高中数学 第3章 §2独立性检验同步测试 北师大版选修2-3

【成才之路】-学年高中数学第3章§2独立性检验同步测试北师大版选修2-3一、选择题1．独立性检验显示：有90%的把握认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是()A．在100个男性中约有90个人爱喝酒B．若某人爱喝酒，那么此人为男性的可能性为90%C．判断出错的可能性为10%D．有90%的把握认为10个男性中有9个人爱喝酒[答案]C2．提出统计假设H0，计算出χ2的值，即拒绝H0的是()A．χ2＝6.635 B．χ2＝2.63C．χ2＝0.725 D．χ2＝1.832[答案]A[解析]依据独立性检验的思想及其结论的应用，应选A.3．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)算得，K2＝eq\f(110×40×30－20×202,60×50×60×50)≈7.8.附表：P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是()A．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”[答案]C[解析]根据独立性检验的思想方法，正确选项为C.二、填空题4．某大学在研究性别与职称(分正教授、副教授)之间是否有关系，你认为应该收集的数据是____________________________________．[答案]男正教授人数，副教授人数；女正教授人数，副教授人数．5．调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得到下面的数据表．能以________的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系.出生时间性别晚上白天合计男婴243155女婴82634合计325789[答案]90%[解析]由列联表可以看出a＝24，b＝31，c＝8，d＝26，a＋b＝55，c＋d＝34，a＋c＝32，b＋d＝57，n＝a＋b＋c＋d＝89，代入公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈3.689，由于χ2≈3.689>2.706，∴我们有90%的把握认为婴儿的性别与出生时间有关系．三、解答题6．为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人的调查结果如下：患胃病未患胃病合计生活不规律60260320生活有规律20200220合计80460540根据以上数据判断40岁以上的人患胃病与生活规律有关吗？[分析]先计算χ2的数值，然后比较χ2与3.841及6.635的大小，进而得出是否有关的结论．[解析]由公式得χ2＝eq\f(54060×200－260×202,320×220×80×460)＝eq\f(54012000－52002,2590720000)＝eq\f(2496960,259072)≈9.638.∴9.638>6.635，∴有99%的把握说40岁以上的人患胃病与生活是否有规律有关，即生活不规律的人易患胃病．[点评]本题利用χ2公式计算出χ2的值，再利用临界性的大小关系来判断假设是否成立，解题时应注意准确代数与计算，不可错用公式，要准确进行比较与判断.一、选择题1．(·江西理，6)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()A．成绩 B．视力C．智商 D．阅读量[答案]D[解析]根据χ2计算公式可知，阅读量与性别相关数据较大，所以选D.2．在一次独立性检验中，其把握性超过99%，则随机变量χ2的一个可能的值为()A．6.635 B．5.024C．7.897 D．3.841[答案]C[解析]若有99%把握，则χ2＞6.635，只有C满足条件．3．分类变量X和Y的列联表如下，则()Y1Y2总计X1aba＋bX2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋dA.ad－bc越小，说明X与Y的关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y的关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y的关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y的关系越强[答案]C[解析]由统计量χ2的计算公式计算χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)可知(ad－bc)2越大，则计算出的统计量的值也越大，而统计量越大，说明(ad－bc)2越大，故选C.4．根据下面的列联表判断患肝病与嗜酒有关系的把握有()嗜酒不嗜酒总计患肝病7775427817未患肝病2099492148总计9874919965A.90% B．95%C．97.5% D．99.9%[答案]D[解析]由K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得其观测值k＝eq\f(9965×7775×49－2099×422,7817×2148×9874×91)≈56.632>10.828.故有99.9%的把握认为患肝病与嗜酒有关系，答案选D.5．为了研究性格和血型的关系，抽查80人实验，血型和性格情况如下：O型或A型者是内向型的有18人，外向型的有22人，B型或AB型是内向型的有12人，是外向型的有28人，则有多大的把握认为性格与血型有关系()P(χ≥k0)0.50.100.0100.001k00.4552.7066.63510.828A.99.9%B．99%C．没有充分的证据显示有关D．1%[答案]C[解析]O型或A型B型或AB型总计外向222850内向181230总计404080χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,50×30×40×40)＝eq\f(80×22×12－28×182,50×30×40×40)≈1.92<2.706，∴没有充分的证据显示有关．二、填空题6．在一次打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计算得χ2＝27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病是____________的．填(“有关”或“无关”)[答案]有关[解析]∵27.63＞6.635∴打鼾与患心脏病有关的可能性很大，我们可以有99%的把握这么认为．7．为了了解小学生是否喜欢吃零食与性别之间的关系，调查者随机调查了89名小学生的情况，得到的数据如下表(单位：人)：吃零食情况性别喜欢吃零食不喜欢吃零食总计男243155女82634总计325789根据上述数据，得出χ2≈________.[答案]3.689[解析]χ2＝eq\f(89×24×26－31×82,55×34×32×57)≈3.689.三、解答题8．在某医院，因为患心脏病而住院的655名男性病人中，有214人秃顶；而另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中，有175人秃顶．根据以上数据判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．[解析]问题是判断男性病人的秃顶是否与患心脏病有关．计算得到下表(单位：人)患心脏病情况是否秃顶患心脏病未患心脏病总计秃顶214175389不秃顶4515971048总计6657721437由公式计算得χ2＝eq\f(1437×214×597－175×4512,389×1048×665×772)≈16.373.因为16.373>6.635，所以有99%以上的把握认为男性病人的秃顶与患心脏病有关．9．为检验回答一个问题的对错是否和性别有关，有人作了一个调查，其中女生人数是男生人数的eq\f(1,2)，男生答对人数占男生人数的eq\f(5,6)，女生答错人数占女生人数的eq\f(2,3).(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有多少人？(2)若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有多少人？[分析]若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，说明χ2>6.635；没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，说明χ2≤2.706.设出男生人数，并且它分别表示各类别人数，代入χ2的计算公式，建立不等式求解即可．[解析]设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下：答对答错总计男生eq\f(5x,6)eq\f(x,6)x女生eq\f(x,6)eq\f(x,3)eq\f(x,2)总计xeq\f(x,2)eq\f(3x,2)(1)若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则χ2>6.635，由χ2＝eq\f(\f(3x,2)·\f(5x,6)·\f(x,3)－\f(x,6)·\f(x,6)2,x·\f(x,2)·\f(x,2)·x)＝eq\f(3x,8)>6.635，解得x>17.693.因为eq\f(x,2)，eq\f(x,6)，eq\f(x,3)为整数，所以若有99%的把握认为回答结果的对错和性别有关，则男生至少有18人．(2)没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则χ2≤3.841.由χ2＝eq\f(\f(3x,2)·\f(5x,6)·\f(x,3)－\f(x,6)·\f(x,6)2,x·\f(x,2)·\f(x,2)·x)＝eq\f(3x,8)≤2.706，解得x≤7.216.因为eq\f(x,2)，eq\f(x,3)，eq\f(x,6)为整数，所以若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关，则男生至多有6人．[点评]本题是逆向型思维问题，即将根据已知数据判断相关性问题变式为了一道由已知相关性求表中的字母数据问题，同时也是一个独立性检验和不等式的综合问题，解答时要注意理解“至少”“至多”的含义，充分建立不等式(组)来解决．10．为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做实验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B.(1)甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；(2)下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果．(疱疹面积单位：mm2)表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)频数30402010表2：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积[60,65)[65,70)[70,75)[75,80)[80,85)频数1025203015①完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；②完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．表3：疱疹面积小于70mm2疱疹面积不小于70mm2合计注射药物Aa＝b＝注射药物Bc＝d＝合计n＝附：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)P(K2≥k)0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828[解析]本小题考查古典概型、组合数公式、频率分布直方图、独立性检验及2×2列联表等统计学知识．解题思路是(1)古典概型的概率公式的应用，需用到组合数公式．(2)绘制频率分布直方图，并从图中观察出中位数进行比较，(3)从频率分布表中读取数值填制2×2列联表并计算χ2与临界值比较，说明是否有关．解：(1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为p＝eq\f(2C\o\al(99,198),C\o\al(100,200))＝eq\f(100,199).(2)①可以看出注射药物A后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注