初中数学《二次函数》考点梳理含解析

第二十二章二次函数知识归纳与题型突破(14题型清单)01思维导图02知识速记1.二次函数y=ax2+bx+c(abc是常数，a≠0).的定义知识点2(1)三种解析式：2.解析式①一般式：y=ax2+bx+c;·1·②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)(h,k);③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.(2)(组).*若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对x.图象开口向上向下3.二次函数的图象和性质b2ax=x=-对称轴b4ac-b24a-,顶点坐标2ab2a当x>-时，y随x的增大b2ab当x>-当x<-时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小.b增减性x<-时，y随2a2ax的增大而增大.b2a4ac-b2b2a4ac-b24a最值x=-y最小=.x=-y最大=.4a决定抛物线的开口方向及开口大小当a>0当a<0.ab2ab2ab2a当ab同号，-<0y轴左边；=0y轴；决定对称轴b2a、bx=-的位当b=0时，-当ab异号，-3.系数ab、c的作用置>0y轴右边．当c>0y轴的交点在正半轴上；决定抛物线与ycc=0当轴的交点的位置当c<0y轴的交点在负半轴上.b2-4ac>0x轴有2个交点;决定抛物线与xb2-4acb2-4ac=0x1;轴有个交点轴的交点个数b2-4ac<0x轴没有交点知识点34.平移与解析式的关系·2·()二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴交点的横坐标是一元二次方程1.二次函+bx+c=0的根.xax2当Δ=b2-4ac>0数与一元二次方程当Δ=b2-4ac=0当Δ=b2-4ac<02.二次函抛物线y=ax2+bx+c=0在xx的所ax2+bx+c>0x数与不等有值就是不等式式对应的x的值就是不等式ax2+bx+c<0的解集.1①②确定自变量的取值范围；②.2①②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；④检验x④解决提出的实际问题.3①②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③④03题型归纳题型一ꢀ列二次函数1.(23-24九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中)(墙的长度为20m)34m长的篱笆围成两1mAB的长为xm．(1)若两个鸡场的面积和为SS关于x的关系式；(2)两个鸡场面积和S可以等于160(m)AB的值．·3·【(1)S=-3x2+36x(1)解(2)不能【S=x(34-3x+2)=x(36-3x)=-3x2+36x，即S关于x的关系式是S=-3x2+36x(2)解-3x2+36x=160即3x2-36x+160=0；∵Δ=b2-4ac=362-4×3×160=-624<0，原方程无实数解∴两个鸡场面积和S不能等于160(m)2.(23-24八年级下·福建福州·期末)某厂今年一月份新产品的研发资金为9资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为()A.y=91+x2B.y=9+9x+x2y=91+x2C.y=9+91+x+91+x2【【C91+x，91+x，今年一季度新产品的研发资金y=9+91+x+91+x，故选C．3.(23-24七年级下·辽宁本溪·期中)已知一正方体的棱长是3cmxcm加ycm与之间的函数关系式是2yx()A.y=6x2-36xB.y=-6x2+36xC.y=x2+36xy=6x2+36x【【Dy=6x+3-6×32=6x2+36x，故选D．4.(23-24九年级上·山西太原·阶段练习)相框边的宽窄影响可放入相片的大小．如图，相框长26cm22cmxcmycm2y与x之间的函数关系式为．【【y=4x2-96x+5720<x<11y=26-2x22-2x展开得y=572-52x-44x+4x2整理得y=4x2-96x+572·4·x>026-2x>0;22-2x>0解得：0<x<11．∴y与x之间的函数关系式为y=4x2-96x+5720<x<11，故答案为：y=4x2-96x+5720<x<11题型二ꢀ根据二次函数定义求参数5.(2024九年级下·江苏·专题练习)已知函数y=m2-9x2-m-3x+2．(1)当m(2)当m(1)m≠±3(2)m=-3(1)y=m2-9x2-m-3x+2为二次函数时，则m2-9≠0即m≠±3．，(2)y=m2-9x2-m-3x+2为一次函数时，m2-9=0则，-m-3≠0解得：m=-3．6.(23-24八年级下·广西南宁·期末)二次函数y=3x2+6x+1的一次项系数为()A.-6B.1C.36Dy=3x2+6x+1的一次项系数是；6故选：D.7.(23-24八年级下·云南·期末)若函数y=(m-2)x2m+x-1是关于x的二次函数．则常数m的值是．-1∵y=(m-2)x2m+x-1是关于的二次函数，xm-2≠0m2-m=2∴，解得：m=-1．故答案为：-18.(23-24八年级下·全国·课后作业)如果y=k-3x1+x-3k的值为3出k的值为-1．∵y=k-3x1+x-3是二次函数，∴k-1=2，解得k=3k=-1，12又∵k-3≠0，即k≠3，∴k=-1，·5·故敏敏正确．题型三ꢀy=ax2的图象和性质9.(24-25九年级上·全国·假期作业)已知函数y=(m+3)x22是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m(3)当m(4)试说明函数的增减性．(1)m=-4或m=1(2)当m=-4(3)当m=1(4)见解析m2+3m-2=2m+3≠0(1)，m=-4,m=1m≠-312解得，∴当m=-4或m=1(2)∵图像开口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，∴当m=-4(3)∵函数有最小值，∴m+3>0，则m>-3，∴m=1，∴当m=1(4)当m=-4y=-x2y轴，当x<0时，y随xx>0时，y随x的增大而减小；当m=1y=4x轴，2y当x<0时，y随xx>0时，y随x的增大而增大．a>0a<010.(24-25九年级上·全国·假期作业)函数y=ax与y=ax2a≠0在同一直角坐标系中的大致图象可能是()A.B.C.B·6·A.函数y=ax图形可得a<0y=ax2a≠0而不是交yA不正确；B.函数y=ax图形可得a<0y=ax2a≠00,0,故选项B正确；C.函数y=ax图形可得a>0y=ax2a≠0C不正确；D.函数y=ax图形可得a<0y=ax2a≠0D不正确；故选B．11.(2024·广东·中考真题)若点0,y,1,y,2,y都在二次函数y=x2()312A.y>y>yB.y>y>yC.y>y>yy>y>y232121313231A∶二次函数y=x的对称轴为2y∴当x>0时，y随x的增大而增大，∵点0,y,1,y,2,y都在二次函数y=x20<1<2，312∴y>y>y，321故选∶A．12.(23-24九年级上·广东东莞·阶段练习)已知抛物线y=ax2a的取值范围是．a>0/0<a∵抛物线y=ax2的开口向上，∴a>0，故答案为：a>0．13.(2024·广东佛山·二模)OABC的边长为2C在yy=ax2过点B．若∠AOC=60°a=．-1B作BD⊥y轴交y轴于点D，∵菱形OABC的边长为2，∴OC=BC=2，∵∠AOC=60°，∴∠=60°，3212∴BD=BCsin∠BOC=2×=3=2cos60°=2×=1，∴B-3,-3，把B-3,-3代入y=ax2，∴-3=3a，·7·∴a=-1，故答案为：-1题型四ꢀy=ax2的图象和性质14.(2024·广西·三模)已知点A-1,yB2,y都在二次函数y=-2x2+1y,y的大小关系是2112()A.y1<y2BB.y1>y2C.y1=y2无法确定∵函数y=-2x2+1的对称轴为轴，y∴A-1,yB2,y在对称轴两侧，21∵-1<2，∴y>y．12故选：B．15.(23-24九年级上·山西晋城·期末)y=-2x2+1的图象是()A.B.C.Ca<0c>0y轴的交点在x根据二次函数系数acy=-2x2+1可知二次函数∵a<0，y=-2x2+1的图象的对称轴为轴，y∴AB错误；∵c>0yC正确；故选：C．16.(2023·江西九江·二模)y=ax2-aa≠0的图象可能是()·8·A.B.C.Dy=ax2-aa≠0的对称轴为轴，yAa>0y-a>0a<0Ba>0y-a<0a>0yCa<0y-a<0a>0Da<0y-a>0a<0y意；故选：D．17.(23-24九年级上·山东临沂·期末)y=ax2-c经过正方形OABC的三个顶点ABCB在yac的值为()A.-1B.1C.-22DAC交y轴于点D，对于y=ax2-c∴OB=-c，x=0y=-c时，，∵四边形OABC是正方形，∴AC=OB=2=2AD=-c，c2c2∴A-,-，c2c2∴-=a⋅--c，2解得ac=2，·9·故选D．18.(2024·上海浦东新·二模)沿着xy=(k-1)x2+1在y轴左侧的部分是上升的，那么k的取值范围是k<1．∵抛物线y=(k-1)x2+1在对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向下，∴k-1<0k<1．故答案为：k<1．19.(23-24九年级上·山东临沂·阶段练习)如果抛物线y=a-1x2+1(a为常数)经过了平面直角系的四个a的取值范围是a<1．∵抛物线y=a-1x2+1(a为常数)恒过点0,1∴抛物线开口向下，∴a-1<0，解得：a<1，故答案：a<1．题型五ꢀy=ax-h+k的图象和性质20.(2024九年级下·江苏·专题练习)探究二次函数y=2(x-3)2-1①图象的开口方向是；②图象的对称轴为直线③图象与y轴的交点坐标为；；④当x=x=3(0,17)3-1∵y=2(x-3)2-1∴x=33,-1，y．，∴当x=3时，y有最小值-1，令x=0y=17，∴图象与y轴的交点坐标为(0,17)，x=3(0,17)3-1．1321.(2024·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测)对于抛物线y=-(x-5)2+3()A.对称轴是直线x=5B.函数的最大值是3C.(53)当x>5时，y随x的增大而增大.D13Ay=-(x-5)2+3x=5131313By=-(x-5)2+33Cy=-(x-5)2+3(53)Dy=-(x-5)2+3x>5时，y随x·10·故选：D．235222.(2024·四川凉山·中考真题)抛物线y=x-12+c经过-2y，0y，yyyy的123123大小关系正确的是(A.y>y>y)B.y>y>yC.y>y>yy>y>y132123231312D23y=x-1+cx=1，52∵-2,y，0,y，,y，123523232而1--2=31-0=1，-1=1<<3∴点0,y-2,y离对称轴最远，12∴y>y>y；132故选：D．23.(2024·江苏泰州·二模)二次函数y=ax-h2+k(a≠0hk为常数)x=1时，y=1；当x=6时，y=6．则h的值可能为()7292A.2B.3C.Da1-h2+k=1①a=a6-h2+k=6②172h>7-2h∵当x=1时，y=1x=6时，y=6，a1-h2+k=1①∴，a6-h2+k=6②即②-a6-h2-1-h2=5，1整理得：a=，7-2h∵二次函数图像开口向下，1∴a=∴h><0，7-2h72，故选：D．24.(23-24九年级下·广东深圳·阶段练习)y=(x-2)2-2的顶点为Ay轴交于点B线AB的表达式为．·11·y=-2x+y=2-2x∵y=x-22-2，∴顶点A的坐标为2-2，令x=0y=(-2)2-2=2，∴B的坐标为02，设直线AB的解析式为y=kx+b，2k+b=-2则，b=2k=-2b=2解得，∴直线AB的表达式为y=-2x+2，故答案为：y=-2x+2．25.(2024·上海虹口·二模)已知二次函数y=-x-42y随自变量xx的取值范围是(A.x≥4)B.x≤4C.x≥-4x≤-4Ay=-x-4，∵-1<0，∴y=-x-42x=4，∴x≥4y随自变量x的增大而减小，故选：A．题型六ꢀy=ax2+bx+c的图象和性质26.(2024·北京·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，Mx,yNx,y是抛物线y=ax2+bx+ca>01122x=t．(1)若对于x=3,x=4y=yt的值；1212(2)若对于2<x<3,3<x<4y<yt的取值范围．121272(1)5(2)t≤2(1)解：∵对于x=3,x=4有y=y，1212x1+x72∴抛物线的对称轴为直线x=2=，2∵抛物线的对称轴为x=t．72∴t=；·12·(2)解：∵当2<x<3,3<x<4，1252x1+x72∴<2<x<x，122∵y<ya>0，12∴x,y离对称轴更近，x<xx,y与x,y的中点在对称轴的右侧，21112112x1+x∴2>t，25即t≤．227.(2024·四川乐山·中考真题)已知二次函数y=x2-2x-1≤x≤t-1x=-1x=1t的取值范围是()A.0<t≤2CB.0<t≤4C.2≤t≤4t≥2解题的关键．由y=x2-2x=x-12-1x=1，1-1x=-1时，y=3-13关于对称轴对称的点坐标为33x=-1x=11≤t-1≤3∵y=x2-2x=x-12-1∴x=11-1，，当x=-1时，y=3，∴-13关于对称轴对称的点坐标为33，∵当x=-1x=1∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，故选：C．28.(23-24八年级下·江西宜春·期末)y=ax2+bx+c的图象与y12为,1abc<0b2-4ac>0a+b+c<0a+b=04ac-b2=4a．其中正确的个数是()A.1B.2C.34D∵抛物线开口向下，∴a<0，b2a12∵抛物线的对称轴为直线x=-=，·13·∴b=-a>0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0∵抛物线与x轴有2个交点，∴Δ=b2-4ac>012∵抛物线的对称轴为x=，∴x=0和x=1对应的函数值相等，∴x=1时，y>0a+b+c>0∵b=-a，∴a+b=0∵顶点坐标纵坐标为1，4ac-b2∴=1，4a∴4ac-b2=4a故选：D．29.(24-25九年级上·全国·单元测试)y=ax2+bx+c与x轴交于点6,0称轴为直线x=2abc<0a-b+c>04a+b=0Px,y1和Qx,y)x<2<x且x+x>4y<y．其中正确的是22121212∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线交y轴于正半轴，∴c>0，b2a∵对称轴为直线x=2x=-=2>0，∴b=-4a>0，∴abc<0∵抛物线对称轴为直线x=2当x=5时，y>0，∴x=-1时，y>0，即a-b+c>0∵对称轴为直线x=2，b2a∴-=2，∴b=-4a，∴4a+b=0·14·∵x=2，若x<2<x且x+x>4点Px,y到对称轴的距离小于Qx,y2到直线的距离，121211∴y>y12∴正确的是①②③．30.(2024·四川内江·二模)y=ax2+bx+ca≠0的对称轴为直线x=-2x轴的一个交点在-3,0和-4,04a-b=0c<0-3a+c>92521204a-2b≥at2+bt(t为实数)-,y,-,y，-,yy<y<12312y．其中正确的个数是()A.4B.3C.21A∵抛物线的对称轴为直线x=-2，b∴x=-=-2，2a∴4a-b=0∵x轴的一个交点在-3,0和-4,0之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在-1,0和0,0之间，∴抛物线与y轴的交点在负半轴上，∴c<0对于y=ax2+bx+cx=-1时，，y=a-b+c∵抛物线与x轴的另一个交点在-3,0和-4,0∴点1,a-b+c在第二象限，∴a-b+c>0，由①得，4a-b=0b=4a，∴a-4a+c>0，即-3a+c>0对于y=ax2+bx+c∵抛物线对称轴为x=-2，∴点-2,4a-2b+c为抛物线的顶点，x=-2时，y=4a-2b+cx=t(t为实数)时，y=at2+bt+c，又∵抛物线开口向下，∴y=4a-2b+c为抛物线的最大值，∴4a-2b+c≥at2+bt+c，即4a-2b≥at2+bt·15·∵x=-2，∴y>y>y123故选：A．31.(23-24八年级下·浙江金华·期末)点A-4,y,B-2,y,C1,y,D4,y是二次函数y=-2x2-4x+c1234+2()A.若yy>0yy>0B.若yy>0yy>012341423C.若yy<0yy<0若yy<0yy>034122314Db2a-4-4∵二次函数y=-2x2-4x+c+2的对称轴为：x=-=-=-1∴∴y>y>y>y，2314A.若yy>0yy>01234B.若yy>0yy>01423C.若yy<0yy<03412D．若yy<0yy>02314故选：D．32.(23-24八年级下·云南·期末)已知抛物线y=x2+bx+c经过点1,0和点0,3．(1)求此抛物线的解析式及顶点坐标；(2)当自变量x满足-1≤x≤3y的取值范围；(3)将此抛物线沿x轴平移mx满足1≤x<5时，y的最小值为5m的值．(1)解析式为：y=x2-4x+32,-1(2)-1≤y≤8(3)3+6或1+6(1)1,0和点0,3代入y=x2+bx+c中得，1+b+c=0c=3b=-4c=3，∴y=x2-4x+3，∵y=x2-4x+3=x-22-1，∴顶点坐标为2,-1；(2)解：∵y=x-22-1，∴二次函数对称轴为：x=2，∵a=1>0，∴此时函数有最小值-1，∵自变量x满足-1≤x≤3时，当x=-1时，y=x2-4x+3=(-1-2)2-1=8，当x=3时，y=x2-4x+3=(3-2)2-1=0，∴自变量x满足-1≤x≤3时，y的取值范围为：-1≤y≤8；(3)解：∵将此抛物线沿x轴平移m个单位后，∴设此抛物线沿x轴向右平移m个单位后解析式为y=(x-2-m)2-1，·16·∵当自变量x满足1≤x<5时，y的最小值为5，∴2+m>5m>3，此时x=5时，y=55=(5-2-m)2-1m=3+6,m=3-6(舍去，)12设此抛物线沿x轴向左平移m个单位后解析式为y=(x-2+m)2-1∵当自变量x满足1≤x<5时，y的最小值为5，∴2-m<1m>1，，此时x=1时，y=55=(1-2-m)2-1m=1+6,m=1-6(舍去，)12综上所述：m的值为：3+6或1+6．题型七ꢀ二次函数图象与系数符号之间的关系33.(23-24九年级上·河南商丘·阶段练习)如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，ABC为抛物线与坐标OA=OC=1()A.ac<0B.a-b=1C.a+b=-1b>2aD∵OC=1，∴c=1，又∵x=1时，y>0，∴a+b+1>0，∴a+b>-1，∴选项C不正确；∵抛物线开口向上，∴a>0；又∵c=1，∴ac=a>0，∴选项A不正确；∵OA=1，b2a∴x=-<-1，又∵a>0，∴b>2a，∴选项D正确；∵OA=1，∴x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，又∵c=1，∴a-b=-1，∴选项B不正确．·17·故选：D．34.(2024·浙江·模拟预测)已知二次函数y=ax2-x-cy>0时，-2<x<1y=ax2+x-c的图象可能为()A.B.C.D∵二次函数y=ax2-x-cy>0时，，-2<x<1∴x轴的两个交点坐标为-2,0和1,0∴a<0，-12a12a∴对称轴为x=-=∵二次函数y=ax2+x-c1∴对称轴为x=-2a∴二次函数y=ax2-x-c和二次函数y=ax2+x-c的图象关于y轴对称∴二次函数y=ax2-x-c与x轴的交点坐标为-1,0和2,0∴二次函数y=ax2+x-c的图象可能为故选：D．35.(23-24八年级下·四川广安·期末)二次函数y=mx2+2mx-(3-m)m的取值范围是()A.m<3DB.m>3C.m>00<m<3m>0y轴交于负半轴可以推出m-3<0x轴有两个交点(b2-4ac>0)m的取值范围．∵抛物线的开口向上，∴m>0∵二次函数与y轴交于负半轴，∴m-3<0∵抛物线与xb2-4ac>0，·18·∴2m2-4mm-3>0联立①②③解之得：0<m<3．∴m的取值范围是0<m<3．故选：D．36.(2024·广西钦州·三模)在平面直角坐标系xOyy=ax2+bx+ca≠0结论中正确的是()A.abc>0B.2a+c<0若ma-b≥mam+bC.9a-3b+c<0Ba>0，抛物线的对称轴为直线x=-1x=-b2a=-1∴b=2a>0，抛物线与yc<0∴abc<0A选项错误；∵当x=1时，a+b+c=0，∴c=-a-b=-a-2a=-3a∴2a+c=2a-3a=-a<0B正确∵抛物线的对称轴为直线x=-1x=1和x=-3时，y=0∴9a-3b+c=0C错误；∵a>0x=-1∴若ma-b+c≤am2+bm+ca-b≤mam+bD错误，故选：B．37.(2024·山东德州·二模)小红从图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中．观察得出了下面五条信息：①b>0abc>0a-b+c>02a-3b=0c-4b>0，你认为其中正确信息的个数有()A.2个B.3个C.4个5个B·19·∵抛物线开口方向向上，∴a>0，∵与y轴交点在x轴的下方，∴c<0，b2a13∵-=>0，∴b<0，∴abc>0，∴b2a13∵对称轴-=，∴3b=-2a，∴2a+3b=0，∴④是错误的；当x=-1y=a-b+c-1a-b+c在第二象限，∴a-b+c>0∴③是正确的；当x=2时，y=4a+2b+c=2×-3b+2b+c=c-4b，而点2,c-4b在第一象限，∴c-4b>0∴⑤是正确的．故选：B．题型八ꢀ二次函数图象对称性的应用38.(23-24八年级下·北京海淀·期末)在平面直角坐标系xOy4,2在抛物线y=ax2+bx+2a<0上．(1)直接写出抛物线的对称轴；(2)抛物线上两点Px,yQx,yt≤x<t+24-t<x≤6-t．211212①当t=1yy的大小关系；12②若对于xxy≠yt的取值范围．1212(1)对称轴为直线x=2(2)①y>yt<1或t≥312(1)y=ax2+bx+2a<0即抛物线与y轴的交点(0,2)，x=0，y=2故点(0,2)与点4,2关于抛物线对称轴对称，0+4而=2x=2；2(2)t=1时，1≤x<33<x≤5，12∴x<x；12∴x-2≤11<x-2≤3，12即x-2<x-2，12∵a<0，∴y>y；12②设点P关于直线x=2的对称点为M(x,y)，00·20·则x+x=4x=4-x；1001∵t≤x1<t+2，∴2-t<x0≤4-t；而4-t<x2≤6-t，则x≠x．02∵y≠y，12∴x≠xx≠x，0212故当t+2<4-t或6-t≤t时，x≠x，12解得：t<1或t≥3．39.(23-24八年级下·云南·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是()xy⋯⋯-101331⋯⋯-3132A.直线x=-1BB.直线x=C.直线y=3y轴∵当x=0x=3时的函数值都是1，0+33232∴这个二次函数图象的对称轴是直线x=故选B．=x=，21240.(23-24八年级下·北京海淀·期末)若点A0,yB,yC3,y在抛物线y=x-12+ky，2311yy的大小关系为(用“)．23y>y>y231y=x-1+kx=1，故点C关于对称轴的对称点D的坐标为(-1,y)，12而-1<0<<1a=1>0，所以当x<1故y>y>y，312故答案为：y>y>y．31241.(2024·湖北武汉·三模)已知抛物线y=ax-22+k(ak为常数)的x与y的部分对应值如表所示；xy-2145tmnpqm下列四个结论：①t=6②若ak>0x轴没有交点；③若n>pm>q；④若n·p=0m·q>0，其中正确的结论是(填写序号)．·21·∵抛物线y=ax-2+k∴对称轴为直线x=2,∵x=-2和x=t时的函数值相等，-2+t∴=2t=62∵ak>02,k当a>0,k>02,k在第一象限，∴该抛物线与x轴没有交点；当a<0,k<02,k在第四象限，∴该抛物线与x③若n>p4-2>2-1∴抛物线开口向下，又∵2--2>5-2-2,m比5,q离对称轴远，∴m<q∵-2,m关于x=2的对称点为6,m又∵n·p=0∴x=1或x=4时，y=0当a>0时，x=5和x=6时，y>0m·q>0当a<0时，x=5和x=6时，y<0m·q>0∴④正确42.(2024·河北邯郸·模拟预测)P2,1为抛物线Gy=ax-h+kQ4,12在点Q处被反弹后继续向前沿抛物线Ly=-2x2+bx+c1M是AB的中点．，AB=4=(1)求抛物线G的对称轴及函数表达式；(2)BM之间(不含端点)b所有的整数值．(1)x=3y=-x-3+2(2)192021(1)解P2,1Q4,1是抛物线上的一对对称点，∴对称轴为直线x=3.∵抛物线G达到的最大高度为2，设解析式为y=ax-3+2,将点P2,11=a×2-32+2,解得a=-1，∴抛物线G的函数表达式为y=-x-32+2(2)∵AB=4=1，∴BQ=3.·22·又Q4,1，∴点B7,1M5,1，b4+5292∴当点Q4,1与点M5,1是抛物线上的一对对称点时，-==，2×-2∴b=18b4+72112当点Q4,1与点B7,1-==，2×-2∴b=22∴18<b<22，∴b所有的整数值为192021.43.(2024·北京大兴·二模)在平面直角坐标系xOyA-1,m和点B4,n在抛物线y=ax2+bx-2(a>0)x=t．(1)若m=1n=6t的值；32(2)已知点C1,yDt,ym>-2n<-2yy1212(1)1(2)y>y12(1)解：∵m=1n=6，a-b-2=1∴把点A-1,1和点B4,6代入y=ax2+bx-2得：，16a+4b-2=6a=1b=-2解得：，∵对称轴为x=t，b2a∴t=-=1．(2)∵a>0，∴当x>t时，y随x的增大而增大．令x=0y=-2，∴抛物线与y轴交点坐标为0,-2．∵m>-2n<-2-1<0<4，∴-1,m，0,-2在对称轴的左侧，设点0,-2关于对称轴x=t的对称点坐标x,-2，∴x0-t=t-0．∴x0=2t．∴点0,-2关于对称轴x=t的对称点坐标为2t,-2．∵n<-2，∴2t>4．∴t>2．32∴点C1,yDt,y在对称轴右侧．12设点C1,y1关于对称轴x=t的对称点坐标,y1，∴0-t=t-1．∴0=2t-1．∴点C1,y关于对称轴x=t的对称点坐标为2t-1,y．11·23·32312∴2t-1-t=t-1>0∴2t-1>t．2∴y>y．12题型九ꢀ用待定系数法求二次函数解析式44.(2024·福建·中考真题)y=x2+bx+c的图象与x轴交于A,By轴交于点C，其中A-2,0,C0,-2．(1)求二次函数的表达式；(2)若PPPC交x轴于点D,△的面积是△的面积的2P的坐标．(1)y=x2+x-2(2)-3,4(1)解A-2,0,C0,-2代入y=x2+bx+c4-2b+c=0，得，c=-2b=1解得，c=-2y=x2+x-2(2)设Pm,nPm<0,n>0．．12BD⋅nSSnCO=2=2以=2．12BD⋅COCO=2，所以n=2CO=4．由m2+m-2=4，解得m=-3,m=2(舍去)，12所以点P坐标为-3,4．45.(2023·广东佛山·三模)已知二次函数的图象经过点-2,-1x=-12．求二次函数的解析式．y=-3x+12+2∵当x=-12，∴二次函数的顶点坐标为：-1,2，·24·设二次函数的解析式为：y=ax+1+2，∵二次函数的图象经过点-2,-1∴a-2+12+2=-1，解得：a=-3，∴二次函数的解析式为：y=-3x+12+2．46.(2024·黑龙江双鸭山·模拟预测)M(0,-1)的抛物线与直线y=x+1相交于ABA在xAMBM．(1)求点A的坐标和这个抛物线所表示的二次函数的表达式；(2)求点B的坐标．(1)点A的坐标是(-1,0)y=x2-1(2)点B的坐标为(2,3)(1)由y=x+1，得当y=0时，x=-1，所以点A的坐标是(-1,0)，设顶点为(0,-1)的抛物线的解析式为y=ax2-1，点A(-1,0)在抛物线y=ax2-1上，∴0=a-1，解得：a=1，抛物线的解析式为y=x2-1y=x+1；(2)联立，y=x2-1x1=-1x2=2y1=0得：，，y2=3点A的坐标是(-1,0)，点B的坐标为(2,3)．47.(2024·广东汕头·二模)y=ax2+bx-3经过A-1,0B3,0y轴交于点C．(1)求抛物线解析式；(2)点P△P的坐标．(1)y=x2-2x-3·25·(2)1,-2(1)解：∵抛物线y=ax2+bx-3经过，、，两点，A-10B30a-b-3=0∴，9a+3b-3=0a=1解得，b=-2∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；(2)∵当x=0时，y=x2-2x-3=-3，∴C0-3，∵点P是抛物线对称轴上一点，∴=PB，∴AP+PC=CP+PB．∴当点PCB在一条直线上时，AP+PCBC的长度．BC交抛物线的对称轴于点P，又∵AC为定值，∴此时，△APC的周长最小．设直线BC的解析式为y=kx+b，3k+b=0则，b=-3解得：∴直线将，的解析式为代入，得：，，∴点P的坐标为即当P的坐标为．48.(2024·湖南长沙·三模)经过点．(1)求出此抛物线的解析式；(2)当(1)(2)的取值范围．·26·(1)经过点．解得：．．(2)抛物线的对称轴：当时，时，随的增大而减小．当．当时，．时，的取值范围为．题型十ꢀ二次函数图象的平移49.(2024·河北石家庄·模拟预测)AB的坐标分别为和的顶点在线段上运动．与x轴交于CD两点(C在D的左侧)，(1)；(2)若点C的横坐标最小值为D的横坐标最大值为．48的顶点坐标为：，∵顶点在线段AB的坐标分别为和，∴，，当点C的横坐标最小值为即对称轴为的最左端点处，，此时D点横坐标为5，当抛物线顶点在线段的最右端点等长的距离，D的横坐标有最大值，此时顶点向右平移了与线段·27·∵D点横坐标为5，∴平移后D点横坐标为：，此时DD的横坐标最大值为8．故答案为：48．50.(24-25九年级上·全国·假期作业)将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线()A.B.C.A将抛物线故选：向左平移3个单位长度所得抛物线的解析式为．．51.(23-24八年级下·福建福州·期末)对于二次函数A.开口向下()B.对称轴是直线抛物线可由C.顶点坐标是D向右平移1个单位得到∵二次函数的解析式为：，∴，∴A由解析式可知该二次函数对称轴为直线由解析式可知该二次函数顶点坐标为BC将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为D题意；故选D．52.(2024·上海·模拟预测)将抛物线沿直线方向平移个单位后的解析式为．或规律是解题的关键．沿直线方向平移2222·28·时，时，，经过，，则，由此可知抛物线沿直线方向平移个单位，相当于抛物线向上平移22个单位，此时平移后的解析式为或抛物线；向下平移22个单位，此时平移后的解析式为综上：；或．53.(24-25九年级上·全国·假期作业)抛物线3bc的值为是由抛物线先向右平移2个．，∵抛物线∴把抛物线，先向左平移23个单位所得抛物线的解析式为．∴，．，故答案为：．54.(2024·黑龙江牡丹江·中考真题)将抛物线向下平移5．2向下平移5个单位长度后得到，把点得到代入得到，，，∴，故答案为：2·29·55.(24-25九年级上·全国·假期作业)把二次函数的图象先向左平移2移4(1)试确定ahk的值；的图象．(2)指出二次函数(1)，，(2)时，y随x的增大而增大时，y随x(1)的图象的顶点坐标为，先向右平移2个4个单位得到点的坐标为所以原二次函数的解析式为，所以，，；(2)∵，∴图象开口向下，二次函数的图象的对称轴为直线y随x的y随x的增大而减小，∴当时，y随x时，y随x的增大而增大．56.(2024·陕西咸阳·模拟预测)(ac为常数，)经过点、P．·30·(1)求的长；(2)将抛物线L沿x轴或沿y轴平移若干个单位长度得到抛物线A的对应点为P的对应点为的表达式．是面积为12在y(1)5(2)抛物线的表达式为或或(1)解、代入中，得解得抛物线L的表达式为．顶点．过点P作轴于点D，，，，，，．(2)是面积为12的平行四边形，在x轴上，当抛物线沿x由于的面积为12，点P'在y轴左侧，抛物线L沿x轴向左平移3个单位长度可得抛物线L'的表达式为，；当抛物线沿y由于使在直线上，的面积为12，·31·抛物线L沿y轴向上或向下平移4个单位长度可得抛物线L'的表达式为，或．L'的表达式为或或．57.(2024·广东深圳·模拟预测)探究问题1：(1)若二次函数(m为常数)的图象与xm的取值范围．(2)(m为常数)的图象与一次函数m的取值范围是．围是(m为常数)的图象与一次函数m的取值范．探究问题2：(3)若二次函数的图象在的部分与一次函数m的取值范围．(1)(2)；；(3)(1)∵二次函数的图象与x轴有两个公共点，∴∴．；(2)即得，，∵二次函数的图象与一次函数的图象有两个公共点，∴．·32·∴．由∴的图象与一次函数．．故答案为：(3)∴；；，．∴二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点等价于二次函数的图象在的部分与一次函数的图象有两个公共点．由题意，()．作图如下．∵二次函数的图象在，的部分与一次函数的图象有两个公共点，∴．58.(2024·山东济宁·模拟预测)已知一次函数()和二次函数()的部分自变量和对应的函数值如下表：⋯⋯⋯⋯⋯⋯则关于的不等式的解集是()·33·A.B.C.或不能确定B过点，，∴∴，，同理过点，，，∴，∴，画图，当时，，∴关于的不等式的解集为，故选：．59.(23-24八年级下·广西南宁·期末)x的一元二次方程的图象与x轴的一个交点坐标为的解为()·34·A.，B.，C.，B∵图象与轴的一个交点为∴图象与x轴的另一个交点坐标为图象的对称轴为直线，，，∴关于的一元二次方程的两实数根是故选B．60.(2024年四川省成都市高中阶段教育学校统一招生暨初中学业水平考试数学试题)的图象与轴交于点()A.B.二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为5C.当时，直线与二次函数图象有两个交点D∵二次函数的图象与轴交于点，∴二次函数解析式为A错误；∵二次函数图象的对称轴为直线轴交于点，∴图象与轴交于另一点，·35·∴二次函数图象与轴有两个交点且两交点距离为B错误；将代入∴当时，时，，∵，∴函数有最小值，∴当令时，C错误；，∴，∴直线D正确；故选：D．61.(2024·贵州·中考真题)的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为()A.二次函数图象的对称轴是直线B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3C.当时，y随x的增大而减小D性判断选项ABCy轴的交点坐标即可判定选项D．∶∵二次函数的顶点坐标为，∴二次函数图象的对称轴是直线A错误；·36·∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1B错误；∵∴当时，y随xC错误；设二次函数解析式为，，，把，解得∴，当时，，∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3D正确，故选D．62.(2024·广西南宁·模拟预测)已知二次函数(1)的解集为．其中正确的结论个数是()A.1B.2C.34C物线与x变形为：与抛物线的图象交于点和抛物线的开口向上，抛物线与x轴没有交点，·37·∵函数图象经过，∴，∴变形为：不等式令，不等式与抛物线的图象交于点和，的解集为则正确的个数有3个，故选C．63.(2024·浙江·一模)若在二次函数y与自变量x的部分对应值如表：xy⋯⋯⋯⋯013⋯⋯⋯⋯27则方程的解是．代入求出即可求解．抛物线解析式为：，，将代入可得：，·38·解得：，∴该抛物线的解析式为，∵∴，因式分解可得：解得：．故答案为∶．64.(23-24八年级下·福建福州·期末)如图的解集是与直线交于，．由得：在直线的下方对应交点的得：，∴抛物线在直线，的下方对应交点的横坐标的取值范围即为该不等式的解集，两点，∵两图像交于∴，故答案为：．65.(2024·广东东莞·模拟预测)经过点和点，·39·(1)求该二次函数的解析式；(2)经过BC的解；(3)点A为该二次函数与x(1)的面积．(2)(3)6关键．(1)用待定系数法求解即可．(2)根据二次函数图象可得出结论．(3)先求出点A代入二次函数即可得出结论．(1)将和点得：，解得：，∴二次函数解析式为：．(2)∵当∴不等式(3)当时，的图象在的解集为：的下方，．时，，解得，∴∴，．∴．·40·题型十一ꢀ二次函数应用-实物建模问题66.(2024·河南·模拟预测)掷实心球是河南中招体育考试素质类选考项目之一．王阳同学查阅资料了解到实y(单位：)可近似看作水平距离x(单位：)的二次函数．他利用先进的高速抓拍相机记录了某次投掷后实心球在空中运动的过程，经测量发现，当与时时(1)(2)求满足条件的抛物线的解析式．．(3)根据中招体育考试评分标准(男生版)1015分．王阳在此次投掷中是否得到满分？请说明理由．(1)(2)(3)王阳在此次投掷中得到满分(1)解：∵当与时实心球在同一高度，∴抛物线的对称轴为直线∴当∴实心球在空中的最大高度是故答案为:，；(2)设抛物线的解析式为,代入得，解得，∴抛物线的解析式为；(3).理由如下：令则解得().∴王阳在此次投掷中得到满分.·41·67.(2024·陕西·中考真题)一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索与缆索均呈抛物线与桥塔O为x所在直线为y所在抛物线与缆索所在抛物线的函数表达式；所在抛物线关于y与桥塔之间的距离，的最低点P到的距离(桥塔的粗细忽略不计)(1)求缆索(2)点E在缆索上，，的长．(1)；(2)的长为．(1)P的坐标为A的坐标为，设缆索把所在抛物线的函数表达式为，代入得，解得，∴缆索所在抛物线的函数表达式为；(2)解：∵缆索所在抛物线与缆索所在抛物线关于y轴对称，∴缆索所在抛物线的函数表达式为，，∵∴把代入得，，解得∴，，或，∵，·42·∴的长为．68.(2024·湖北武汉·二模)端A1O点为坐标x轴，所在的直线为yx轴上的点CD为水柱的落水处达到最高．(1)求图1中右边抛物线的解析式；(2)计划在图1中的线段线段的取值范围；上的点B(3)圆形水池的直径为(如图2)右侧抛物线顶点始终在直线之外吗？请说明理由．(1)(2)(3)的二次函数解析式．(1)求出点(2)将和顶点坐标为代入即可求得线段的取值范围；(3)求出(1)解：，·43·，，∵喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高．∴顶点坐标为，设右侧抛物线的解析式为：，把代入得到，，，解得∴图1中右边抛物线的解析式为；(2)解得时，，()∴线段的取值范围为；(3)当时，，∴点A的坐标为，把代入，，当右侧喷出的抛物线最大高度为设抛物线的解析式为：时，，·44·又上述抛物线过点则，，当时，，，，(舍去)，水柱会落在圆形水池之外．69.(2024·陕西咸阳·模拟预测)了新一年的辛勤劳作，在新的一年播下希望的种子．如图是小颖爸爸在屋侧的菜地上搭建的一抛物线型3米的墙体A处(墙高大于4米)C点x轴和yy(米)与大棚离墙体的水平距离x(米)之间的关系式用B的横坐标为2．(1)求抛物线的函数表达式；(2)小颖的爸爸准备在抛物线上取一点P(不与AC重合)对大棚进行加固(点DE分别在y轴，x轴)轴，1P设在抛物线的顶点B对大棚进行加固；2P设在到墙的水平距离为5对大棚进行加固．DPE所需钢材长度分别记为的材料损耗)、(忽略接口处(1)(2)·45·(1)由题知，将代入抛物线的顶点B的横坐标为2．，，解得，抛物线的函数表达式为．(2)方案一：抛物线的顶点B的横坐标为2．，将点P设在抛物线的顶点B处，轴，轴，，(米)．方案二：点P设在到墙的水平距离为5米的抛物线上，即当时，，，轴，轴，，(米)．．题型十二ꢀ二次函数应用-图形面积问题70.(24-25九年级上·全国·假期作业)为直径的半圆O，下部是一个矩形．·46·(1)当O的面积；(2)已知矩形相邻两边之和为8O的半径为r米．①求隧道截面的面积②若2米3S的最大值．((1)关于半径r(m)的函数关系式(不要求写出r的取值范围)；取3.140.1米)(米)(2)①26.1(1)(米)；(2)①∵，∴，，∴．②由①知，又∵2米米，∴∴，．由①知，．∵，∴，又S随r的增大而增大，·47·故当时，S有最大值．(米)．71.(2024·湖北·中考真题)42m笆长．设垂直于墙的边长为米，平行于墙的边为米，围成的矩形面积为．(1)求与与的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为的值．(3)的值．(1)(2)能，；(3)的最大值为800(1)解：∵篱笆长，∴∵∴，∴∵墙长42m，∴，解得，，∴；又矩形面积；·48·(2)，整理得：，此时，，有两个不相等的实数根，∴围成的矩形花圃面积能为；∴∴∵∴，；(3)解：∵∴有最大值，，又∴当即当时，时，的最大值为800，72.(2024·湖北襄阳·模拟预测)该矩形场地一面靠墙(墙的长度为)为为．(1)分别求出y与xs与x的函数解析式；(2)当x(3)若购买的篱笆总长增加x说明理由．(1)，·49·(2)当；(3)矩形场地的最大总面积不能达到(1)根据题意得，，；(2)，当；(3)由题意得，，，将代入得：解得：，，矩形场地的最大总面积不能达到．73.(23-24八年级下·浙江温州·阶段练习)根据素材回答问题：如图1的距离为10米，与的距离为素材1素材2边长为4米，8米．与30米长的栅栏(图中的细实线)的栅栏与小路相互平行(或垂直)任务1任务2小明同学按如图2(不包含水池的面积)．若按如图3CDHG在(不包含水池的面·50·积)为学习小组在探究的过程中还发现按如图3(不包含水池)的最大面积是____________的长．的长是____________任务3．12082：3的长是(不包含水池)的最大面积是1任务23任务3y(2)得12，由题意可知矩形，面积为，()，208任务23长；交于点，设，，由题意可得花圃面积，即，解得：或()，·51·；任务3y，由(2)得，，当时，有最大值为273，答的长是(不包含水池)的最大面积是．数解析式是解题的关键．题型十三ꢀ二次函数应用-营销问题74.(2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测)p(百千克)与销售价格x(元/千克)满足函数关系式q(百千克)与销售价格x(元/千克)销售价格x(元/千克)市场需求量q/(百千克)241041210已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克(1)求q与x的函数关系式；(2)x的取值范围；(3)2元/千克．①求厂家获得的利润y(百元)与销售价格x的函数关系式；②当厂家获得的利润y(百元)随销售价格xx的取值范围．(利润本)售价成(1)(2)(3)①(1)解(kb为常数且)时，时，析式得：，解得：，∴q与x的函数关系式为：．·52·(2)，，解得：又，，∴；(3)；②∵当时，y随x的增加而增加．又∵，∴当y随销售价格x的上涨而增加．75.(2024·四川达州·模拟预测)1200金额是8001802元．如果甲种汤圆以每袋24400.5元，每天可多售出10袋．(1)求甲种汤圆每袋的进价是多少元；(2)(1)12元(2)甲种汤圆销售单价19元/980元．(1)x元，则()．经检验：是原方程的解．12元；(2)m元/y元．则．∵，∴当元．·53·19元/980元．76.(2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测)设备的生产成本为10万元件．设第个生产周期设备的售价为万元/与之间的函数解析式是．是正整数．当时，时，(1)求，的值：(2)设第个生产周期生产并销售完设备的数量为与满足关系式．则工厂第几个生产周期获得的利润最大？最大的利润是多少万元？(1)(2)工厂第14405万元(1)解时，；时，代入，得：，解得：，，故答案为：；(2)x个生产周期创造的利润为w(1)知，当时，，，，，∴当时，w400，当时，，·54·，，∴当时，w405，时，w405，∴∴工厂第14405万元．77.(2024·山东临沂·二模)某厂一种农副产品的年产量不超过100(万元)与年产量(万件)之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分(如图所示)预售总额(万元)波动总额(万元)每件产品的预售额(元)×年销售量(万(万元)件)万元．(年毛利润生产费用)总销售额2040年销售量总销售额(万件)(万元)5601040(1)求与以及与之间的函数解析式；(2)(3)若要使该产品的年毛利润不低于1000(1)，(2)75万件(3)年销售量大于50100万元(1)利用待定系数法求解即可；(2)根据毛利润(3)根据题意得到出．，1000万元求解即可．(1)·55·经过点，．解得：．．设每件产品的预售额为该产品的总销售额元．(万元)预售总额(万元)波动总额(万元)每件产品的预售额(元年销售量．(万件)的平方成正比，．．；(2)由题意，，，75万件．当(3)，．．．．，年毛利润不低于1000该产品年销售量的变化范围为：．78.(2024·浙江·模拟预测)(1)(2)园原价每人200101·56·就减少2元，(20每人100元．又知九(1)(2)班师生人数分别为56人、58人．问题：(1)180元付款)(2)求购票费用(元与团体人数的函数关系式．(1)(2)班师生人数比九(1)理合理的应该是购票费用(元随团体人数的增大而增大．(2)是随的增大而减少的解决：(3)(元随团体人数最低票价至少提高到多少才能符合要求？(1)60人(2)购票费用(元)与团体人数的函数关系式为(3)把最低票价至少提高到110元才能符合要求(1)设团体人数有论；(2)时，(3)求出当随的增大而(1)，解得，60人；(2)(1)时，时，，当，购票费用(元)与团体人数的函数关系式为；(3)·57·当当时，，，时，的增大而减小，，随若团体人数为55(元)，(元)随团体人数高到110元才能符合要求．题意分类讨论列出函数解析式是关键．题型十四ꢀ二次函数应用-其它应用问题79.(2024·浙江·模拟预测).我们通常用车流密度KvQ对道路的交通状况进行宏观描述.车流密度K是指在单位长度(通常为)是表示在一条道路上车辆的密集程度.交通量Q是指单