湖南省新高考教学教研联盟2024届高三下学期第二次联考数学试题

2024届新高考教学教研联盟高三第二次联考数学试卷由长郡中学；衡阳市八中；永州市四中；岳阳县一中；湘潭县一中；湘西州民中；石门县一中；澧县一中；益阳市一中；桃源县一中；株洲市二中；麓山国际；郴州市一中；岳阳市一中；娄底市一中；怀化市三中；邵东市一中；洞口县一中；九江市一中；南昌市二中。联合命题命题学校：石门县一中，审题学校：九江市一中；邵阳市二中注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某10人的射击小组，在一次射击训练中射击成绩数据如下表，则这组数据的中位数为（）成绩（单位：环）678910人数12241A．2 B．8 C．8.2 D．8.52．若椭圆的焦距为2，则该椭圆的离心率为（）A． B． C．或 D．或3．张扬的父亲经营着一家童鞋店，该店提供从25码到36.5码的童鞋，尺寸之间按0.5码为公差排列成等差数列．有一天，张扬帮助他的父亲整理某一型号的童鞋，以便确定哪些尺寸需要进货，张扬在进货单上标记了两个缺货尺寸．几天后，张扬的父亲询问那些缺货尺寸是哪些，但张扬无法找到标记缺货尺寸的进货单，他只记得其中一个尺寸是28.5码，并且在当时将所有有货尺寸加起来的总和是677码．现在问题是，另外一个缺货尺寸是（）A．28码 B．29.5码 C．32.5码 D．34码4．如图，在三棱柱中，分别为的中点，则下列说法错误的是（）A．四点共面 B．C．三线共点 D．5．设，对满足条件的点的值与无关，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．6．已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．7．2024年春节期间，某单位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人员只安排一天，正月初三到初八值班人员安排两天．其中甲因有其他事务，若安排两天则两天不能连排，其他人员可以任意安排，则不同排法一共有（）A．792种 B．1440种 C．1728种 D．1800种8．在中，角所对边分别为，且，若，，则的值为（）A．1 B．2 C．4 D．2或4二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9．已知i为虚数单位，下列说法正确的是（）A．若复数，则B．若，则C．若，则D．复数在复平面内对应的点为，若，则点的轨迹是一个椭圆10．已知，下列结论正确的是（）A．若的最小正周期为，则B．若的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称，则C．若在上恰有4个极值点，则的取值范围为D．存在，使得在上单调递减11．已知函数的定义域均为，且的图像关于直线对称，则以下说法正确的是（）A．和均为奇函数 B．C． D．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．）12．已知集合．若集合恰有两个元素，则实数的取值范围是______．13．已知表面积为的球面上有四点是边长为的等边三角形．若平面平面，则三棱锥的体积的最大值为______．14．已知．若，则实数的取值范围是______．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知是各项都为正数的等比数列，数列满足：，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若对任意的都有，求实数的取值范围．16．（15分）在直角梯形中，，点为中点，沿将折起，使．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．17．（15分）现有甲、乙、丙三个工厂生产某种相同的产品进入市场．已知甲、乙、丙三个工厂生产的产品能达到优秀等级的概率分别为，，．现有某质检部门，对该产品进行质量检测，首先从三个工厂中等可能地随机选择一个工厂，然后从该工厂生产的产品抽取一件进行检测．（1）若该质检部门的一次抽检中，测得的结果是该件产品为优秀等级，求该件产品是从乙工厂抽取的概率；（2）因为三个工厂的规模大小不同，假设三个工厂进入市场的产品的比例为2∶1∶1，若该质检部门从已经进入市场的产品中随机抽取10件产品进行检测，求能达到优秀等级的产品的件数的分布列及数学期望．18．（17分）已知抛物线，焦点为，过作两条关于直线对称的直线分别交于两点．（1）判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（2）若三点在抛物线上，且满足，证明三个顶点的横坐标均小于2．19．（17分）罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数满足在闭区间连续，