求得集合；（2）分析可知，对、的大小关系进行分类探讨，依据检验或得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：由可得，解得，即，当时，，此时，.【小问2详解】解：由题意可知，且，当时，即当时，，不满意，不符合题意；当时，即时，，符合题意；当时，则，由，得，解得.综上，．18.计算下列各式：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；（2）、利用对数的运算性质求解.【小问1详解】.【小问2详解】19.命题：“，”，命题：“，”.（1）写出命题的否定命题，并求当命题为真时，实数的取值范围；（2）若和中有且只有一个是真命题，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）依据全称命题的否定形式写出，当命题为真时，可转化为，当，利用二次函数的性质求解即可；（2）由（1）可得为真命题时的取值范围，再求解为真命题时的取值范围，分真和假，假和真两种状况探讨，求解即可【小问1详解】由题意，命题：“，”，依据全称命题的否定形式，：“，”当命题为真时，，当二次函数为开口向上的二次函数，对称轴为故当时，函数取得最小值，即故实数的取值范围是【小问2详解】由（1）若为真命题，若为假命题若命题：“，”为真命题则，解得故若为假命题由题意，和中有且只有一个是真命题，当真和假时，且，故；当假和真时，且，故；综上：实数的取值范围是或20.已知函数的定义域为R，且对随意a，R，都有，且当时，恒成立.（1）证明函数是奇函数；（2）证明函数是R上的减函数；（3）若，求x的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）或【解析】【分析】（1）利用特别值求出，从而证明即可；（2）证明出，再利用当时，恒成马上可得解；（3）利用函数的单调性和奇偶性进行证明即可得解.【小问1详解】证明：由，令可得，解得，令可得，即，而，，而函数的定义域为R，故函数是奇函数．【小问2详解】证明：设，且，，则，而，又当时，恒成立，即，，函数是R上的减函数；【小问3详解】(方法一）由，得，又是奇函数，即，又在R上是减函数，解得或故x的取值范围是或.方法二由且，得，又在R上减函数，，解得或故x的取值范围是

或.21.如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上.（1）设，求三角形木块面积；（2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值.【答案】（1）；（2）,的面积最大值为【解析】【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出；（2）依据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟识的二次函数，从而求解出最值.【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点，所以,，所以；（2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性，所以可只分析时的状况，，，所以，令，，故，，，，，，函数在单调递增，所以当时，的面积最大，最大值为.【点睛】本题考查了三角函数在实际问题中的应用，考查了三角函数的值域问题，三角函数中与的联系等等，考查了学生综合应用实力.22.已知点，是函数图象上的随意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．（1）求函数的解析式；（2）求函数的对称中心及在上的减区间；（3）若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）对称中心；减区间：，；（3）或