2022-2023学年北师大版九年级数学上学期期末复习培优练习（陕西中考真题）

九年级数学上学期期末复习培优综合练习•北师大版九年级中

考数学真题汇编（陕西）

一.反比例函数图象上点的坐标特征（共4小题）

1.（2021•陕西）若点A（a,3）、8（5“"）在同一个反比例函数的图象上，则力的值为.

2.（2021•陕西）若4（1,yi）,B（3,是反比例函数丁=迎支图象上的两

x2

点，则川、”的大小关系是yiV2.（填”或“v”）

3.（2020・陕西）如图，在RiaQAB中，ZOAB=90°,Q4=6,AB=4,边04在x轴上,

若双曲线y=K•经过边08上一点£>（4,〃?）,并与边AB交于点E,则点E的坐标为.

4.（2020•陕西）在平面直角坐标系中，点A（-2,1）,B（3,2）,C（-6,m）分别在三

个不同的象限.若反比例函数j=Ka#0）的图象经过其中两点，则m的值为.

x

二.待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）

5.（2022•陕西）已知点A（-2,m）在一个反比例函数的图象上，点A'与点A关于y轴对

称.若点4在正比例函数），=*的图象上，则这个反比例函数的表达式为.

三.二次函数的性质（共2小题）

6.（2022•陕西）已知二次函数y=7-2x-3的自变量xi,我，刈对应的函数值分别为yi,

y2»y3.当-1VxiVO,1VAIV2,刈>3时，y\,）**三者之间的大小关系是（）

A.y\<y2<y3B.y2<y3<y\C.y3<y\<y2D.yi<y\<y3

7.（2022•陕西）已知二次函数・2x-3的自变量xi,X2,X3对应的函数值分别为yi,

1y2,y3.当-1VxiVO,1Vx2V2,x?>3时，yi,1y2,”三者之间的大小关系是（）

A.y\<y2<y3B.y2<yi<y3C.y3<y\<yiD.y2<y3<y\

四.二次函数图象与几何变换（共2小题）

8.（2020♦陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线），=〃储+21-〃与y=-6/-2x+rn-n

关于x轴对称，则〃?，〃的值为（)

A.m=-6,n=-3B.m=-6,〃=3C.m=6,〃=-3D.rn=6,〃=3

9.（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线），=/-Cm-1）x+m（m>l）沿y轴向

下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

五.抛物线与x轴的交点（共1小题）

10.（2021•陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：

x-013

2

y•••6---•••

464

下列各选项中，正确的是（）

A.这个函数的图象开口向下

B.这个函数的图象与工轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6

D.当心>1时，y的值随x值的增大而增大

六.二次函数的应用（共2小题）

11.（2021•陕西）某景点的“喷水巨龙”口中。处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y

（加）与水平距离x（w）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，OA_LO8,垂足

为A.已知OC=O8=8m,OA=2m,则该水流距水平面的最大高度AO的长度为（）

A.9/nB.10/nC.WinD.12/n

12.（2022•陕西）现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的

路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为），轴，

建立平面直角坐标系.根据设计要求：。七=10加，该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.

（1）求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

（2）现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点4、B处分别

安装照明灯.已知点A、8到0E的距离均为6阳，求点4、B的坐标.

七.二次函数综合题（共4小题）

13.（2021•陕西）已知抛物线与x轴交于点A（-5,0）和点氏与），轴交于点

C（0.5）,它的对称轴:为直线/.

（1）求该抛物线的表达式及点B的坐标；

（2）若点P（m,2）在/上，点P'与点P关于x轴对称.在该抛物线上，是否存在点

。、E、F,使四边形P'QE尸与四边形PB附位似，且位似中心是P'?若存在，求点

。、E、产的坐标；若不存在，请说明理由.

14.（2021•陕西）已知抛物线y=-9+2计8与工轴交于点4、8（点A在点8的左侧），与

y轴交于点C.

（1）求点8、。的坐标；

（2）设点U与点。关于该揄物线的对称轴对称.在y轴上是否存在点P,使△PCC'

与APOB相似，且PC与尸。是对应边？若存在，求出点夕的坐标；若不存在，请说明

理由.

15.（2020•陕西）已知抛物线L：），=・f+bx+c过点（・3,3）和（1,-5）,与x轴的交

点为4,B（点A在点8的左侧）.

（1）求抛物线L的表达式；

（2）若点尸在抛物线L上，点E、尸在抛物线£的对称轴上，。是抛物线L的顶点，要

使/（P的对应点是。），且PRDA=\：4,求满足条件的点P的坐标.

___.1II.

O-1x

16.（2020•陕西）如图，抛物线ynf+bx+c经过点（3,12）和（-2,-3）,与两坐标轴

的交点分别为A,B,C,它的对称轴为直线/.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）P是该抛物线卜的点,过点P作/的垂线,垂足为力,E是/卜的点.要使以P、。、

E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P,点E的坐标.

17.（202。•陕西）如图，在菱形A8C。中，A6=6,N6=60°，点七在边AO上，且A上

=2.若直线，经过点区将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点尸，则线段EF

九.矩形的判定（共2小题）

18.（2022•陕西）在下列条件中，能够判定。A8CO为矩形的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AB=ACD.AC=BD

19.（2022•陕西）在下列条件中，能够判定。ABCO为矩形的是（）

A.AB=ACB.AC1BDC.AB=ADD.AC=BD

一十.正方形的性质（共1小题）

20.（2020•陕西）如图，在矩形48CQ中，AB=4,8c=8,延长至E,AE=AB,以

AE为边向右侧作正方形AEFG,。为正方形AEFG的中心，若过点。的一条直线平分该

组合图形的面积，并分别交EF、BC于点M、N,则线段MN的长为.

—I^一.圆周角定理（共2小题）

21.(2022♦陕西)如图，zMBC内接于00,ZC=46°,连接OA,则NQ48=()

C.54°D.67°

22.（2020•陕西）如图，点A、B、C在00上，BC//OA,连接80并延长，交O。于点

连接AC,DC.若NA=25°,则NO的大小为（）

C.40°D.50°

一十二.三角形的外接圆与外心（共1小题）

23.（2020•陕西）如图，△ABC内接于OO,N4=50°.E是边BC的中点，连接OE并延

长，交。O于点。，连接3。，则的大小为（)

D

A.55°B.65°C.60°D.75°

一十三.切线的性质（共5小题）

24.（2021•陕西）如图，正方形ABCO的边长为4,。。的半径为1.若。。在正方形A8CD

内平移（。0可以与该正方形的边相切），则点4到OO上的点的距离的最大值

为-

25.（2021•陕西）如图，OP是。。的切线，D为切点,弦连接BO并延长，与

OO交于点C,与OP交于点£连接AC并延长，与OP交于点F,连接OZ）.

（1）求证：AF//OD；

（2）若。。=5,AB=S,求线段石尸的长.

26.（2021•陕西）如图，4?是。。的直径，点£、“在。。上，且踊=2宙，连接。E、AF,

过点8作00的切线，分别与OE、4尸的延长线交于点C、D.

（1）求证：ZCOB=ZA；

（2）若A8=6,CB=4,求线段正£）的长.

27.（2020•陕西）如图，直线AM与。。相切于点4,弦8C〃AM,连接8。并延长，交00

于点E,交AM于点尸，连接CE并延长，交AM于点。.

（1）求证：CE〃OA；

（2）若。0的半径R=13,BC=24,求4r的长.

28.（2020•陕西）如图，ZXABC是。0的内接三角形，NB4C=75°,ZABC=45°.连接

40并延长，交00于点D,连接3D.过点C作。。的切线，与切的延长线相交于点E.

（1）求证：AD//EC^

（2）若48=12,求线段EC的长.

一十四.相似三角形的判定与性质（共1小题）

29.（2022•陕西）如图，在菱形48co中，4B=4,BD=1.若M、N分别是边A。、BC上

的动点，且AM=BN,作ME工BD,NF上BD,垂足分别为E、尸，则ME+NF的值为

一十五.相似三角形的应用（共1小题）

30.（2022•陕西）小明和小华利用阳光下的影子来测量•建筑物顶部旗杆的高.如图所示，

在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物08的影长OC为16米，04的影长0。

为20米，小明的影长尸G为2.4米，其中0、C、。、F、G五点在同一直线上，4、B、

O三点在同一直线上，且A0_L0Q,EFA.FG.已知小明的身高E产为1.8米，求旗杆的

一十六.解直角三角形（共2小题）

31.（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,lan/C=2,则边A8的长为

C.6&D.3我

32.（2022•陕西）如图，40是△ABC的高.若8Q=2CO=6,tanC=2,则边48的长为（）

A

C.3V7D.6近

一十七.解直角三角形的应用（共1小题）

33.（2021•陕西）一座吊桥的钢索立柱两侧各有若干条斜拉的钢索，大致如图所示.小

明和小亮想用测量知识测较长钢索的长度.他们测得NA8。为30°,由于8、。两

点间的距离不易测得，通过探究和测量，发现NA8恰好为45°,点8与点C之间的

距离约为16m.已知8、C、。共线，AD1BD.求钢索的长度.（结果保留根号）

一十八.解直角三角形的应用•仰角俯角问题（共2小题）

34.（2021•陕西）小宸想利用测量知识测算湖中小山的高度.他站在湖边看台上，清晰地看

到小山倒映在平静的湖水中，如图所示，他在点O处测得小山顶端的仰角为45°,小山

顶端4在水中倒影4'的俯角为60°.已知：点O到湖面的距离00=3〃?，OD上DB,

ABLDB.A、B、4'三点共线，AB=AB,求小山的高度AB.（光线的折射忽略不计；

结果保留根号）

<45°

60・

35.（2020•陕西）小宁和同学们想知道学校操场旁一棵大树比一棵小树高多少，于是他们拿

着二角尺和皮尺来到了操场,如图所示,小宁在E处用二角尺测得小树C力顶部。的仰

角为30°,然后她前后移动调整，在M处用三角尺测得大树顶部4的仰角也是30°.已

知，B、。、E、M四点共线，CDLBM,EFLBM,MNLBM,小宁眼睛距地

面的高度不变，即£/=MM他们测得8。=4.5米，EM=1.5米，求大树43比小树8

高多少米？

一十九.列表法与树状图法（共5小题）

36.（2022•陕西）有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，

所装西瓜的重量分别为6依，6kg,7kg,7kg,8kg.现将这五个纸箱随机摆放.

（1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6年的概率是；

（2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里

西瓜的重量之和为15kg的概率.

37.（2021•陕西）现有A、8两个不透明的袋子，各装有三个小球，A袋中的三个小球上分

别标记数字2,3,4：8袋中的三个小球上分别标记数字3,4,5.这六个小球除标记的

数字外，其余完全相同.

（1）将4袋中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，则摸出的这个小球上标记的数字是

偶数的概率为；

（2）分别将4、3两个袋子中的小球摇匀，然后从A、8袋中各随机摸出一个小球，请

利用画树状图或列表的方法，求摸出的这两个小球标记的数字之和为7的概率.

38.（2021•陕西）从一副普通的扑克牌中取出四张牌，它们的牌面数字分别为2,3,3,6.

（1）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字

是3的概率为；

（2）将这四张扑克牌背面朝上，洗匀.从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的三张牌

中随机抽取一张.请利用画树状图或列表的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字恰好相

同的概率.

39.（2020•陕西）小亮和小丽进行摸球试验.他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，

一个白球和一个黄球，共四个小球.这些小球除颜色外其它都相同.试验规则：先将布

袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次.

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是

白球、一个是黄球的概率.

40.（2020•陕西）从一副扑克牌中取出红桃J,Q,K和黑桃J,Q,4这两种花色的六张扑

克牌.

（1）将这六张牌背面朝上，洗匀，随机抽取一张，求这张牌是红桃K的概率；

（2）将这三张红桃分为一组，三张黑桃分为一组，分别将这两组牌背面朝上洗匀，然后

从这两组牌中各随机抽取一张，请利用列表或画树状图的方法，求其中一张是J一张Q

的概率.

九年级数学上学期期末复习培优综合练习•北师大版九年级中

考数学真题汇编(陕西)

参考答案与试题解析

一.反比例函数图象上点的坐标特征(共4小题)

1.(2021•陕西)若点A(a,3)、B(5a,b)在同一个反比例函数的图象上，则b的值为

13•

5-

【解答】解：•・•点4(a,3)、B(5a,b)在同一个反比例函数的图象上，

3a=5ab,

解得b=l,

5

故答案为：1.

5

2.(2021•陕西)若A(1,yi),B(3,")是反比例函数)，=2工L图象上的两

X2

点，则yi、V2的大小关系是wVV2.(填“>”、"=”或“V”)

【解答】W：V2w-l<0(〃?<2■),

2

・•・图象位于二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，

又,.,OV1V3,

故答案为：<.

3.(2020•陕西)如图，在中，ZOAB=90°,04=6,AB=4,边0A在x轴上，

若双曲线y=K经过边OB上一点。(4,m),并与边AB交于点E,则点E的坐标为(6,

x

【解答】解：作。尸_LOA于尸,

•,点D(4,m),

*.OF=4,DF=m,

：ZOAB=90°,

\DF//AB,

,.△DOFS^BOA,

.DF=OF

*ABOA)

：OA=6,48=4,

•.典=生

46

*./n=—,

3

♦・D(4,当,

3

••双曲线■经过点D,

x

••仁4X@=丝，

33

••双曲线为y=要，

把x=6代入得尸工^=也

3X69

4.(2020•陕西)在平面直角坐标系中，点A(-2,1),B(3,2),C(-6,M分别在三

个不同的象限.若反比例函数y=Kawo)的图象经过其中两点，则用的值为-1.

【解答】解：•・•点A(-2,1),8(3,2),C(-6,机)分别在三个不同的象限，点A

(-2,1)在第二象限，

・••点C(-6,m)一定在第三象限，

­：B（3,2）在第一象限，反比例函数«#0）的图象经过其中两点,

，反比例函数产区（A#0）的图象经过8（3,2）,C（-6,机），

A3X2=-6m,

:•〃1=-19

故答案为：-I.

二.待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）

5.（2022•陕西）己知点A（-2,小）在一个反比例函数的图象上，点4与点A关于y轴对

称.若点4在正比例函数y=1的图象上，则这个反比例函数的表达式为v=-2.

2x-

【解答】解：二•点H与点A关于y轴对称，点A（-2,用），

.••点4（2,加），

•・•点4在正比例函数尸工的图象上，

2

X尸1，

2

（-2,1）,

•・•点4（-2,1）在一个反比例函数的图象上,

・•・反比例函数的表达式为），=2

故答案为：y=--.

三.二次函数的性质（共2小题）

6.（2022•陕西）已知二次函数-2x-3的自变量可，X3对应的函数值分别为川,

”，y3.当・1VxiVO,1VX2<2,刈>3时，yi,yi,月三者之间的大小关系是（）

A.y\<y2<y3B.y2<y3<y\C.y3<y\<yiD.y2<yi<y3

【解答】解：•・•抛物线y=/-2.3=(x-I#-%

，对称轴4=1,顶点坐标为(1,-4),

当y=0时，(x-1)2-4=0,

解得x=-1或x=3,

・••抛物线与x轴的两个交点坐标为：(-1,0),(3,0),

，当・1VXIV0,\<xi<2,刈>3时，J2<yi<y3,

故选：D.

7.（2022•陕西）已知二次函数y=7-2x-3的自变量xi,汽,X3对应的函数值分别为yi,

1y2,y3.当-IVxiVO,1<X2<2,刈>3时，y\,y2,户三者之间的大小关系是（）

A.y\<yi<yyB.y2<y\<y3C.y3<y\<yiD.y2<y3<y\

【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=-W_=l,

2X1

V-1<X1<O,1<X2<2,X3>3,

而抛物线开口向上，

•'-yi<y\<yy.

故选&

四.二次函数图象与几何变换（共2小题）

8.（2020•陕西）在同一平面直角坐标系中，若抛物线y—nP+Zr-〃与y=-〃

关于X轴对称，则利，〃的值为（）

A.m=-6,n=-3B.m=-6,〃=3C.m=6,n=-3D.6=6，〃=3

【解答】解：:抛物线y=nuc+2x-〃与y=-6/-2x+m-n关于x轴对称，

-y=-nv?-2x+nt

•*»y=-nv?-2x+n与y=-6A?-2x+m-〃相同,

-m=-6»n=m-〃，

解得机=6,〃=3,

故选：D.

9.（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线），=7・（w-1）x+m（/«>1）沿y轴向

下平移3个单位.则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：,••y=x2-（/n-1）x+m=（x-工1二1）2+m-（血-1）,

24

・•・该抛物线顶点坐标是（Qi〃L（m-1））,

24

，将其沿），轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（号,m-（血；）.3）,

：.m-l>0,

・・.Ql>o,

2

・・(m-1)_4m~(m2-2m+l)-12--(m-3)-4_(m~3)y

♦，〃’‘J‘‘‘‘‘‘1v,

4444

2

.••点(Ql,m-(m-l)J-3)在第四象限；

24

故选：D.

五.抛物线与x轴的交点(共1小题)

10.(2021•陕西)下表中列出的是一个二次函数的自变量％与函数y的几组对应值：

x…-013…

2

y•••6---…

464

下列各选项中，正确的是()

A.这个函数的图象开口向下

B.这个函数的图象与x轴无交点

C.这个函数的最小值小于-6

D.当公＞1时，y的值随x值的增大而增大

【解答】解：设二次函数的解析式为y=a?+加+c,

6=aX(-2)2+bX(-2)+c

由题知，-4=c»

-6=a+b+c

a=l

解得，b=-3»

c=-4

二二次函数的解析式为y=,d-3x-4=(x-4)(x+1)=(x--)2--,

24

4.函数图象开口向上，故A选项不符合题意；

B.与x轴的交点为(4,0)和(-1,0),故8选项不符合题意；

C.当工=旦时，函数有最小值为一至，故。选项符合题意；

24

D.函数对称轴为直线X=3,根据图象可知当时，y的值随X值的增大而增大，故

22

。选项不符合题意.

故选：C.

六.二次函数的应用(共2小题)

11.(2021•陕西)某景点的“喷水巨龙”口中。处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y

与水平距离x(/«)之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA±OB,垂足

为A.己知OC=O3=8m,OA=2m,则该水流距水平面的最大高度AO的长度为()

A.9mB.10/nC.WinD.\2m

【解答】解：根据题意，设抛物线解析式为y=”(x-2)?+匕

将点C(0,8)、B(8,0)代入，得：

4a+k=8

36a+k=0

，」

解得

k=9

・•・抛物线解析式为了=(x-2)2+9,

所以当x=2时，y=9,即AO=9m,

故选：A.

12.(2022•陕西)现要修建一条隧道，其截面为抛物线型，如图所示，线段OE表示水平的

路面，以O为坐标原点，以OE所在直线为x轴，以过点O垂直于x轴的直线为.V轴，

建立平面直角坐标系.根据设计要求：OE=lOm,该抛物线的顶点P到OE的距离为9m.

(1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式；

(2)现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点A、B处分别

安装照明灯.已知点A、B到0E的距离均为6〃?，求点A、8的坐标.

【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点P（5,9）,

，可以假设抛物线的解析式为y=〃（x-5）2+9,

把（0,0）代入，可得。=-2,

25

；・抛物线的解析式为），=-言（x・5）2+9；

（2）令），=6,得・A-（x・5）2+9=6,

25

解得同=区叵5股=-至退+5,

33

AA（5-6）,B（5+-^-,6）.

33

七.二次函数综合题（共4小题）

13.（2021•陕西）已知抛物线y=8以+c与x轴交于点A（-5,0）和点B,与y轴交于点

C（0,5）,它的对称轴为直线/.

（1）求该抛物线的表达式及点8的坐标；

（2）若点尸（m,2）在/上，点P'与点P关于x轴对称.在该抛物线上，是否存在点

。、七、卜,使四边形尸。七力与四边形尸'4%位似，且位似中心是尸'？若存在，求点

D、E、尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：（1）VA（-5,0）、C（0,5）在抛物线y=7+8x+c上，

*=25-5b+c,解得（b=6,

15=cIc=5

・•・抛物线的表达式为y=?+6x-5,

令y=0得x=-1或x=-5,

：.B（-1,0）；

（2）存在，理由如下：

延长人户交抛物线于F,延长B户交抛物线于Q,对称轴交抛物线于E,如图：

由y=f+6x+5=(x+3)2-4知：E(-3,-4),抛物线对称轴为直线x=-3,

二点尸(〃?，2)在对称轴直线/上，

:・P(-3,2),

■:点P'与点P关干x轴对称.

”(-3,-2),

・・・PP=4,PE=2,

由A(-5,0),P(-3,-2)可得直线AP为)，=-x-5,

fy=-x-5舛(x=-5千fx=-2

解〈得《或〈,

y=x'+6x+5ly=0[y=-3

：.F(-2,-3)，

22=

:・AP=\(_5+3)2+(o+2)2=2&,PF=yl(_3+2)+(-2+3)V2,

由8(・1,0)、户(-3,-2)可得直线BP'为y=x+l,

解广1得卜7或卜-4,

y=x^+6x+5ly=0ty=-3

：.D(-4,-3),

；・BP=dQI+3产+(0+2)2=2&,PD=\(-3+4)2+(一2+3)2=①

.PP'=AP，=BP'=2

-p，EPyFPzD，

由位似图形定义知，四边形PFEO与四边形P'8RH立似，且位似中心是P',

工抛物线上存在。(-4,-3),E(-3,-4),F(-2,-3),使四边形PFEO与四

边形P'8必位似，且位似中心是P'.

14.(2021•陕西)已知抛物线y=-f+2计8与x轴交于点A、8(点A在点8的左侧)，与

y轴交于点C.

（1）求点3、。的坐标：

（2）设点C'与点。关于该捌物线的对称轴对称.在），轴上是否存在点P,使△PCU

与aPOB相似，且PC与PO是对应边？若存在，求出点夕的坐标；若不存在，请说明

理由.

【解答】解：（1）Vy=-?+2v+8,

取x=0,得y=8,

：,C（0,8）,

取y=0,得-/+2r+8=0,

解得：xi=-2,X2=4,

：.B（4,0）；

（2）存在点P,设P（0,y）,

•：CC//OB,且PC与PO是对应边，

.PCP0

二OB,

即：gl」yl,

2-4

解得：yi=16,y

23

:.P（0,16）或P（0,⑭）.

3

15.（2020•陕西）已知抛物线L：y=・f+bx+c•过点（-3,3）和（1,-5）,与x轴的交

点为A,8（点A在点5的左侧）.

（1）求抛物线L的表达式；

（2）若点尸在抛物线L上，点七、尸在抛物线£的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要

使△PE/s2\D4B（尸的对应点是。），且尸氏DA=\：4,求满足条件的点尸的坐标.

>

O-1x

【解答】解：(1)•・•抛物线y=-f+bx+c过点(-3,3)和(1,-5),

.(-5=-1+b+c

13=-9-3b+c

解得：P=-4,

Ic=0

:,抛物线解析式为y=-?-4J；

(2)令y=0,则0=・/-4x,

Axi=-4,X2=O,

，点A(-4,0),点8(0,0),

・•・对称轴为x=-2,

・•・点。(-2,4),

如图，设对称轴与x轴的交点为“，过点P作PQ_LOH于Q,设点P(，小-m2-4w),

.PEPQ1

"AD'DH"4，

：,PQ=lx4=\t

4

・・.|M+2|=1,

.'.m=・1或・3,

•••点P（-1,3）或（・3,3）.

16.（2020•陕西）如图，抛物线+bx+c经过点（3,12）和（-2,-3）,与两坐标轴

的交点分别为A，B,C,它的对称轴为直线/.

（1）求该抛物线的表达式；

（2）P是该抛物线上的点，过点尸作/的垂线，垂足为。，E是/上的点.要使以P、。、

求满足条件的点P,点E的坐标.

Q9+3b+c,解

【解答】解：（1）将点（3,12）和（-2,-3）代入抛物线表达式得

-3=4-2b+c

b=2

得

c=-3

故抛物线的表达式为：），=/+2r-3；

（2）抛物线的对称轴为直线x=-1,

令y=0,则x=-3或1,令x=0,则y=-3,

故点A、8的坐标分别为（-3,0）、（1,0）；点C（0,-3）,

故。4=OC=3,

'：Z.PDE=^AOC=90°,

.•.当尸。=0七=3时，以尸、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，

设点P（M〃），当点P在抛物线对称轴右侧时，（-1）=3,解得：m=2,

故”=22+2X2-3=5,故点=（2,5）,

故点E（-1,2）或（-1,8）；

当点尸在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点。（-4,5）,此时点E坐

标同上，

综上，点P的坐标为（2,5）或（-4,5）；点E的坐标为（-1,2）或（・1,8）.

17.（2020•陕西）如图，在菱形A8CO中，48=6,N8=60°,点E在边AO上，且AE

=2.若直线/经过点E,将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点凡则线段£尸

的长为，小

【解答】解：如图，过点A和点E作4G_L8C,EH_L8c于点G和”,

得矩形AGHE,

•・•在菱形4BCD中，A8=6,ZB=60°,

・・・BG=3,AG=3^3=EH,

:.HC=BC-BG-GH=6-3-2=1,

・・・E尸平分菱形面积，EF经过菱形对角线交点,

：.FC=AE=2f

：.FH=FC-HC=2-1=1,

在RlZXE"/中，根据勾股定理，得

22

EF=5/EH+FH=V27+1=2V7.

故答案为：24.

九.矩形的判定（共2小题）

18.（2022•陕西）在下列条件中，能够判定。A3C£＞为矩形的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AB=ACD.AC=BD

【解答】解：A.〈oABCO中，AB=AD,

・・・a488是菱形，故选项A不符合题意；

B.・・・DAB8中，AC1BD,

•••0ABC。是菱形，故选项8不符合题意：

C.uABC。中，A8=AC,不能判定31BCO是矩形，故选项C不符合题意；

D."ABC。中，AC=BD,

.•・。48co是矩形，故选项。符合题意；

故选：D.

19.（2022•陕西）在下列条件中，能够判定口4BC。为矩形的是（）

A.AB=ACB.AC1BDC.AB=ADD.AC=BD

【解答】解：A、口ABC。中，AB=AC,不能判定。ABCO是矩形，故选项A不符合题意;

B、:口人员?。中，ACLBD,

・・・。488是菱形，故选项8不符合题意：

C、YoABC。中，AB=ADf

•,•0ABC。是菱形，故选项C不符合题意；

£＞、"ABCD中，AC=BD,

•••□ABC'。是矩形，故选项。符合题意；

故选：O.

一十.正方形的性质（共1小题）

20.（2020•陕西）如图，在矩形HBCO中，A8=4,BC=8,延长BA至E,使AE=A8,以

4E为边向右侧作正方形AEPG,。为正方形4EFG的中心，若过点。的一条直线平分该

组合图形的面积，并分别交£八BC于点、M、N,则线段MN的长为

【解答】解：如图，连接AC,BD交于点H,过点0和点，的直线MN平分该组合图形

的面积，交A。于S,取AE中点尸，取48中点Q,连接。尸，HQ,过点。作0兀LQ”

•・•四边形ABC。是矩形，

:・AH=HC,

又•・•。是A8中点，

・・.Q"=』C=4,QH//BC,AQ=BQ=2,

2

同理可求尸0=LG=2,PO//AG,EP=AP=2,

2

APO//AD//BC//EF//QH,EP=AP=AQ=BQ,

:.MO=OS=SH=NH,NOPQ=NPQH=90°,

•：OTLQH,

・•・四边形P07,。是矩形，

：.PO=QT=2,0T=PQ=4,

:.77/=2,

JOH=7OT2+TH2=^4+16=2^5，

:・MN=2OH=4

故答案为：4，^.

一十一.圆周角定理（共2小题）

21.（2022•陕西）如图，△ABC内接于00,ZC=46°,连接OA,则NOA8=（）

A.44°B.45°C.54°D.67°

二【解答】解：如图，连接08,

VZC=46°,

・・・N4O8=2NC=92°,

Y0A=0B,

ii。2=".

故选：A.

22.（2020•陕西）如图，点A、B、C在00上，BC//OA,连接BO并延长，交。。于点D,

连接AC,DC.若/A=25°,则NO的大小为（)

0

A.25°B.30°C.40°D.50°

【解答】解：•・・8C〃0A,

/.ZACB=ZA=25°,NB=/AOB=2N4C8=50°

•••8。是00的直径，

AZBCD=90°,

・•・ZD=90°-ZB=90°-50°=40°,

故选：c.

一十二.三角形的外接圆与外心（共1小题）

23.（2020•陕西）如图，ZkABC内接于NA=50°.E是边BC的中点，连接OE并延

长，交。。于点。，连接3Q,则N。的大小为（）

A.55°B.65°C.60°D.75°

【解答】解：连接CD,

VZA=50°,

，NCZ)B=1800-ZA=130°,

•・•£是边BC的中点，

：.ODLBC,

:・BD=CD,

:./ODB=ZODC=1-/BDC=650，

一十三.切线的性质（共5小题）

24.（2021•陕西）如图，正方形ABC。的边长为4,0O的半径为1.若。。在正方形A3CD

内平移（。。可以与该正方形的边相切），则点A到。。上的点的距离的最大值为

3V2±1_.

【解答】解：当。。与8、CD相切时，点A到。。上的点。的距离最大，如图,

过0点作OEJ_BC于E,0F1CD于F,

：.OE=OF=\,

・・・0C平分NBCO,

•・•四边形ABC。为正方形，

・•.点O在4「卜，

,:AC=®BC=4®,OC=^2OE=^/2,

：.AQ=OA+OQ=4^[2-V2+l=3V2+h

即点A到。O上的点的距离的最大值为3近+1,

故答案为3&+1.

25.(2021•陕西)如图，。。是。。的切线，。为切点，弦连接8。并延长，与

OO交于点C,与OP交于点E,连接AC并延长，与。尸交于点F,连接OD

(1)求证：AF//ODi

(2)若0。=5,A8=8,求线段£尸的长.

B

【解答】(1)证明：延长。。交44于点儿

•・•£＞口是。0的切线，

：.ODVDP,

•:AB"DP,

：.HD±ABt

,rRC为。。的直径.

：.ZBAC=90°,

：.AF//OD；

(2)*：OHA.AB,A8=8,

：.BH=AH=4,

•••OH=7oB2-BH2=VB2-42=3»

♦：BH〃ED,

:•△BOHSAEOD,

EDODED5

解得：ED=型,

3

•••NB4C=90°,DH1AB,DHA.DP,

・•・四边形4")"为矩形，

：.DF=AH=4,

：.EF=ED-DF=^--4=旦.

33

26.(2021•陕西)如图，A8是00的直径，点E、尸在0O上，且BF=2BE，连接OE、AF,

过点3作。。的切线，分别与OE、A尸的延长线交于点C、D.

(1)求证：NC08=NA；

(