2022~2023北京市八年级上期末数学试卷分类汇编-全等三角形（含答案解析）

第1页（共1页）2022~2023北京市八年级上期末数学试卷分类汇编——全等三角形参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2022秋•平谷区期末）如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，BP平分∠ABC交AC于点P，若PA＝4cm，BC＝13cm，则△BCP的面积是（）A．52cm2 B．13cm2 C．45cm2 D．26cm2【分析】过点P作PD⊥BC，垂足为D，根据角平分线的性质可得PA＝PD＝4cm，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答．【解答】解：过点P作PD⊥BC，垂足为D，∵BP平分∠ABC，PA⊥AB，PD⊥BC，∴PA＝PD＝4cm，∵BC＝13cm，∴△BCP的面积＝BC•PD＝×13×4＝26（cm2），故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．2．（2022秋•平谷区期末）如图，等边△ABD和等边△BCE中，A、B、C三点共线，AE和CD相交于点F，下列结论中正确的个数是（）①△ABE≌△DBC②BF平分∠AFC③AF＝DF+BF④∠AFD＝60°A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据等边三角形的性质易证△ABE≌△DBC，可判断①选项；根据全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，根据三角形的外角性质得出∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，可判断④选项；作BG⊥CD于点G，BH⊥AE于点H，由S△ABE＝S△DBC可得BG＝BH，进一步可得BF平分∠AFC，可判断②选项；在AE上截取AI＝DF，连接BI，易证△ABI≌△DBF（SAS），再证明△BFI是等边三角形，得FI＝BF，进一步可判断③选项．【解答】解：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB＝BD，BC＝CE，∠EBC＝60°，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE，即∠ABE＝∠DBC，在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（SAS），故①正确；∴∠AEB＝∠DCB，AE＝DC，∴∠AFD＝∠DCB+∠EAB＝∠AEB+∠EAB＝∠EBC＝60°，故④正确；作BG⊥CD于点G，BH⊥AE于点H，如图所示：∵△ABE≌△DBC，∴S△ABE＝S△DBC，AE＝DC，∴CD•BG＝AE•BH，∴BG＝BH，∵BG⊥CD，BH⊥AE，∴点B在∠AFC的平分线上，∴BF平分∠AFC，故②正确；在AE上截取AI＝DF，连接BI，在△ABI和△DBF中，，∴△ABI≌△DBF（SAS），∴∠AIB＝∠DFB，∵△ABE≌△DBC，∴∠CDB＝∠EBA，∴∠DFA＝∠ABD＝60°，∴∠AFC＝120°，∴∠IFB＝∠BFC＝60°，∴∠AIB＝∠DFB＝120°，∴∠BIF＝180°﹣∠AIB＝60°，∴∠FBI＝60°，∴△BFI是等边三角形，∴FI＝BF，∴AF＝AI+FI＝DF+BF，故③正确，故选：D．【点评】本题为三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定与性质、等积法，添加合适的辅助线是解题的关键，本题综合性较强，难度较大．3．（2022秋•东城区期末）已知∠AOB．下面是“作一个角等于已知角，即作∠A'O'B'＝∠AOB”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（）A．SAS B．SSS C．AAS D．ASA【分析】作图过程可得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，利用SSS判定△DOC≌△D′O′C′，可得∠O′＝∠O．【解答】解：由作图得DO＝D′O′＝CO＝C′O′，CD＝C′D′，在△DOC和△D′O′C′中，，∴△DOC≌△D′O′C′（SSS），∴∠O′＝∠O．故选：B．【点评】本题考查了作图﹣基本作图，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质．4．（2022秋•东城区期末）如图，将一张四边形纸片ABCD沿对角线AC翻折，点D恰好落在边AB的中点D'处．设S1，S2分别为△ADC和△ABC的面积，则S1和S2的数量关系是（）A．S1＝S2 B．S1＝S2 C．S1＝2S2 D．S1＝3S2【分析】利用折叠的性质得出：△ADC≌△AD′C，则S△ADC＝S△AD′C，利用等底同高的三角形的面积相等即可得出结论．【解答】解：由题意得：△ADC≌△AD′C，∴S△ADC＝S△AD′C．∵点D′为AB的中点，∴AD′＝D′B．∵等底同高的两个三角形的面积相等，∴S△AD′C＝S△BCD′，∴，∴．∴．故选：B．【点评】本题主要考查了翻折变换的性质，等底同高的三角形的每个相等，掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键．5．（2022秋•西城区期末）在图中，∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AC＝AE＝CD．有下列结论：①把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；②把△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；③把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，可得到△ABC．其中所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】根据全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质即可得到结论．【解答】解：∵∠1＝∠2，AB∥CD，AB＝AE，AC＝AC，∴△ABC≌△AEC（SAS），∴把△ABC沿直线AC翻折180°，可得到△AEC；故①正确；如图，作AC的垂直平分线交AC于O，连接OD，OE，∵AB∥CD，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵AE＝CD．AC＝CA，∴△ACD≌△CAE（SAS），∴AD＝CE，∠DAC＝∠ECA，∵AO＝OC，∴△AOD≌△COE（SAS），∴OD＝OE，∴点A与点C，点D与点E关于线段AC的垂直平分线对称，∴△ADC沿线段AC的垂直平分线翻折180°，可得到△AEC；故②正确；把△ADC沿射线DC方向平移与DC相等的长度，得不到到△ABC，故③错误；故选：A．【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．二．填空题（共10小题）6．（2022秋•顺义区期末）如图，AC与BD相交于点O，OA＝OC，那么要得到△AOD≌△COB，可以添加一个条件是OD＝OB（填一个即可）．【分析】本题根据题目条件，图形条件可知，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，只需要添加一组对应边相等（即OD＝OB），或者对应角相等即可．【解答】解：OD＝OB，OA＝OC，∠AOD＝∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS）．故答案为：OD＝OB．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．7．（2022秋•门头沟区期末）如图，AD＝AE，点D，E分别在AB，AC上，CD，BE交于点F，只添加一个条件使△ABE≌△ACD，添加的条件是：∠B＝∠C（添加一个即可）．【分析】添加条件∠B＝∠C，根据全等三角形的判定定理ASA推出即可，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．【解答】解：添加条件：∠B＝∠C，理由：由题意可得，AE＝AD，∠BAE＝∠CAD，若添加条件：∠B＝∠C，则△ABE≌△ACD（AAS）；故答案为：∠B＝∠C．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SSS，SAS，ASA，AAS．8．（2022秋•怀柔区期末）已知：如图，C为BD上一点，AB＝AD．只需添加一个条件则可证明△ABC≌△ADC．这个条件可以是BC＝DC（写出一个即可）．【分析】根据题意可以得到AB＝AD，AC＝AC，然后根据全等三角形的判定方法写出添加的条件即可，注意本题答案不唯一．【解答】解：由已知可得，AB＝AD，AC＝AC，∴若添加BC＝DC，则△ABC≌△ADC（SSS）；若添加∠BAC＝∠DAC，则△ABC≌△ADC（SAS）；若添加AC⊥CD，则Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）；故答案为：BC＝DC．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS，对于直角三角形，还有HL．9．（2022秋•密云区期末）已知：如图，AB平分∠CAD．请添加一个条件AC＝AD（答案不唯一），使得△ABC≌△ABD．（要求：不添加辅助线，只需填一个答案即可）【分析】根据全等三角形全等的方法判断即可．【解答】解：根据AAS判定△ABC≌△ABD，可以添加∠C＝∠D，根据ASA判定△ABC≌△ABD，可以添加∠ABC＝∠ABD，根据SAS判定△ABC≌△ABD，可以添加AC＝AD，故答案为：AC＝AD（答案不唯一）．【点评】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．10．（2022秋•密云区期末）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在BC上截取BD＝BA，作∠ABC的平分线与AD相交于点P，连接PC．若△ABC的面积为8cm2，则△BPC的面积为4cm2．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可得出AP＝PD，即得出△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，即可推出，即可求出答案．【解答】解：∵BD＝BA，BP是∠ABC的角平分线，∴AP＝PD，∴△ABP和△DBP是等底同高的三角形，△ACP和△DCP是等底同高的三角形，∴S△ABP＝S△DBP，S△ACP＝S△DCP．∵S△ABC＝S△ABP+S△DBP+S△ACP+S△DCP，S△BPC＝S△DBP+S△DCP，∴．故答案为：4．【点评】本题考查等腰三角形的性质．掌握等腰三角形“三线合一”是解答本题的关键．11．（2022秋•东城区期末）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD＝BE，AC∥DF．添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．不增加任何新的字母或线，这个条件可以是AC＝DF（答案不唯一）．【分析】要使得△ABC≌△DEF．由条件可得到AB＝DE，∠A＝∠FDB，再加条件AC＝DF，可以用SAS证明其全等．【解答】解；添加AC＝DF；∵AD＝BE，∴AD+DB＝BE+DB，即：AB＝DE，∵AC∥DF，∴∠A＝∠FDB，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．故答案为：AC＝DF（答案不唯一）．【点评】此题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．12．（2022秋•东城区期末）如图，在△ABC中，BC＝9，CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC于点E，DE＝3．则△BCD的面积为．【分析】作DF⊥CB于F，应用角平分线的性质求出DF的长，由三角形的面积公式即可求解．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是∠ACB的平分线，DE⊥AC，∴DF＝DE＝3，∴△BCD的面积＝BC•DF＝×9×3＝．故答案为：．【点评】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是作DF⊥BC于F，应用角平分线的性质．13．（2022秋•西城区期末）如图，在四边形ABDC中，∠ABD＝60°，∠D＝90°，BC平分∠ABD，AB＝3，BC＝4．（1）画出△ABC的高CE；（2）△ABC的面积等于3．【分析】（1）过点C作BA延长线的垂线，即可画出△ABC的高CE；（2）根据含30度角的直角三角形可得CD＝BC＝2，结合（1）利用角平分线的性质，即可求出△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，CE即为所求；（2）∵∠ABD＝60°，BC平分∠ABD，∴∠EBC＝∠DBC＝30°，∵∠D＝90°，BC＝4．∴CD＝BC＝2，∵BC平分∠ABD，CE⊥AB，CD⊥BD，∴CE＝CD＝2，∵AB＝3，∴△ABC的面积＝AB•CE＝3×2＝3．故答案为：3．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质和勾股定理．14．（2022秋•西城区期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝50°，AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，MC＝BC．点E，点F分别在线段AD，AC上，CF＝AE，连接MF，BF，CE．（1）图中与MF相等的线段是CE；（2）当BF+CE取最小值时∠AFB＝95°．【分析】（1）先证明三角形全等，再由性质求解；（2）利用（1）的结论，转换为两点之间线段最短问题，再利用三角形是内角和求解．【解答】解：（1）∵AC＝BC，MC＝BC，∴AC＝MC，∵AD⊥BC于点D，MC⊥BC于点C，∴AD∥CM，∠MCB＝90°，∴∠MCA＝∠CAD＝40°，∵CF＝AE，∴△CMF≌△ACE（SAS），∴MF＝CE，故答案为：CE；（2）∵MF＝CE，∴BF+CE＝BF+MF，∴当MF和BF共线时，和最小，如下图，此时MB与AC交于点F′，∵MC＝BC，∠BCM＝90°，∴∠CMB＝45°，∴∠AF′B＝∠CF′M＝180°﹣∠CMB﹣∠MCA＝95°，故答案为：95．【点评】本题考查了最短路径问题，线段的转化是解题的关键．15．（2022秋•门头沟区期末）如图，为了测量某河道的宽度，小明设计了如下方案：（1）从B点出发沿与AB垂直的方向，走出一段距离并标注为点C；（2）继续沿此方向走到与BC相同的距离并标注为点D；（3）从点D出发沿与BD垂直的方向走出一段距离标注为点F；（4）在DF上找到了一点E能够通过点C看到点A．测量DE的长度即为该河道的宽度此方案用到了一个重要的两个三角形有关的数学知识是△EDC≌△ABC；这个数学知识成立的依据是ASA．【分析】由已知可以得到∠ABC＝∠BDE，又CD＝BC，∠ACB＝∠DCE，由此根据角边角即可判定△EDC≌△ABC，则ED＝AB．【解答】解：∵BF⊥AB，DE⊥BF，∴∠ABC＝∠BDE在△EDC和△ABC中，，∴△EDC≌△ABC（ASA）．∴ED＝AB故答案为：△EDC≌△ABC；ASA．【点评】本题考查了全等三角形的应用；需注意根据垂直定义得到的条件，以及隐含的对顶角相等，观察图形，找着隐含条件是十分重要的．三．解答题（共9小题）16．（2022秋•平谷区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，OA＝OB，求证：AP＝BP．【分析】证明△AOP≌△BOP（SAS），即可解决问题．【解答】证明：∵点P在∠AOB的平分线上，∴∠AOP＝∠BOP，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴AP＝BP．【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线定义，得到△AOP≌△BOP解题的关键．17．（2022秋•顺义区期末）已知：如图，AB＝DE，BC＝EF，AD＝CF．求证：∠B＝∠E．【分析】根据SSS即可判断△ABC≌△DEF，再利用全等三角形的性质证明即可．【解答】证明：∵AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠B＝∠E．【点评】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法．18．（2022秋•门头沟区期末）已知：如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BF＝EC．求证：△ABC≌△DEF．【分析】根据BF＝EC，可以得到BC＝EF，再根据AB∥DE，可以得到∠B＝∠E，然后根据SAS，即可证明△ABC≌△DEF．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答．19．（2022秋•西城区期末）如图，A，D两点在BC所在直线同侧，AB⊥AC，BD⊥CD，垂足分别为A，D．AC，BD的交点为E，AB＝DC．求证：BE＝CE．【分析】由AB⊥AC，BD⊥CD，得∠A＝∠D＝90°，即可根据全等三角形的判定定理“AAS”证明△ABE≌△DCE，则BE＝CE．【解答】证明：∵AB⊥AC，BD⊥CD，∴∠A＝∠D＝90°，在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS），∴BE＝CE．【点评】此题重点考查全等三角形的判定与性质，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明△ABE≌△DCE是解题的关键．20．（2022秋•密云区期末）已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB边的垂直平分线分别交AC于点D，交AB于点E．（1）求证：DE＝DC；（2）连接EC，若AB＝6，求△EBC的周长．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DB，求出∠A＝∠ABD＝30°，再根据角平分线的性质得到DE＝DC；（2）判定△EBC是等边三角形，即可求出周长．【解答】（1）证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵DE是AB边的垂直平分线，∴AD＝DB，∴∠A＝∠ABD＝30°，∴∠CBD＝60°﹣30°＝30°∴BD平分∠ABC，∵DE⊥AB，AC⊥BC，∴DE＝DC；（2）解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴，∵DE是AB边的垂直平分线，∴，∴BC＝BE，∵∠ABC＝60°，∴△EBC是等边三角形，∴△EBC的周长为9．【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握各定理是解题的关键．21．（2022秋•门头沟区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长．【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线性质求出PC＝PE，求出DP∥OA，根据平行线的性质求出∠PDE＝∠AOB＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出PE即可．【解答】解：过P作PE⊥OB于E，∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，∴PC＝PE，∠AOP＝∠BOP，∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO，∴∠AOP＝∠DPO，∴PD∥OA，∴∠PDE＝∠AOB，∵∠AOB＝30°，∴∠PDE＝30°，∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝DP＝1，∴PC＝1．【点评】本题考查了角平分线的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能求出∠PDE＝30°是解此题的关键．22．（2022秋•东城区期末）如图，已知AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE．求证：BC＝DE．【分析】先求出∠BAC＝∠DAE，再利用“边角边”证明△ABC和△ADE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴BC＝DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．23．（2022秋•顺义区期末）数学课上，同学们兴致勃勃地探讨着利用不同画图工具画角的平分线的方法．小惠说：如图，我用两把完全相同的直尺可以作出角的平分线．画法如下：（1）第一把直尺按图1所示放置，使一条边和射线OB对齐；（2）第二把直尺按图2所示放置，使一条边和射线OA对齐；（3）如图3，两把直尺的另一条边相交于点P，作射线OP．射线OP是∠AOB的平分线．小旭说：我用两个直角三角板可以画角的平分线．小宇说：只用一把刻度尺就可以画角的平分线．…请你也参与探讨，解决以下问题：（1）小惠的做法正确吗？如果正确，请说明依据，如果不正确，请说明理由；（2）请你参考小旭或小宇的思路，或根据自己的思路，画出图4中∠CDE的平分线，并简述画图的过程．【分析】（1）利用角平分线定理的逆定理可判定小明作图正确，然后利用全等三角形的性质可画出∠AOB的平分线；（2）用两个直角三角板画角的平分线即可．【解答】解：（1）小惠的做法正确，理由如下：如图3，过点P作PH⊥OB于H，∵PG⊥OA，PG＝PH，∴OP平分∠AOB，（2）如图4，借用两把完全相同的直角三角板就可以作出一个角的平分线，作法如图4：先在边DC，DE上分别量取DM＝DN，然后如图移动放置两块三角板，使两块三角板的直角顶点分别与M、N重合，两块三角板的一条直角边分别与DC、DEB边重合，另一直角边相交于角的内部一点G．过点G作射线DG即可．【点评】本题考查了角平分线定义和全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，题目比较好，难度适中．24．（2022秋•西城区期末）在△ABC中，AB＝AC（AB＜BC），在BC上截取BD＝AB，连接AD．在△ABC的外部作∠ABE＝∠DAC，且BE交DA的延长线于点E．（1）作图与探究：①小明画出图1并猜想AE＝AC．同学小亮说“要让你这个结论成立，需要增加条件：∠ABC＝36°．”请写出小亮所说的条件；②小明重新画出图2并猜想△A