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专题5.6导数在研究函数中的应用(2)(B)第I卷选择题部分(共60分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·宁夏·海原县第一中学高二期中(文))函数在上的最小值为(
)A. B. C. D.2.(2019·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习(文))函数在上的最大值是(
)A.0 B. C. D.3.(2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中(理))函数在处有极值为,那么,的值为(
)A., B.,C.,或, D.,4.(2022·四川·绵阳市开元中学高二期中(理))函数在区间上取得最大值时的值为()A. B. C. D.5.(2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习)若对任意的,,且,都有,则m的最小值是(
)A. B. C.1 D.6.(2022·江西·上高二中高二阶段练习(理))已知函数有唯一的极值点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.7.(2022·山西·运城市薛辽中学高二阶段练习)已知函数,则“”是“函数在处有极值”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.(2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试)若函数的最大值为,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.(2022·浙江·镇海中学高二期中)如图,已知直线与曲线相切于A、B两点,设A,B两点的横坐标分别为a,b,函数,下列说法正确的有(
)A.有极大值,也有极小值B.是的极小值点C.是的极大值点D.是的极大值点10.(2022·福建·莆田一中高二期中)关于函数,下列结论正确的是(
)A.函数的定义域为 B.函数在上单调递增C.函数的最小值为,没有最大值 D.函数的极小值点为11.(2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习)若函数有大于零的极值,则实数的可能取值为(
)A. B. C. D.12.(2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习)若函数有两个不同的极值点,则实数的可能取值是(
)A. B. C. D.第II卷非选择题部分(共90分)三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·宁夏·海原县第一中学高二期中(文))若函数的极小值为5,那么的值为______.14.(2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试)函数的极大值与极小值分别为和,则____.15.(2022·陕西·西安中学高二期中)若函数有两个极值点,则的取值范围为_____________16.(2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习)已知函数的定义域为,其导函数为,且,,则在区间上的极大值为____________.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2022·山东聊城一中高二期中)已知函数.(1)求函数的单调区间与极值;(2)求函数在区间上的最值.18.(2022·陕西渭南·高二期末(文))已知函数.(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;(2)若函数在区间内存在极小值,求实数的取值范围.19.(2022·新疆和静高级中学高二阶段练习)已知函数在处取得极值-14.(1)求a,b的值;(2)求曲线在点处的切线方程;(3)求函数在上的最值.20.(2022·江苏连云港·高二期末)已知函数,其中a为常数.(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时,求a的值;(2)在(1)的条件下,求函数在上的最小值.21.(2022·全国·高二课时练习)如图,某街道拟设立一占地面积为平方米的常态化核酸采样点,场地形状为矩形.根据防疫要求,采样点周围通道设计规格要求为:长边外通道宽5米,短边外通道宽8米,采样点长边不小于20米,至多长28米.(1)设采样点长边为米,采样点及周围通道的总占地面积为平方米,试建立关于的函数关系式,并指明定义域;(2)当时,试求的最小值,并指出取到最小值时的取值.22.(2022·黑龙江·哈尔滨工业大学附属中学校高二期末(文))已知函数.(1)当时,求的最大值;(2)若恒成立,求a的取值范围.专题5.6导数在研究函数中的应用(2)(B)第I卷选择题部分(共60分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021·宁夏·海原县第一中学高二期中(文))函数在上的最小值为(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用导数研究函数的单调性,结合单调性即可求得最小值.【详解】∵,∴,当时,∴函数在区间上单调递增,∴当时,函数取得最小值,,∴函数在上的最小值为.故选:A.2.(2019·吉林·四平市第一高级中学高二阶段练习(文))函数在上的最大值是(
)A.0 B. C. D.【答案】B【分析】求导得到导函数,根据函数的单调区间得到最值.【详解】,,当时,,函数单调递增;当时,,函数单调递减;故.故选:B3.(2022·四川省资阳市外国语实验学校高二期中(理))函数在处有极值为,那么,的值为(
)A., B.,C.,或, D.,【答案】A【分析】由题意可知,由此可求出,并验证即可求解.【详解】,由题意可知即,则解得或,当时,,在处不存在极值,不符合题意;当时,,,,,,符合题意.,故选:A.4.(2022·四川·绵阳市开元中学高二期中(理))函数在区间上取得最大值时的值为()A. B. C. D.【答案】B【分析】对函数求导,判断其在的单调性,进而求得其最大值.【详解】由得,令,即在区间上解得,当时,,为增函数,当时,,为减函数,所以当时,取得最大值.故选:B.5.(2022·甘肃·高台县第一中学高二阶段练习)若对任意的,,且,都有,则m的最小值是(
)A. B. C.1 D.【答案】A【分析】已知不等式变形为,引入函数,则其为减函数,由导数求出的减区间后可的最小值.【详解】因为,所以由,可得,,即.所以在上是减函数,,当时,,递增,当时,,递减,即的减区间是,所以由题意的最小值是.故选:A.6.(2022·江西·上高二中高二阶段练习(理))已知函数有唯一的极值点,则的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】由题,将问题转化为在上无解,进而研究函数性质可得,再求得.【详解】解:求导有,因为函数有唯一的极值点,所以,有唯一正实数根,因为,所以在上无解,所以,在上无解,记,则有,所以,当时,,在上递减,当时,,在上递增.此时时,有最小值,所以,,即,所以,即的取值范围是故选:A7.(2022·山西·运城市薛辽中学高二阶段练习)已知函数,则“”是“函数在处有极值”的(
)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】B【分析】求出函数的导函数,依题意可得,即可得到方程组,解得、再检验,最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解:因为,所以,所以,解得或;当时,,即函数在定义域上单调递增,无极值点,故舍去;当时,,当或时,当时,满足函数在处取得极值,所以,所以由推不出函数在处有极值,即充分性不成立;由函数在处有极值推得出,即必要性成立;故“”是“函数在处有极值”的必要不充分条件;故选:B8.(2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试)若函数的最大值为,则实数的取值范围为(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】由基本不等式求得x<0时,f(x)的值域,由题意可得x>0时,f(x)的值域应该包含在x<0时的值域内,转化为在x>0时恒成立.利用导数求出的最大值即可.【详解】当x<0时,,当且仅当x=−1时,f(x)取得最大值f(−1)=a−2,由题意可得x>0时,的值域包含于(−∞,a−2],即在x>0时恒成立即在x>0时恒成立即设当时,在上单调递增,当时,在上单调递减,故选:C.二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.(2022·浙江·镇海中学高二期中)如图,已知直线与曲线相切于A、B两点,设A,B两点的横坐标分别为a,b,函数,下列说法正确的有(
)A.有极大值,也有极小值B.是的极小值点C.是的极大值点D.是的极大值点【答案】ABD【分析】结合导函数的几何意义,在对应区间上判断与的大小关系,进而利用导数判断函数的单调性,从而判断极大值与极小值,进而结合选项即可得出结论.【详解】=,当时,,故,在上单调递减,当时,,故,在上单调递增,当时,,故,在上单调递减,当时,,故,在上单调递增,故在处取得极小值,在处取得极大值,处取得极小值.故ABD正确,C错误,故选:ABD.10.(2022·福建·莆田一中高二期中)关于函数,下列结论正确的是(
)A.函数的定义域为 B.函数在上单调递增C.函数的最小值为,没有最大值 D.函数的极小值点为【答案】BD【分析】对于A,注意到可知,由此可判断;对于B,对求导,利用导数与函数的单调性的关系可判断其正确;对于C,举反例排除即可;对于D,利用导数与函数极值的关系可判断其正确.【详解】对于A,因为,所以,解得,故的定义域为,故A错误;对于B,,令,得,故在上单调递增,故B正确;对于C,令,则,故的最小值不为,故C错误;对于D,令,得或,所以在和上单调递减,令,得,故结合两侧的单调性可知是的极小值点,故D正确.故选:BD.11.(2022·重庆·万州纯阳中学校高二阶段练习)若函数有大于零的极值,则实数的可能取值为(
)A. B. C. D.【答案】BC【分析】求出函数的导数,确定取得极值的条件并求出极大值,再列出不等式求解作答.【详解】函数的定义域为,求导得:,当时,,函数在上单调递增,无极值,不符合题意,当时,当时,,当时,,则当时,函数取得极大值,因此,即,解得,显然选项A,D不满足,B,C满足.故选:BC12.(2021·广东·饶平县第二中学高二阶段练习)若函数有两个不同的极值点,则实数的可能取值是(
)A. B. C. D.【答案】CD【分析】将问题转化为有2个不同的实数根,令,利用导数求出函数的单调区间和最值,从而可求出实数的取值范围.【详解】依题意得有2个不同的实数根,即有2个不同的实数根,令,则,令,得,令,得,所以在上单调递减,在上单调递增,故的最小值为,因此.故选:CD第II卷非选择题部分(共90分)三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2021·宁夏·海原县第一中学高二期中(文))若函数的极小值为5,那么的值为______.【答案】6【分析】对函数求导,再求函数的单调区间与极小值即可.【详解】,,令,解得或,当或时,,当时,,在和上单调递增,在上单调递减,当时,取得极小值,极小值为,解得.故答案为:6.14.(2022·广东·饶平县第二中学高二开学考试)函数的极大值与极小值分别为和,则____.【答案】【分析】利用导数求得的极值,从而求得正确答案.【详解】,在区间递增;在区间递减.所以是的极大值,即,是的极小值,即,所以.故答案为:15.(2022·陕西·西安中学高二期中)若函数有两个极值点,则的取值范围为_____________【答案】【分析】由题意得到有两个不等的零点,且在两零点的两侧,导函数符号相反,参变分离后构造,求导研究其单调性和极值,最值情况,画出图象,数形结合求出的取值范围.【详解】由,得,∵函数有两个极值点,∴有两个零点,且在零点的两侧,导函数符号相反,令,,则,当时,,单调递减,当时,,单调递增,有极小值也是最小值为,且当时,恒成立,当时,恒成立,画出的图象,如下:要使有两个不等实数根,则,即,经验证,满足要求.故的取值范围为.故答案为:.16.(2022·湖南·安仁县第一中学高二阶段练习)已知函数的定义域为,其导函数为,且,,则在区间上的极大值为____________.【答案】1【分析】由题意可得,构造函数,可得,可得解析式,结合的值,可得解析式,求导,令,利用导数可得的单调性和最值,根据特殊值和,分析可得的单调性和极值,即可得答案.【详解】由题意得,令,所以,则,且c为常数,所以,所以,解得,所以,则.令,则.当时,单调递增;当时,单调递减,所以在处取得最大值.又,所以,使.又,所以当时,,单调递减;当时,单调递增,当时,,单调递减,所以当时,取得极大值.【点睛】关键点点睛:合理变形得,并适当构造函数,根据题中数据,求得解析式,并利用导数求得的单调性和极值,难点在于求导得,无法判断其正负时,需再次求导,根据其导函数值的正负,可得的正负,可得的单调性和极值,属中档题.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(2022·山东聊城一中高二期中)已知函数.(1)求函数的单调区间与极值;(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1)单调递增区间是,单调递减区间是,极大值是,极小值是(2)最大值为,最小值为.【分析】(1)对求导,根据导数的正负确定函数的单调区间,进一步确定极值即可;(2)根据极值和端点值即可确定最值.【详解】(1).令,得或;令,得,所以的单调递增区间是,单调递减区间是.所以的极大值是,的极小值是.(2)因为,由(1)知,在区间上,有极小值,所以函数在区间上的最大值为,最小值为.18.(2022·陕西渭南·高二期末(文))已知函数.(1)当时,求函数在上的最大值和最小值;(2)若函数在区间内存在极小值,求实数的取值范围.【答案】(1)最大值为,最小值为(2)【分析】(1)求导,利用导数判断原函数的单调性,进而确定最值;(2)求导,利用导数判断原函数的单调性,进而确定极值点,注意讨论与的大小关系.【详解】(1)当时,则函数,,令,解得或,当时,,当时,,则函数在上单调递减,函数在上单调递增,∴在时取得极小值为,且,故在上的最大值为,最小值为.(2)∵,则①当时,,函数单调递增,无极值,不合题意,舍去;②当时,令,得或,∴在,上单调递增,在上单调递减,故函数在时取得极大值,在时取得极小值,∴;③当时,令,得或,∴在和上单调递增,在上单调递减,故函数在时取得极大值,在时取得极小值,∴,解得.综上所述:实数的取值范围是.19.(2022·新疆和静高级中学高二阶段练习)已知函数在处取得极值-14.(1)求a,b的值;(2)求曲线在点处的切线方程;(3)求函数在上的最值.【答案】(1)(2)(3)函数在上的最小值为,最大值为.【分析】(1)求导,利用在处的导数值为0,并且,解之检验即可求解;(2)结合(1)的结果,求出函数在处的导数值,利用导数的几何意义,代入即可求解;(3)结合(1)的结果,列出在时,随的变化,的变化情况,进而即可求解.【详解】(1)因为函数,所以,又函数在处取得极值.则有,即,解得:,经检验,时,符合题意,故.(2)由(1)知:函数,则,所以,又因为,所以曲线在点处的切线方程为,也即.(3)由(1)知:函数,则,令,解得:,在时,随的变化,的变化情况如下表所示:单调递减单调递增单调递减由表可知:当时,函数有极小值;当时,函数有极大值;因为,,故函数在上的最小值为,最大值为.20.(2022·江苏连云港·高二期末)已知函数,其中a为常数.(1)当函数的图象在点处的切线的斜率为1时,求a的值;(2)在(1)的条件下,求函数在上的最小值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根据给定条件,求出函数的导数,再利用导数的几何意义计算作答.(2)由(1)的结论,利用导数探讨函数在上的单调性,求出最小值作答.【详解】(1)函数的定义域为,求导得,因函数的图象在点处的切线的斜率为1,则,解得,所以a的值是1.(2)由(1)得,,由得或,因,则当时,,当时,,因此函数在上单调递减,在上单调递增,所以函数在上的最小值.21.(2022·全国·高二
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