2025版高考数学一轮复习核心素养测评三十6.2基本不等式文含解析北师大版

PAGE核心素养测评三十基本不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 ()A.a+b≥2ab B.1a+1bC.ba+ab≥2 D.a2+b【解析】选C.因为ab>0,所以ba>0,ab>0,所以ba+ab≥2ba2.(2024·宿州模拟)已知函数y=x-4+9x+1(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3bA.9 B.7 C.5 D.3【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+9x+1=x+1+92x+1·9x+1-5=1,当且仅当x+1=9所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为 ()A.1 B.2 C.22 【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥22xy=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.(2024·温州模拟)若ab>0,则a2+2A.22 B.2 C.3 D.2【解析】选A.因为ab>0,所以a2+2b2≥2ab·2ba=22,当且仅当ab=2b5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为 ()A.32 B.2 C.94【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤a+1+b+122=322=6.(2024·泉州模拟)已知a>0,b>0,4a+b=2,则1a+1bA.4 B.92 C.5 【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,所以1a+1b=12125+ba+当且仅当ba=4ab,即a=137.正数a,b满意1a+9b=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对随意实数x恒成立,则实数m的取值范围是 A.[3,+∞) B.(-∞,3]C.(-∞,6] D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,1a+9所以a+b=(a+b)1a+9b=10+ba+9ab≥10+29=16,当且仅当ba=9ab,即a=4,b=12时,即x2-4x-2≥-m对随意实数x恒成立,令f(x)=x2-4x-2,则f(x)=x2-4x-2=(x-2)2-6,所以f(x)的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转年时,年平均利润最大,最大值是万元.

【解析】每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,而x>0,故yx≤18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大答案:589.已知x,y为正实数,则2xx+2y+【解析】因为x,y为正实数,则2xx=2xx+2y+yx令t=yx,则t>0,所以2xx+2y+x+yx=21+2t+t+1=112+t+t+12所以2xx+2y+答案:510.(2024·阳泉模拟)函数y=x2x-1(x<1)的最大值为【解析】函数y=x2x=x+1+1x-1=(x-1)+1因为(1-x)+11-x≥2,当且仅当x=0时所以(x-1)+1x-1≤-2,当且仅当x=0时故函数y=x2x答案:0(15分钟25分)1.(5分)设a>0,b>0,则下列不等式中不成立的是 ()A.a+b+1ab≥2B.2abaC.a2+D.(a+b)1a+【解析】选B.因为a>0,b>0,所以a+b+1ab≥2ab+1ab≥22,当且仅当a=b且2ab=1ab,即a=b=22时取等号,因为a+b≥2ab>0,所以2aba+当且仅当a=b时取等号,所以2aba+b≥ab不肯定成立,因为2aba+b≤2ab2aba2+=a+b-2aba+b≥2ab-ab,所以a2+b2a+b故C肯定成立,因为(a+b)1a+1b=2+b当且仅当a=b时取等号,故D肯定成立.2.(5分)当0<m<12时,若1m+21-2m≥k2-2kA.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2]C.[-4,2] D.[-2,4]【解析】选D.因为0<m<12,所以12×2m×(1-2m)≤12×2m+(1-2m)22=18,当且仅当2m=1-2m,即m=14时取等号,所以1m+21-2m=1m(1-2m)≥3.(5分)以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x>0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的全部“望圆”中半径最小值为 ()A.4 B.2 C.8 D.22【解析】选D.依据题意,设t,1t为曲线C上随意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则r2=(t+1)2+1t+12=t2+1t2+2t+1t+2≥2t2×1t24.(5分)(2024·赣州模拟)已知正数x,y满意x+y=5,则1x+1+1y+2的最小值为【解析】正数x,y满意x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则1x+1+1y+2=18182+2y当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值12答案:15.(5分)(2024·朝阳模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC的面积为3c,则ab的最小值为.世纪金榜导学号

【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcosC=c2,可得