函数的单调性三知识课件

§3.7函数的单调性yx0学习目的：1.会从几何角度直观了解函数单调性与其导数的关系，并会灵活应用。2.通过对函数单调性的研究，加深对函数导数的理解，提高用导数解决实际问题的能力，增强数形结合的思维意识。复习引入：问题1：怎样利用函数单调性的定义来讨论其在定义域的单调性1．一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，(1)若f(x1)<f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.2．由定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)设x1、x2是给定区间的任意两个值，且x1<x2.(2)作差f(x1)－f(x2)，并变形.(3)判断差的符号，从而得函数的单调性.函数y=x2－4x＋3的图象：2yx00yx12-1-2单增区间：(-∞，-1)和（1，+∞）.例2讨论函数y=x+的单调性。

x1单减区间：(-1，0）和（0，1）.发现问题：用单调性定义讨论函数单调性虽然可行，但十分麻烦，尤其是在不知道函数图象时.例如y=x3+2x2-x.是否有更为简捷的方法呢？下面我们通过函数的y=x2－4x＋3图象来考察一下：2yx0.......观察函数y=x2－4x＋3的图象：总结:该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负,在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.结论:一般地,设函数y=f(x)在某个区间内可导,则函数在该区间如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.注意:如果在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)为常数函数.结论应用：由以上结论可知，函数的单调性与其导数有关，即我们可以利用导数法去探讨函数的单调性。现举例说明：例3求函数f(x)=2x3-6x2+7的单调区间.解:函数的定义域为R,f′(x)=6x2-12x令6x2-12x>0,解得x<0或x>2，则f(x)的单增区间为（－∞，0）和（2，＋∞）.再令6x2-12x<0,解得0<x<2,则f(x)的单减区间(0,2).注:当x=0或2时,f′(x)=0,即函数在该点单调性发生改变.总结：根据导数确定函数的单调性一般需两步：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f′(x)>0,得函数单增区间;解不等式f′(x)<0,得函数单减区间.例4求函数f(x)=xlnx的单调区间.解：函数的定义域为x>0,f’(x)=x’lnx+x(lnx)’=lnx+1.当lnx+1>0时，解得x>1/e.则f(x)的单增区间是(1/e,+∞).当lnx+1<0时，解得0<x<1/e.则f(x)的单减区间是（0，1/e).例5判定函数y=ex-x+1的单调区间.解:f’(x)=ex-1当ex-1>0时,解得x>0.则函数的单增区间为(0,+∞).当ex-1<0时,解得x<0.即函数的单减区间为(-∞,0).例6讨论函数y=的单调性.2x-x2解:函数的定义域为(0,2).y′=,解不等式y′>0得:0<x<1,则函数的单增区间为(0,1).解不等式y′<0得:1<x<2,则函数的单减区间为(1,2).

2x-x21-x归纳总结:1.函数导数与单调性的关系:若函数y=f(x)在某个区间内可导,如果f′(x)>0,则f(x)为增函数;如果f′(x)<0,则f(x)为减函数.2.本节课中,用导数去研究函数的单调性是中心,能灵活应用导数解题是目的,另外应注意数形结合在解题中应用.巩固提高：1.证明：方程x-sinx=0只有一个实根x=0.2.当x>0时，证明不等式<ln(1+x)<x