初中数学《三角形中的经典模型》九大题型含解析

三角形中的经典模型【【【【【【【【【123456789A字模型18字模型3飞镖模型6双垂直模型9老鹰抓小鸡模型15两内角角平分线模型19两外角角平分线模型21一内一外角角平分线模型26三角形折叠模型29知识点1A字模型已知△ABC，AB至D，AC至E，∠1+∠2=∠A+180°【1A字模型1.(23-24八+∠CED=(·全·专)．)如△ABC中∠A=65°，交AB于D，AC于E，∠A.180°B.215°C.235°245°D根据三角形内角和定理求出∠+∠AED解：∵∠A=65°，∴∠+∠AED=180°-65°=115°，·1·∴∠+∠CED=360°-115°=245°，故选：D．180°是解题的关键．2.(23-24八年级·全国·专题练习)如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°么∠3-∠2的度数为．60°∠4∵∠1+∠4=180°∠1=120°，∴∠4=60°，∵∠3=∠2+∠4，∴∠3-∠2=∠4=60°，故答案为：60°．3.(23-24八年级·河北沧州·期中)琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD的是()A.变成四边形后对角线增加了两条C.外角和没有发生变化B.变成四边形后内角和增加了360°若剪掉的角的度数是60°∠1+∠2=240°BAB180°360°180°C360°D60°∠A+∠B=120°∠1+∠2=360°-120°=240°故选：B．4.(23-24·浙江杭州·二模)将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1=130°∠2的度数为．·2·40°/40度性质可得∠FGH=∠1=130°由题意得：AD∥BC，∴∠FGH=∠1=130°，∵∠FGH是△的一个外角，∴∠FGH=∠2+∠E，∵∠E=90°，∴∠2=130°-90°=40°，故答案为：40°．知识点28字模型①已知ADBC相交于O∠A+∠B=∠C+∠D12②已知线段AP平分∠BADCP平分∠BCD∠P=(∠B+∠D)285.(23-24八年级·浙江金华·期末)如图，BP平分∠ABC于点FDP平分∠ADC交AB于点EAB与相交于点G∠A=42°．·3·(1)若∠ADC=60°∠AEP的度数；(2)若∠C=38°∠P的度数．(1)72°(2)40°．12(1)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠ADC(2)根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF∠CBP=∠PBA∠A+∠ADP=∠P+∠ABP∠C+∠CBP=∠P+∠PDF∠A+∠C=2∠P(1)∵DP平分∠ADC，12∴∠ADP=∠PDF=∠ADC，∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；(2)∵BP平分∠ABCDP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°∠C=38°，12∴∠P=(38°+42°)=40°．8等式是解题的关键．6.(23-24八年级·河南漯河·期末)如图，AB和相交于点O∠A=∠C是()A.∠B=∠DDB.∠1=∠A+∠DC.∠2>∠D∠C=∠D∵∠A+∠+∠D=180°∠C+∠COB+∠B=180°∠A=∠C∠=∠BOC，·4·∴∠B=∠D，∵∠1=∠2=∠A+∠D，∴∠2>∠D，故选项ABC正确，故选D．7.(23-24八年级·北京怀柔·期末)AB,,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°∠A+∠B+∠C+∠F的度数为()．A.262°B.152°C.208°236°C∠1,∠2,∠3∠1=∠B+∠F=∠D+∠3∠2=∠A+∠C利用∠2,∠3∠1,∠2,∠3，∵∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F-28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F-28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故选C．义是解答此题的关键．8.(23-24八年级·全国·专题练习)∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．360°∠G+∠D=∠3∠F+∠C=∠4∠E+∠H=∠2·5·内角和定理可得答案．∵∠G+∠D=∠3∠F+∠C=∠4∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°．的和．知识点3①已知四边形ABCD∠C=∠A+∠B+∠D12②已知四边形ABCDBO平分∠ABC平分∠ADC∠O=(∠A+∠C)39.(23-24·河北秦皇岛·一模)如图，用铁丝折成一个四边形ABCD(点C在直线BD的上方)∠A=70°，∠=120°∠ABC∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°∠A∠(填)°．·6·增大10∠ABE+∠=30°∠ABC+∠ADC=60°AEAC并延长，∠BED=∠+∠=∠ABE+∠+∠=100°，∵∠=70°，∴∠ABE+∠=30°，∵BE分别是∠ABC∠ADC平分线，∴∠ABC+∠ADC=2(∠ABE+∠)=60°，同上可得，∠=∠+∠ABC+∠ADC=130°130°-120°=10°，∴∠增大了10°．10．结论是解题的关键．10.(23-24八年级·江苏苏州·阶段练习)∠A=52°∠B=25°∠C=30°∠D=35°∠E=72°∠F=°．70BECFGAG360°即可求解．BECFGAG∴∠AGB=180°-∠B-∠∠AGC=180°-∠C-∠CAG，∴∠AGB+∠AGC=180°-∠B-∠+180°-∠C-∠CAG=360°-∠B-∠C-∠=253°，·7·∴∠CGB=360°-∠AGB+∠AGC=107°．∵∠BED=72°，∴∠GED=108°，∴∠GFD=360°-∠GED-∠D-∠CGB=110°，∴∠CFD=70°．故答案为：70．11.(23-24八年级·全国·专题练习)∠EOC=115°∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=．230°∠EOC=∠E+∠2=115°∠2=∠D+∠C∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B∵∠EOC=∠E+∠2=115°∠2=∠D+∠C，∴∠E+∠D+∠C=115°，∵∠EOC=∠1+∠F=115°∠1=∠A+∠B，∴∠A+∠B+∠F=115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°，故答案为：230°．质．12.(23-24·河北邯郸·一模)(如图)∠A∠B∠∠D)(填增大5BDBD，∵∠+∠CBD=180°-∠A-∠ABC-∠ADC·8·∠+∠CBD=180°-∠∴∠A+∠ABC+∠ADC=∠∵∠A=90°∠ABC=25°∠=145°∴∠ADC=145°-25°-90°=30°∴30°-25°=5°5本题的关键．知识点4已知∠B=∠D=∠ACE=90°.则∠=∠DCE∠ACB=∠CED.∵∠B=∠D=∠ACE=90°∴∠+∠ACB=90°∠+∠ACB=90°∴∠=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE=90°∠CED+∠DCE=90°∴∠ACB=∠CED.413.(23-24八年级·广东珠海·期末)如图1AB⊥BC于点B⊥BC于点CE在线段BCAE⊥．(1)求证：∠EAB=∠CED；(2)如图2AFDF分别平分∠和∠∠F的度数是(直接写出答案即可)；(3)如图3EH平分∠CEDEH的反向延长线交∠的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．(内角和等于180°)(1)见解析；(2)45°(3)见解析(1)利用同角的余角相等即可证明；121212(2)过点F作FM∥AB∠=∠DFM+∠AFM=∠+∠EAB=(∠+∠EAB)即可解决问题；(3)想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题.(1)∵AB⊥BC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∴∠+∠AEB=90°，∵AE⊥，·9·∴∠AED=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∴∠=∠CED．(2)45°；过点F作FM∥AB∵AB⊥BC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，∴AB∥CD，∵∠C=90°，∴∠CED+∠=90°，∵∠=∠CED，∴∠+∠=90°，∵AFDF分别平分∠和∠，1212∴∠=∠∠=∠，12∴∠+∠=(∠+∠)=45°，∵FM∥AB∥CD，∴∠=∠DFM∠=∠AFM，∴∠AFD=∠+∠=45°．(3)∵EH平分∠CED，1∴∠CEH=∠CED，21∴∠BEG=∠CED，2∵AF平分∠，12∴∠=∠，∵∠=∠CED，∴∠=∠BEG，∵∠+∠BEA=90°，∴∠+∠GAE+∠AEB=90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG=90°，∴∠AGE=90°，∴EG⊥AF．14.(23-24八年级·陕西西安·期末)Rt△ABC中，∠ACB=90°D为BC的中点，⊥AB足为EB作BF∥AC交的延长线于点FCF．·10·(1)求证：AD⊥CF．(2)连接AF△ACF(1)见解析(2)△ACF(1)欲求证AD⊥CF∠CAG+∠ACG=90°∠CAG=∠BCF(2)要判断△ACF(1)CF=AF(1)△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠=∠CAB=45°，∵⊥AB，∴∠=90°，∴∠=45°，∵BF∥AC，∴∠CBF=180°-∠ACB=90°，∴∠BFD=45°=∠，∴BF=，又∵D为BC的中点，∴=，即BF=CD，BF=在△CBF和△中，∠CBF=∠=90°，CB=AC∴△CBF≌△()．∴∠BCF=∠CAD．∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°，即AD⊥CF．(2)解：△ACF连接AF由(1)知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△BE是∠的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，·11·∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．15.(23-24八年级·山西晋中·期中)请把下面的证明过程补充完整△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，是高，AE相交于点F：CF=CE．证明：∵AE平分∠CAB(已知)，∴∠CAE=∠(①)，∵∠ACE=90°(已知)，∴∠CAE+∠=90°(②)，∵是△ABC的高(已知)，∴∠=90°(三角形高的定义)，∴()(直角三角形的两个锐角互余)，③∴∠=∠AFD(∵∠CFE=∠AFD(∴∠CFE=∠CEF(④⑤⑥)，)，)，∴CF=CE(⑦)．∠+∠AFD=90°是解题的关键．∵AE平分∠CAB(已知)，∴∠CAE=∠(角平分线的定义)，∵∠ACE=90°(已知)，∴∠CAE+∠=90°(直角三角形的两锐角互余)，∵是△ABC的高(已知)，∴∠=90°(三角形高的定义)，∴∠+∠AFD=90°(直角三角形的两锐角互余)，∴∠=∠AFD(等角的余角相等)，∵∠CFE=∠AFD(对顶角相等)，∴∠CFE=∠CEF(等量代换)，∴CF=CE(等角对等边)．∠+∠AFD=90°·12·16.(23-24八年级·江苏扬州·阶段练习)在Rt△ABC中，∠CAB=90°AB=ACO是BCP是射线CB上的一个动点(点P不与点COB重合)C作CE⊥AP于点EB作BF⊥AP于点F接EO．(问题探究)如图1P点在线段COEO交BF于点G．(1)求证：△AEC≌△；(2)BG与AF的数量关系为：(拓展延伸)()；(3)①如图2P点在线段OB上运动，EO的延长线与BF的延长线交于点G∠的大小是否变化？若不∠②当P点在射线OBAE=2CE=6△(1)见解析；(2)BG=AF(3)①∠的大小不变，∠=45°△的面积为8或16(1)根据等角的余角相等得出∠CAE=∠ABF△AEC≌△AAS；(2)证明△COE≌△BOGAAS得出CE=BGCE=AFAF=BG；(3)①证明△AEC≌△AAS∠CEO=∠BGO证明△COE≌△BOGAAS得出∠=12∠=45°；(1)1中，∵CE⊥AEBF⊥AE，∴∠AEC=∠=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠=90°∠+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，∠AEC=∠在△AEC和△中，∠CAE=∠ABF，AC=∴△AEC≌△AAS；(2)BG=AF．理由：∵CE⊥AEBF⊥AE，∴CE∥BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中点，∴OC=OB，∠CEO=∠BGO在△COE和△BOG中，∠AOE=∠BOG，OC=OB·13·∴△COE≌△BOGAAS，∴CE=BG，∵△AEC≌△，∴CE=AF，∴AF=BG．故答案为：BG=AF．(3)2∠的大小不变，∠=45°．理由：∵CE⊥AEBF⊥AE，∴∠AEC=∠=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠=90°∠+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，∠AEC=∠在△AEC和△中，∠CAE=∠ABF，AC=∴△AEC≌△AAS；∴CE=AFAE=BF，∵CE⊥AEBF⊥AE，∴CE∥BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中点，∴OC=OB，∠CEO=∠BGOOC=OB在△COE和△BOG中，∠AOE=∠BOG，∴△COE≌△BOGAAS，∴CE=BGOE=OG，∴AF=BG，∴=FG，根据△≌△GFOSSS可得：∠=∠GFO12∴∠=∠=45°；②如图2AE=2CE=6时，=FG=6-2=4，121212∴S=S=××4×4=4如图3AE=2CE=6时，=FG=6+2=8，121212∴S=S=××8×8=16△的面积为8或16．·14·知识点5如图，∠A+∠O=∠1+∠2517.(23-24八年级·江苏扬州·阶段练习)△ABC沿∠A=60°∠1=95°∠2的度数为()A.24°B.35°C.30°25°D∠+∠AFE=120°∠FEB+∠=360°-120°=240°∠B′+∠EFC′=∠FEB+∠=240°∠1+∠2的度∠2的度数．∵∠A=60°，∴∠+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′+∠EFC′=∠FEB+∠=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故选D．18.(23-24八年级·重庆渝北·阶段练习)△ABC沿着B点与B∠1+∠2=80°，则∠B的度数为．·15·40°/40度∠B=∠∠BED=∠ED∠=∠∠BED+∠ED+∠1=180°∠+∠+∠2=180°∠1+∠2=80°∠BED+∠=140°∠B=180°-∠BED+∠∠B=∠∠BED=∠ED∠=∠，∵∠BED+∠ED+∠1=180°∠+∠+∠2=180°∠1+∠2=80°，∴∠BED+∠=140°，∴∠B=180°-∠BED+∠=40°，故答案为：40°．19.(23-24八年级·安徽铜陵·期中)△ABC纸片沿A落在点A′A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB∠1+∠2=120°∠′C的度数为()A.120°B.110°C.100°90°A∠∠CED是△的两个外角知∠=∠A+∠AED∠CED=∠A+∠∠+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠∠1+∠2=2∠A得到∠A=60°'平分1212∠ABCCA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB=(∠ABC+∠ACB)=90°-∠A．利用∠'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)可得答案．解：∵∠∠CED是△的两个外角，∴∠=∠A+∠AED∠CED=∠A+∠，∴∠+∠CED=∠A+∠AED+∠A+∠，∴∠1+∠+∠2+∠AED=2∠A+∠AED+∠，即∠1+∠2=2∠A，∵∠1+∠2=120°，∴∠A=60°，∵'平分∠ABCCA'平分∠ACB，12∴∠A'BC+∠A'CB=(∠ABC+∠ACB)·16·12=(180°-∠A)12=90°-∠A．∴∠'C=180°-(∠A'BC+∠A'CB)，12=180°-90°-∠A1=90°+∠A212=90°+×60°=120°．故选：A．20.(23-24八年级·山东烟台·期中)中可以得到新的解读．已知在△ABC∠1+∠2(或∠1-∠2)与∠A的数量关系．(1)∠A=80°截去∠A∠1+∠2=．(2)∠A=80°将∠AA落在BC上的点A'∠1+∠2=．(3)A落在点A'处∠1+∠2=80°∠B+∠C的度数(4)如图④，△ABC纸片沿A落在点A'∠1=80°∠2=24°∠A的度数．(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°(1)根据三角形内角和定理得出∠B+∠C=180°-80°=100°(2)利用翻折的性质得出∠'=∠∠AED=∠',根据三角形内角和定理得出∠+∠AED=100°(3)连接AA．根据三角形外角的性质得出∠1=∠'+∠'A∠2=∠EAA'+∠EA'A之间的数量关系得出∠EAD=40°(4)设AB与交于点F∠1=∠+∠A∠=∠+∠2出∠A=∠·17·(1)解：∵∠A=80°，∴∠+∠AED=180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°-∠-∠AED=260°，故答案为：260°；(2)∵∠A=80°，∴∠+∠AED=180°-80°=100°，∵翻折，∴∠'=∠∠AED=∠',∴∠'+∠AEA'=2(∠+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠'+∠AEA')=160°，故答案为：160°；(3)AA．如图所示：∵∠1=∠'+∠'A∠2=∠EAA'+∠EA'A，∴∠1+∠2=∠'+∠'A+∠EAA'+∠EA'A=∠EAD+∠EA'D，∵∠EAD=∠EAD，∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°-40°=140°．(4)AB与交于点F，∵∠1=∠+∠A∠=∠+∠2，由折叠可得，∠A=∠，∴∠1=∠A+∠+∠2=2∠A+∠2，又∵∠1=80°∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．是解题关键．知识点6·18·12在△ABC中，BICI分别是∠ABC和∠ACBI.则∠I=90°+∠A621.(23-24八年级·河南信阳·开学考试)如图，ADCE都是△ABCO∠C=30°，∠ECA=35°∠ABO的度数为．25°/25度∠ABO的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出∠=60°∠ACB=70°∠ABC=50°BO平分∠ABC∠ABO得解．∵AD平分∠CE平分∠ACB∠C=30°∠ECA=35°，∴∠=2∠=60°∠ACB=2∠ECA=70°，∴∠ABC=180°-∠-∠ACB=50°．∵△ABC的三条角平分线交于一点，∴BO平分∠ABC，12∴∠ABO=∠ABC=25°．故答案为：25°．22.(23-24八年级·全国·课后作业)△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BECF相交于点G∠A=66°∠BGC的度数为．123°/123度1212的等量关系是解答本题的关键．由角平分线的性质可知∠GBC=∠ABC∠GCB=∠ACB形内角和定理可知∠BGC=180°-∠GBC+∠GCB∵∠A=66°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=114°，∵BE和CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，·19·1212∴∠GBC=∠ABC∠GCB=∠ACB，12∴∠BGC=180°-∠GBC+∠GCB=180°-∠ABC+∠ACB=123°，故答案为：123°．23.(23-24八年级·河南信阳·开学考试)△ABC中，AD是BC边上的高，AEBF分别是∠和∠ABCO∠AOB=125°．求∠CAD的度数．∠CAD=20°．∠C=70°∠AOB=125°∠CAB+∠=110°∠C答案．∵AEBF分别是∠和∠ABC的角平分线，1212∴∠OAB=∠∠=∠ABC．∴∠CAB+∠=2(∠OAB+∠)=2180°-∠AOB∵∠AOB=125°，∴∠CAB+∠=110°，∴∠C=70°．∵AD是BC边上的高∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°．24.(23-24八年级·山东烟台·期末)△ABC中，∠A=90°BE分别平分∠ABC和∠ACB12于FEG∥BCCG⊥EG于点G∠CEG=2∠DCA∠DFE=130°∠=∠G：④∠ADC=∠GCD△EGC()A.①③④⑤DB.①②③④C.①②③①③④定义是解题的关键．∠ADC+∠=90°∠+∠=·20·90°∠BFC=135°件无法推出⑤．∵平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA∠=∠∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA∵∠A=90°CG⊥EGEG∥BC，∴∠ADC+∠=90°CG⊥BC∠BCG=90°，∴∠+∠=90°，又∵∠=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE分别平分∠ABC∠ACB，1212∴∠FBC=∠ABC,∠FCB=∠ACB，12∴∠BFC=180°-∠FBC-∠FCB=180°-(∠ACB+∠ABC)=135°，∴∠=180°-∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，12∴∠=∠G∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，CG=CE△EGC∴正确的有①③④，故选：D．知识点712在△ABC中，BICI分别是△ABCO.则∠O=90°-∠A.1212∵BO是∠EBC平分线，∴∠2=∠EBC∵CO是∠FCB平分线，∴∠5=∠FCB由△BCO中内角和定理可知：1212121212∠O=180°-∠2-∠5=180°-∠EBC-∠FCB=180°-(180°-∠ABC)-(180°-∠ACB)=(∠ABC112+∠ACB)=(180°-∠A)=∠O=90°-∠A27·21·25.(23-24八年级·全国·专题练习)△ABC中，∠B=58°E∠AEC=．61°∠C+∠ACF∠EAC+∠ECA∵∠B+∠+∠BCA=180°∠B=58°，∴∠+∠BCA=180°-∠B=180°-58°=122°，∵∠+∠C=180°∠BCA+∠ACF=180°，∴∠C+∠ACF=360°-(∠+∠BCA)=360°-122°=238°，∵AE平分∠CE平分∠ACF，1212∴∠EAC=∠∠ECA=∠ACF，12∴∠EAC+∠ECA=(∠+∠ACF)=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-(∠EAC+∠ECA)=180°-119°=61°，故答案为：61°．的定义是解答的关键．26.(23-24八年级·河南郑州·阶段练习)如图，G是ΔAFE两外角平分线的交点，P是ΔABC的两外角平分线的交点，FC在AN上BE在AM∠FGE=66°∠P=度．66∠G=180°-×[360°-(180°-∠A)]=90°12121212-∠A∠P=180°-×[360°-(180°-∠A)]=90°-∠A∠P=∠FGE=66°．G是△AFE两外角平分线的交点，1212∴∠FGE=180°-×[360°-(180°-∠A)]=90°-∠A，∵P是△ABC两外角平分线的交点，1212∴∠P=180°-×[360°-(180°-∠A)]=90°-∠A，∴∠P=∠FGE=66°．·22·故答案为：66．进行求解是解题的关键．27.(23-24八年级·山东聊城·期末)△ABC中，∠ABC∠ACB的平分线交于点OD是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC∠BOC=130°∠D的度数为()A.25°B.30°C.40°50°C∠=∠ACO+∠=90°∠BOC=∠+∠D∵CO平分∠ACB平分∠ABC的外角，1212∴∠ACO=∠ACB∠=∠ACF，∵∠ACB+∠ACF=180°，12∴∠=∠ACO+∠=∠ACB+∠ACF=90°，∴∠BOC=∠+∠D，∴∠D=∠BOC-∠=130°-90°=40°，故选择C．可得∠=90°∠BOC=∠+∠D．28.(23-24八年级·全国·课后作业)(分类讨论思想)△ABC的两外角平分线交于点F．(1)如图1∠A=30°∠BFC的度数为(2)如图2F作直线MN∥BCABAC于点MN∠MFB=α∠NFC=β∠A与α+β的数量关系是．．(3)在(2)MN绕点F转动．①如图3MN与线段BC∠A与αβ·23·②当直线MN与线段BC∠A与αβ(1)75°1(2)α+β-∠A=90°2121212(3)①α+β-∠A=90°β-α-∠A=90°或α-β-∠A=90°(1)由三角形内角和定理可得∠ACB+∠ABC=180°-∠A∠CBD+∠BCE=180°+∠A，1再由角平分线的定义可得∠CBF+∠BCF=90°+∠A∠BFC=90°212-∠A12(2)由(1)可得由(1)可得∠BFC=90°-∠Aα+∠BFC+β=180°代入进行计算即可；12(3)①根据(1)中的结论∠BFC=90°-∠A12(1)中的结论∠BFC=90°-∠A(1)解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠ACB+∠ABC=180°-∠A，∵∠ACB+∠BCE=180°∠ABC+∠CBD=180°，∴∠CBD+∠BCE=180°-∠ABC+180-∠ACB=360°-∠ABC+∠ACB=360°-180°-∠A=180°+∠A，∵BF和CF分别是∠和∠BCE的平分线，1212∴∠CBF=∠CBD∠BCF=∠BCE，∴∠CBF+∠BCF，12121212===∠CBD+∠BCE∠CBD+∠BCE×180°+∠A12=90°+∠A，∵∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，1212∴∠BFC=180°-∠CBF+∠BCF=180°-90°+∠A=90°-∠A=75°，故答案为：75°；1(2)解：α+β-∠A=90°，212由(1)可得∠BFC=90°-∠A，∵α+∠BFC+β=180°，1∴α+β+90°-∠A=180°，212即α+β-∠A=90°．·24·12(3)MN与线段BC没有交点时，α+β-∠A=90°，理由如下：1∵∠BFC=90°-∠A∠MFB+∠NFC+∠BFC=180°，21∴α+β+90°-∠A=180°，212即α+β-∠A=90°；②当直线MN与线段BC∠A与αβ12a．如图1M在线段AB上，N在射线AC上时，β-α-∠A=90°，，1∵∠BFC=90°-∠A∠BFC-∠MFB+∠NFC=180°，212∴90°-∠A-α+β=180°，12即β-α-∠A=90°，12b．如图2M在射线AB上，N在线段AC上时，α-β-∠A=90°，，1∵∠BFC=90°-∠A∠BFC-∠NFC+∠MFB=180°，212∴90°-∠A-β+α=180°，12即α-β-∠A=90°．知识点812已知△ABC中，BPCP分别是△ABCP.则∠P=∠A1212∵BP是∠ABC平分线，∴∠3=∠ABC∵CP是∠ACE平分线，∴∠1=∠ACE由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A⋯⋯①·25·1对①式两边同时除以2：∠1=∠3+∠A⋯⋯②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P⋯⋯③212比较②③式子可知：∠P=∠A.829.(23-24八年级·江苏泰州·期末)BC分别在AMAN上运动(不与A重合)是∠BCN的平分线，的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB∠A∠-∠ABP∠ABC∠P大小的是()A.①B.②C.③④D∠P=∠-∠ABP∠A=∠NCB-∠ABC∵是∠BCN的平分线，的反向延长线交∠ABC的平分线于点P，∴∠=∠BCD∠ABP=∠CBP，∵∠P=∠DCB-∠CBP，∴∠P=∠-∠ABP，∴③能求出∠P的大小；∵∠A=∠NCB-∠ABC=2∠-∠ABP∠P=∠-∠ABP1∴∠P=∠A，2∴②能求出∠P的大小；∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，∴∠A=180°-∠ABC+∠ACB1∵∠P=∠A，21212∴∠P=180°-∠ABC+∠ACB=90°-∠ABC+∠ACB，∴①能求出∠P∠P的大小；故选：D．30.(23-24八年级·四川遂宁·开学考试)D为△ABC边BC∠A:∠ABC=3:4，∠=140°∠ABC的角平分线与∠的角平分线交于点M∠M=度．·26·301先根据∠A:∠ABC=3:4∠=140°∠ABC=80°∠CBM=∠ABC=40°,∠=212∠=70°∵∠=140°，∴∠A+∠ABC=140°∵∠A:∠ABC=3:4，43+4∴∠ABC=140°×=80°，∵BM平分∠ABCCM平分∠ACD，1212∴∠CBM=∠ABC=40°,∠=∠=70°，∴∠M=∠DCM-∠CBM=30°，故答案为：30．31.(23-24八年级·四川眉山·开学考试)如图，∠ABC=∠ACBADBD分别平分∠EAC∠ABC和∠ACFAD∥BC∠ACB=2∠平分∠ADC∠ADC=90°-∠ABD．其中正确的结论有．(填序号)∠EAD=∠∠EAC=∠ACB+∠ABC∠ABC=∠ACB∠EAD=∠ABCAD∥BC∠=∠由BD平分∠ABC∠ABD=∠∠ABC=2∠平分∠ADC∠ADC+∠CAD+∠=180°∠ADC+∠CAD+∠=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC②由(1)可知AD∥BC，∴∠=∠，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠，∴∠ABC=2∠，∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠·27·③若平分∠ADC，∴∠=∠，∵∠=∠=∠ABD，∴∠=∠=∠ABD=∠，∴∠ABC=∠ADC.④在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠=180°，∵平分△ABC的外角∠ACF，∴∠=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF∠=∠∠CAD=∠ACB，∴∠=∠ADC∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°，∴∠ADC=90°-∠ABD角性质.32.(23-24八年级·河南开封·期末)△ABC中，∠A=48°△ABC的内角∠ABC与外角∠的平分线相交于点A到∠A∠ABC与∠A的平分线相交于点A∠A⋯⋯按此规律继续下去，111122∠ABC与∠A的平分线相交于点A∠An的最大值为()nnA.3B.4C.56B1n的关键．先根据外角和定理得出∠=∠ABC+∠A∠An=∠A即可得到2答案．∵∠是△ABC的一个外角，∴∠=∠ABC+∠A，∵△ABC的内角∠ABC与外角∠的平分线相交于点A到∠A∠ABC与∠A的平分线相交于1111点A2，1212∴∠ABC=∠ABC∠ACA=∠ACD，∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB1111=180°-∠ABC-(∠ACB+∠ACA)2121121=180°-∠ABC-∠ACB-∠=180°-∠ABC-∠ACB-(∠ABC+∠A)22·28·1=180°-∠ABC-∠ACB-∠A212=∠A-∠A12=∠A，12122同理可得，∠A2=∠A1=∠A，1213∠A3=∠A2=∠A，2......12n∠An=∠A，∵∠A=48°，12n∴∠An=×48°，∵∠An的度数为整数，48=3×24，∴n的最大值为4．故选B．知识点9①将三角形纸片ABC沿C落在线段AC∠2=2∠C.12②将三角形纸片ABC沿C落在四边形ABFE内部时,则2∠C=∠1+∠2或∠C=(∠1+∠2)12③将三角形纸片ABC沿C落在四边形ABFE外部时,则2∠C=∠2-∠1或∠C=(∠2-∠1).933.(23-24八年级·河南信阳·开学考试)ABC沿折叠．·29·(1)当点A落在四边形内部时，∠A∠1∠2的理由；(2)当点A落在四边形外部时，∠A∠1∠2理由．1(1)∠A=∠1+∠2212(2)∠A=∠1-∠2(1)根据翻折的性质表示出∠3∠4(2)先根据翻折的性质以及平角的定义表示出∠3∠412(1)解：∠A=∠1+∠2如图，1212根据翻折的性质，∠3=180°-∠1∠4=180°-∠2，∵∠A+∠3+∠4=180°，1212∴∠A+180°-∠1+180°-∠2=180°，12整理得，∠A=∠1+∠2；12(2)∠A=∠1-∠2如图：1212根据翻折的性质，∠3=180°-∠1∠4=180°+∠2，∵∠A+∠3+∠4=180°，1212∴∠A+180°-∠1+180°+∠2=180°，12整理得，∠A=∠1-∠2．34.(23-24八年级·上海·期中)△ABC中，DE分别是边AB和AC△ABC纸片沿·30·A落在点F的位置．如果DF∥BC∠B=60°∠