2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试题

2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1.若，且，则________.2.__________.3.已知正实数，，满足，则的最小值为_________.4.已知函数，当时，有最大值5，则的值为__________.5.已知中，上的一点，，，则的最大值为_________.6.若点为线段中点，，且，，，，则_______.7.如图，在中，，分别在，上，连结交于，若，，，，共线，的面积为11，则的面积为________.8.已知整数，，满足，则的最小值为________.9.已知，，是大于1的正整数，且为整数，则_______.10.已知、为圆的两条切线，连结交圆于点，若，，，则__________.二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11.（本小题8分）已知，矩形的，顶点分别在轴，轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为4.5.（1）判断并证明直线与的关系.（2）求的值.（3）若，分别为直线和反比例函数上的动点，为中点，求的最小值.12.（本小题8分）如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于.（1）求证：.（2）证明：，，，四点共圆.（3）若，求.

答案和解析1.【答案】【解析】解：，，，，，是方程的两个根，，.故答案为.根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果.本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用.关键是观察方程组的系数特点，得到，是方程的两个根，得到结果.2.【答案】【解析】解：原式.故答案为：.将改写为，改写为，，再利用裂项相消法即可解决问题.本题主要考查了数字变化的规律，能将改写为，改写为，，及熟知裂项相消法是解题的关键.3.【答案】18【解析】解：构造图示的三个直角三角形，即，，，满足，，，，，，则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当，，四点共线时，最小，即为长，当当，，，四点共线时，.在中.故答案为18.本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即同理可得，，所以可知当，，，四点共线时，最小，即为长，本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键.4.【答案】1或7【解析】解：由题意，的对称轴是直线，当时，.又当时，，当时，，①当最大值为，或（不合题意）；②当最大值为，或，均不合题意；③当最大值为，（不合题意）或.综上，或7.故答案为：1或7.依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解.本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键.5.【答案】【解析】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，，设，则，，，点在以为半径，为半径的圆上运动，当与圆相切时，有最大值，此时：，是等边三角形，，，，，又，，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，，故答案为：.由题意可得点在以为半径，为半径的圆上运动，则当与圆相切时，有最大值，由“”可证，可得，可证四边形是矩形，可得，即可求解.本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键.6.【答案】3【解析】解：如图，过作.延长交于.，，为线段中点，，在和中，，，，，面积，，，，，，，.故答案为：3.先画出图形，过作.延长交于.由，得，再证明，得，，由面积，得，，，，，最后再计算即可.本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键.7.【答案】30【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，，证明：过作交延长线于点，则，，；塞瓦定理：如图，，证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，在中，是梅涅线，①在中，是梅涅线，②.根据梅涅劳斯定理，在中，是梅涅线，，，，，，根据塞瓦定理可得，，，而，，.故答案为：30.根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解.本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容.8.【答案】118【解析】解：，，，，，，即，故答案为：118.根据，得出，从而得出结论.本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质.9.【答案】12【解析】解：、、是大于1的正整数，，，是分数，，，为假分数，为整数，且分子分母能互相约分，，①当，时，分子中定有7，分母中有7才能进行约分，当时，，故符合题意，，②，时，分子中定有13，分母中有13才能进行约分，当时，不是整数，故不符合题意，③，时，分子中定有21，分母中有21才能进行约分，当时，不是整数，故不符合题意，其余情况依次讨论均不符合题意故答案为：12.根据、、的条件和三个分数的乘积为整数，得出、、的值，进而求和.本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到、、的值.10.【答案】【解析】解：连接，，，作，设，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，，，是等边三角形，，，，是的切线，，，，，，，，，，，同理可证：，得出：，，，，，是直径，，，，，，，，，，，，.连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再解直角三角形，求出，即可.本题考查切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识.作辅助线构造相似三角形是解题的关键.11.【答案】解：（1）如图1，，理由如下：由题意得，，，，，，，，，，，，；（2）如图2，图2作于，，，，，，（舍去），；（3）如图2，取点，，则直线与直线关于对称，连接，并延长交于，连接，则，是的中点，，当最小时，最小，作直线，交轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于，作，则的最小值是的长，直线的解析式为：，设直线的解析式为：，由整理得，，，，（舍去），，，，，，，，，.【解析】（1）可表示出，，从而得出，，进而表示出和，进而得出，进而证得，从而，从而得出；（2）作于，可推出，从而，进一步得出结果；（3）取点，，则直线与直线关于对称，连接，并延长交于，连接，则，可得出当最小时，最小，作直线，交轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于，作，则的最小值是的长，可设直线的解析式为：，由整理得，，从而得出，求得的值，进一步得出结果.本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程（组）之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线.12.【答案】解：（1）根据题意，以为圆心，为半径作圆，延长交圆于点，延长交于点，连接，，，，是直径，，，为垂心，，，，，，是平行四边形，，，，，，设半径为，，，又，；（2）为垂心，，，，，，，，，、、、四点共圆；（3）设，，，在直角中，，，，，，，在直角中，，即：，在直角中，，即：，，，在中，，即：，，或（舍去），.【解析】（1）由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为，得到圆心角的度数，得到是平行四边形，从而得到结果；（