2022-2023学年江苏高一年级下册数学同步讲义苏教版2019必修第二册第03讲 正弦定理、余弦定理的应用含详解

第n章解三角形

第03讲正弦定理、余弦定理的应用

号目标导航

课程标准重难点

1.掌握正余弦定理的实际应用1.实际模型抽象为正余弦定理问题

册'知识精讲

T.三用形内角和定理-----------------------------------------------------------------------------

在△A8C中，A+B+C=g变形：*产=微一孝.

2.三角形中的三角函数关系

(l)sin(A+B)=sinC；(2)cos(A+B)=—cosC；

A+BCA+BC

(3)sin--=cosy；(4)cos—-=sin,.

3.三角形中的射影定理

在^ABC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA：c=bcosA+acosB.

Q能力拓展

考法01测量距离问题

(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A,B,望对岸的标记物C,测得NCA8=30。,

NCBA=75°,4B=120m,则河的宽度是________m.

C

/DB

(2)如图，为测量河对岸A,8两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C,。两点，测得NAC8=60。，NBCD

=45°,ZADB=60°,NAOC=30°,贝ijA,B两点的距离是________.

声三

cD

【答案】(1)60(2)2Mm

【解析】(l)tan30°=7F；,tan75°=",

/\UUD

又40+08=120,：.ADtan30°=(120-AD)-tan750,

：.AD=6(hf3,故CZ)=60.

(2)在△BCD中，ZBDC=60°+30°=90°,ZBCD=45°,：.ZCBD=90°-45°=ZBCD,

.'.BD=CD=40,BC=y»+C£>2=40&.

在△ACQ中，ZADC=30°,ZACD=600+45°=105°,

，ZCAD=180o-(30o+105o)=45°.

由正弦定理，得AC=W^*=20\/l

在AABC中，由余弦定理，得

AB2=4C2+BC2-2ACXBCXCOSZBCA=(20^2)2+(4Ch/2)2-2x4(h/2x2(hy2cos60°=2400,

：.AB=2(hj6,

故A,B两点之间的距离为2Mm.

【方法技巧】

测量距离的基本类型及方案

A,B两点间不可通或A,B两点间可视，

类型A,B两点都不可达

不可视但有一点不可达

--------rA-*,<

图形——

:===

C^=^

CaD

测得CD="，ZBCD,

ZBDC,ZACD,Z

以点A不可达为ADC,ZACB,^.^ACD

先测角C,AC=b,

例，先测角3,C,中用正弦定理求AC；

方法BC=a,再用余弦定

BC=a,再用正弦在ABCD中用正弦定理

理求AB

定理求AB求BC；

在^ABC中用余弦定理

求A8

【跟踪训练】

1.海上A,8两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和8岛成60。的视角，从B岛望C岛和A岛成75。的视

角，则8,C间的距离是（）

A.1即海里B.粤^海里

C.5啦海里D.5乖海里

2.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为竽的军事基地C和

D测得蓝方两支精锐部队分别在4处和8处，且403=30。，ZBDC=30°,ZDCA

=60°,ZACB=45°,如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离.

考法02测量高度问题

如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D现测得N8C。

=a,NBDC=B，CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为仇求塔高AB.

【方法总结】

测量高度问题的解题策略

⑴“空间，，向，，平面，，的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空

间问题转化为平面问题.

(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.

【跟踪训练】

1.如图所示，A,8是水平面上的两个点，相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45。,

/54。=120。，又在B点测得/ABO=45。，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高

CD.

考法03测量角度问题

某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航

舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45。，距离为10海里的C处，并测得货船

正沿方位角为105。的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以1即

海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.

［【方法总结】测量角度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离,

再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解

【跟踪训练】某海上养殖基地A,接到气象部门预报，位于基地南偏东60。相距20(仍+1)海里的海面上有

一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时1队尼海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心

将从基地东北方向刮过且小+1小时后开始持续影响基地2小时.求台风移动的方向.北to

M分层提分

南B

题组A基础过关练

一、单选题

1.2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单.某数学建模小组为测量塔的

高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶。的仰角为45。，乙同学在二七广场B地测

得纪念塔顶。的仰角为30。，塔底为C,（4,B,C在同一水平面上，OC_L平面ABC）,测得AB=63m,

NACB=30。，则纪念塔的高C£＞为（）.

A.40mB.63m

C.404mD.636m

2.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A,8（如图），要测量A,8两点的距离，

测量人员在岸边定出基线BC,测得8C=50m,ZABC=105,ZBCA=45\就可以计算出A,8两点的

距离为（）.

A.20mB.25mC.40mD.50&m

3.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为“，b,c,若02+从＜02,则（）

A.AABC是锐角三角形B.&ABC是直角三角形

C.AABC是钝角三角形D.AABC的形状不确定

4.“黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36。的等腰三角形，暂且称为“黄

金三角形A”.如图所示，已知五角星是由5个“黄金三角形A”与1个正五边形组成，其中豆加8。=叵」，

4

则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）•

A石-1口石布+1n3V5

A.----------D.---rL•-------------LJ.----

45620

5.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=6cosA,则AABC为（）

A.等腰非等边三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

6.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是"中国十大历史文化名楼”之一，

世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水

平的直线AC,如图，测得ZZMC=30。，ZDBC=45°,AB=14米，则岳阳楼的高度CD约为（）（参考

数据：右=1.414、1.732)

D

A.18米B.19米C.20米D.21米

二、多选题

7.在中，有如下命题，其中正确的有（）

A.若〃=",8=60°,则AABC是等边三角形

B.若sin22A=sin22B，则AABC是等腰三角形

C.若cos?A+sin?8+sin2c<1,则AABC是钝角三角形

D.若a=4力=2,B=25。,则这样的A/WC有2个

8.在AABC中，若m+A）:（a+c）：S+c）=9:10:ll,下列结论中正确的有（）

A.sinA:sinB:sinC=4:5:6

B.zUBC是钝角三角形

C.AABC的最大内角是最小内角的2倍

D.若c=6,则"8C外接圆的半径为场

7

三、填空题

9.某中学开展劳动实习，学生需测量某零件中圆弧的半径.如图，将三个半径为20cm的小球放在圆弧上，

使它们与圆弧都相切，左、右两个小球与中间小球相切.利用“十'’字尺测得小球的高度差。为8cm,则圆弧的

半径为cm.

10.在t^ABC中，内角A,8,C所对的边分别是a,b,c,已知sinBsinC+2sin2C=sin2B，a=瓜,cos4=-；,

则^ABC的面积S为.

四、解答题

11.如图，。是直角三角形ABC斜边BC上一点，ACfDC.

(1)^ZDAC=30,求角/ADC的大小；

⑵若BD=2DC,且OC=1,求的长.

12.已知〃、b、。分别为△ABC内角A、B、C的边，sinC+(2sinA=Z?sinB+csinC.

⑴求A；

⑵若“A的的面积为手，求会的周长

题组B能力提升练

一、单选题

1.如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔19km,速度为300km/h

，飞行员先在4处看到山顶的俯角为45。，经过2min后，又在8处看到山顶的俯角为75。，则山顶的海拔约

为（）（结果精确到0.1,参考数据：6=1.732）

C.6.3kmD.13.7km

2.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量

法是珠穆高峰测量法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有三点，且A,8,C在同一水平

面上的投影4,耳/满足NAG4=45。，NAgG=60。，由C点测得8点的仰角为15。，与CG的差为

150,由8点测得A点的仰角为45。，则AC两点到水平面AB£的高度差惧-CR约为（)(73^1.732)

C.410D.560

2

3.△A3C的外接圆半径R=2,角。=耳/，则3c面积的最大值为（）

A.GB.2GC.4D.

4.测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，2020年12月8日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最

新高度为8848.86米.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首

先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的

张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度.该兴趣小组运用这一方法测量学校旗

45

杆的高度，已知该旗杆MC（C在水平面）垂直于水平面，水平面上两点A,B的距离为5m，测得ZMBA=0,

NMAB="-9,其中sin®=2，在A点处测得旗杆顶点的仰角为*,cose=g,则该旗杆的高度为（单位:

635

m)()

A.9B.12C.15D.18

5.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为mb,c.若cos?A+cos?C-cos?B+sinAsinC=1,且满足

关系式苧+*=生臀等，则a+c的取值范围是（）

bc3sinC

A.（收2因B.惇，竽

C.D.（3,2回

6.滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹫齐飞，秋水共长天一

色”而流芳后世.如图，若某人在点A测得滕王阁顶端仰角为30。，此人往膝王阁方向走了42米到达点B,测

得滕王阁顶端的仰角为45。，则滕王阁的高度最接近于（）（忽略人的身高）（参考数据：73®1.732）

A.49米B.51米C.54米D.57米

二、多选题

7.在AABC中，下列说法正确的是（）

rr

A.若。=2/?sinA,则3=W

6

B.若A>8,则sinA>sinB

c.AB=2叵,ZB=45°，若AC=娓,则这样的三角形有两个

D.若从+。2>/,贝必43G为锐角三角形

8.在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a:b:c=4:5:6,则下列结论正确的是（）

A.sinA:sinB:sinC=4:5:6B.△ABC是钝角三角形

C.若c=6,则AABC的面积为巨巨D.若c=6,则AABC内切圆半径为立

42

三、填空题

9.已知在ZkABC中，内角A,B,C的对边分别为〃，b,c,若〃2=按+/—尻，。=3,贝必45。的周长的最

大值为，

10.如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.6km,一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头8.已知

A8=lkm,水的流速为2km/h,若客船从码头A驶到码头5所用的时间为6min,则客船在静水中的速度为

___________km/h.

B

水渣方向

四、解答题

11.已知a,b,C分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，4=百，且(75+b)(sinA-sinB)=(c-6)sinC.

⑴求角A

(2)若AABC为钝角三角形，求AABC周长的取值范围.

12.已知“8C的面积为S,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4s=6伊一/_。2).

(1)求8的大小；

(2)若而且83=2,求S的最大值.

题组C培优拔尖练

一、单选题

1.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心。后转向东北方。N,为了缓解城市交通压力，现准

备修建一条绕城高速公路L，并在MO,CW上分别设置两个出口48,若部分为直线段，且要求市中心。

与AB的距离为20千米，则A8的最短距离为()

B.40(0-1)千米

C.20(72+1)D.40(>/2+1)

2.在锐角AA3C中，角A,B,C所对的边为a",c,若怨竺乎=吆+经色，且$正（^+从一。?），

3sinAac^ABC4v'

则£的取值范围是（）

a+b

A.（6,26]B,（6,4石]c.[g用D.[6,2）

3.在一座尖塔的正南方地面某点A,测得塔顶的仰角为22。30',又在此尖塔正东方地面某点B,测得塔顶

的仰角为67。30',且A,5两点距离为540m,在线段A8上的点C处测得塔顶的仰角为最大，则C点到塔底

。的距离为（）

A.90mB.100mC.110mD.270m

二、多选题

4.如图，AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,J若a=6,且G（acosC+ccosA）=2bsin8,

。是外一点，DC=\,DA=3,则下列说法正确的是（）

A.AABC是等边三角形

B.若4C=2百，则A,B,C,。四点共圆

C.四边形ABC。面积最大值为述+3

2

D.四边形ABC。面积最小值为侦-3

2

三、填空题

5.拿破仑定理是法国著名的军事家拿破仑•波拿马最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边,

向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.在A43c中，

ZA=120°,以AB、BC、AC为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为。|、。?、0},若60no台

的面积为26,则AABC的周长的取值范围为.

四、解答题

TT

6.如图，扇形OMN的半径为右，圆心角为A为弧MN上一动点，B为半径上一点且满足

(1)若08=1,求AB的长；

(2)求面积的最大值.

第n章解三角形

第03讲正弦定理、余弦定理的应用

0目标导航

课程标准重难点

1.掌握正余弦定理的实际应用1.实际模型抽象为正余弦定理问题

趣知迟精讲

1.三角形内角和定理

A+8冗Q

在△A8C中，A+B+C=n；变形：一2——2-2*,

2.三角形中的三角函数关系

(l)sin(A+B)=sinC；(2)cos(A+B)=—cosC；

A+BCA+BC

(3)sin2-=cos,；(4)cos2-=sin,.

3.三角形中的射影定理

在△ABC中，a=bcosC+ccosB；h=acosC+ccosA；c=Z?cosA+〃cosB.

Q能力拓展

考法01测量距离问题

(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点4,B,望对岸的标记物C,测得/。8=30。,

NCBA=75。,AB=120m,则河的宽度是________m.

ADB

(2)如图，为测量河对岸A,B两点间的距离，沿河岸选取相距40m的C,Q两点，测得NACB=60。，ABCD

=45。，乙4。8=60。，ZADC=30°,则A,B两点的距离是________

二9

CD

【答案】(1)60(2)20>/6m

【解析】⑴tan300=*,tan750=累，

又AO+OB=120,.,.ADtan30°=(120-AD)tan750,

.-.AD=6O^3,故C£>=60.

(2)在△SCO中，ZBDC=60o+30°=90°,NBCD=45。,；.NCBD=90。-45。=NBCD,

.-.BD=CD=40,BC=y]BD2+CD-=A^.

在△AC。中，NAZ)C=30°,ZACZ)=60°+45o=105o,

ZCAD=180°-(30°+105°)=45°.

由正弦定理，得黎=2071

在aABC中，由余弦定理，得

A4-BGTACXBCXCOSNBCA=(2O\/2)2+"所产-2X40^2X20\/2cos600=2400,

.•,AB=2(h]6,

故4,8两点之间的距离为2Mm.

【方法技巧】

测量距离的基本类型及方案

A,B两点间不可通或A,8两点间可视，

类型A,8两点都不可达

不可视但有一点不可达

A,

---------------rA--<..一三

图形二

C

CaD

测得CD=a,/BCD,

ZBDC,ZACD,Z

以点A不可达为ADC,ZACB,在△AC。

先测角C,AC=b,

例，先测角8,C,中用正弦定理求AC；

方法BC=a,再用余弦定

BC=a,再用正弦在△BCO中用正弦定理

理求AB

定理求AB求8C；

在△ABC中用余弦定理

求AB

【跟踪训练】

1.海上A,B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和8岛成60。的视角，从8岛望C岛和A岛成75。的视

角，则B,C间的距离是（）

A.10>/3海里B.粤^海里

C.572海里D.5^6海里

【答案】D

C

【解析】如图所示，根据题意，在△A8C中，4=60°,8=75。，48=10,♦,.C=45。.由正弦刍行一

定理可得A而B下=B而C不即10后B近C；衣=5佩r-海里).故选D-\Y60y

22

2.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为华的军事基地C和大、、

D测得蓝方两支精锐部队分别在4处和B处，且438=30。，ZBDC=3Q°,ZDCA/

=60。，NACB=45。，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离.

DC

【解析】'/NADC=NAOB+"08=60。，

又NOCA=60°,ZDAC=60°..\AD=CD=AC=^a.

在△BC7)中，NO8c=45°,%n30。=sin45。，，BC=£a.

在△ABC中，由余弦定理得ABZMAG+BC2-"ZACBCcos45。=,〃+)!—2xW〃X幸aX‘=Ja2.

4oZ4Zo

：.A8=W4...蓝方这两支精锐部队之间的距离为乎〃

考法02测量高度问题

如图，测量河对岸的塔高A8时，可以选与塔底8在同一水平面内的两点C与D现测得NBCZ)

=a,/BDC=B，CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为仇求塔高4B.

【解析】在△BC£＞中，NCBQ=兀一(a+夕).

BCCD

由正弦定理得

sinZBDCsinZCBD'

.CDsinNBDCs・sin/?

''K=sinNCBD=sin(a+p)，

,A_,一一5-sin5tan0

在RtAABC中,AB=BCtanZACB=~^.

【方法总结】

测量高度问题的解题策略

(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面,

将空间问题转化为平面问题.

(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.

【品艮踪训练】

1.如图所示，A,8是水平面上的两个点，相距800m,在A点测得山顶C的仰角为45。,

ZBAD=120°,又在B点测得NABO=45。，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高

CD.

【解析】由于CO_L平面A8O,NCAO=45°,所以C£)=AD

因此只需在△ABO中求出4。即可，

在△ABO中，ZBDA=180o-45°-120°=15o,

.„.„..,800X-5^

A8_____AZ)〜ABsm450_______2

由sin15°=sin450'HAD=sin15°=^6~^/2

4

=800(^3+l)(m).

即山的高度为800(^3+l)m.

考法03测量角度问题

某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航

舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45。，距离为10海里的C处，并测得货船

正沿方位角为105。的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以1所

海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间.

［【解析】设所需时间为亡小时，则48=1即，，CB=lOt,在△ABC中，根据余弦定理，得

ABi1=AC1+BC1-2ACBCcos120°,

可得(1即力2=102+(10)-2义lOXIOrcos120°,

整理得21—1=0,解得f=1或f=一氐舍去).

所以护航舰需要1小时靠近货船.

此时A8=10V§,8c=10,

在△48C中,由正弦定理得sinNC4B=sin120°'

10X近

z.八BCsin120021

所以smZCAB=-而一=[即=],

所以/。8=30°,

所以护航舰航行的方位角为75°.

【方法总结】测量角度问题的基本思路

测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，

再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解

【跟踪训练】某海上养殖基地A,接到气象部门预报，位于基地南偏东60。相距20（小+1）海里的海面上有

一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时1队尼海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心

将从基地东北方向刮过且小+1小时后开始持续影响基地2小时.求台风移动的方向....

【解析】如图所示，设预报时台风中心为B,开始影响基地时台风中心为C,基地刚好不受\

影响时台风中心为。，则8,C,。在一直线上，且40=20,AC=20.“忘\

由题意A8=20（小+1）,DC=2即,南B

8c=（小+1>1即.在△AOC中，

因为OC2=AO2+AG,

所以NO4C=90°,N40c=45°.

在△A8C中，由余弦定理得

化+4」一叱S

cosNBAC=2ACAB=2'

所以N8AC=30°,又因为8位于4南偏东60°,

60°+30°+90°=180°,又。位于A的正北方向，

又因为N4OC=45°,所以台风移动的方向为北偏

45°

fii分层提分

题组A基础过关练

一、单选题

1.2021年11月，郑州二七罢工纪念塔入选全国职工爱国主义教育基地名单.某数学建模小组为测量塔的

高度，获得了以下数据：甲同学在二七广场A地测得纪念塔顶。的仰角为45。，乙同学在二七广场B地测得

纪念塔顶。的仰角为30。，塔底为C,（A,B,C在同一水平面上，OCJ•平面ABC）,测得AB=63m,

ZAC8=30。，则纪念塔的高。£>为（）.

A.40mB.63m

C.405/3mD.636m

【答案】B

如图所示，ADAC=45,ZCBD=30\ZACB=30°,设塔高为加，因为。CJ_平面A3G所以

DCLCA.DCVCB,

222222

所以AC=〃Z,3C=GmAB=AC+BC-2AC-BC­cosZACB,BP63=/n+3w-2x>/3Wx,

2

解得m=63.故选:B.

2.为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩A,5（如图），要测量A,5两点的距离，

测量人员在岸边定出基线BC,测得8c=50m,ZABC=105,ZBCA=45\就可以计算出A,8两点的

距离为（）.

A

A.20mB.25mC.40mD.50夜m

【答案】D

【解析】由三角形内角和定理可知：ABAC=180°-ZACB-ZABC=30",

ABBC=-8=5。=050万

由正弦定理得:sin/4CBsinZ.BACa』，

T2

故选：D

3.在A4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若则（)

A.AABC是锐角三角形B.△ABC是直角三角形

C.AABC是钝角三角形D.AABC的形状不确定

【答案】C

【解析】因为/+匕2<°2,

所以cosC="+"———<0,

2ab

所以角C是钝角，

所以AABC是钝角三角形，

故选：C

4."黄金三角形”是几何历史上的瑰宝，它有两种类型，其中一种是顶角为36。的等腰三角形，暂且称为“黄

金三角形A'.如图所示，已知五角星是由5个"黄金三角形A"与1个正五边形组成，其中$抽18。=避二

4

则阴影部分面积与五角形面积的比值为（）.

A

/5-1石r\/5+1k3石

45620

【答案】B

【解析】如图所示，

生LRC/s-1

依题意，在三角形ABC中，.1RO2右T，故必=上1；

Sin18=就=丁AC2

所以些=在二1,

AB2

设AABC的面积为X,则△BCD面积为避二lx,同理△CEF的面积为叵口X,

22

△CDE的面积为x,

2x+2-^~~~-x

2

则阴影部分面积与五角形面积的比值为一7r~-

2-^^-x+Gx

2

故选：B.

5.AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,若c=6cosA,则AABC为（）

A.等腰非等边三角形B.钝角三角形

C.直角三角形D.等边三角形

【答案】C

【解析】c=Z?cosA,所以sinC=cosAsin8.在△ABC中，sinC=sin(A+5)=sinAcosB+cosAsinB,故

sinAcos8=0,

Jr

因为sinA。0,所以cos8=0,因为0<8<兀，所以8=5，故AMC为直角三角形.

故选：C.

6.岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为"江南三大名楼"，是"中国十大历史文化名楼”之一,

世称“天下第一楼".因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水

平的直线AC,如图，测得皿C=30。，NDBC=45°,A8=14米，则岳阳楼的高度CO约为（）（参

考数据：0=1.414、x/3®1.732)

D

A.18米B.19米C.20米D.21米

【答案】B

【解析】RtlDC中，NQAC=30°，则4c=&C£)，RABDC中，ZDBC=45°.则3C=C£>,

14

由AC-BC=AB得辰D-CD=14=>CD==7(73+1)®19.124CD约为19米.

A/3-1

故选：B

二、多选题

7.在AABC中，有如下命题，其中正确的有（）

A.若从=4,8=60。，则AABC是等边三角形

B.若sin?2A=sin?28，则AABC是等腰三角形

C.若cos?A+sin28+sin2c<1，则AABC是钝角三角形

D.若“=4,6=2,8=25°,则这样的AABC有2个

【答案】ACD

【解析】A中由=ac及62=a2+C?-2accos60。得"=c,所以A4?C是等边三角形，A正确.

B选项中，如4=60。,8=30。时，AABC不是等腰三角形，所以B错误；

C选项中，化简为si/B+sin2c<1-cos24=sin2A,由正弦定理得从+c?</,再由余弦定理得cosA<0,

所以AA3C是钝角三角形，C选项正确；

D选项中知asin8</?<a成立，所以这样的三角形有2个，D选项正确.

故选：ACD

8.在AA8C中，若(a+b):(a+c):g+c)=9:10:ll,下列结论中正确的有()

A.sinA:sinB:sinC=4:5:6

B.△48C是钝角三角形

C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍

D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为必

7

【答案】ACD

【解析】由题意，设a+6=9xM+c=10x,0+c=llx,解得a=4x,b=5x,c=6x；

所以sinA:sin3:sinC=4:5:6,A正确;

由以上可知C最大，cosC=(旬2+(5x)2-(6x)2=&c为锐角,B错误；

2x4xx5x8

,,-r.&-।(<(5x)2+(6x)2-(4x)23

由以上可知nA最小，cosA=」^—―――-=一，

2x5xx6x4

、91

cos2A=2cosA-l=2x-----1=-,BPcosC=cos2A,

168

因为C为锐角，2A为锐角，所以C=2A,C正确；

因为cosC=所以sinC=>/l-cos2c=辿,

88

设^ABC外接圆的半径为，，则由正弦定理可得2r=—=㈣

sinC7

所以r=D正确故选ACD.