1.1.2　空间向量的数量积运算 导学案正文

1.1.2空间向量的数量积运算【学习目标】1.结合立体几何与空间向量的特征,知道投影向量的概念.2.类比平面向量,能进行空间向量的数量积运算.3.类比平面向量并借助空间图形,知道空间向量的有关运算律,能运用数量积解决空间中的垂直、夹角及距离问题.◆知识点一空间向量的夹角1.概念:如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则∠AOB叫作向量a,b的,记作.

2.夹角的取值范围:a与b的夹角的取值范围是,其中当<a,b>=0时,a与b方向;当<a,b>=π时,a与b方向;当<a,b>=π2时,a与b.反之,若a∥b,则<a,b>=0或π;若a⊥b,则<a,b>=π【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量AB与CD的夹角等于向量AB与DC的夹角. ()(2)若向量AB与CD的夹角为α,则直线AB与CD所成的角也为α. ()◆知识点二数量积的相关概念及性质1.概念:已知两个非零向量a,b,则叫作a,b的数量积,记作a·b,即a·b=.

特别地,零向量与任意向量的数量积为0.2.空间向量数量积的性质(1)a⊥b⇔a·b=.

(2)a2=a·a=|a||a|cos<a,a>=.

(3)cos<a,b>=.

3.投影向量的概念作法图形表示符号表示向量a在向量b上的投影向量将向量a,b(直线l)平移到同一个平面α内,利用平面上向量的投影,得到与向量b(直线l的方向向量)共线的向量cc=

向量a在直线l上的投影向量向量a在平面β上的投影向量分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线,垂足分别为A',B',得到向量AA注:向量a,A'B'的夹角就是向量a所在直线与平面4.空间向量数量积的运算律(1)(λa)·b=,λ∈R.

(2)a·b=(交换律).

(3)(a+b)·c=(分配律).

【诊断分析】判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于向量a,b,若a·b=0,则一定有a=0或b=0. ()(2)对于非零向量b,由a·b=b·c,可得a=c. ()(3)若a·b<0,则<a,b>是钝角. ()(4)已知e1,e2是夹角为120°的两个单位向量,则向量e1在向量e2上的投影向量为-12e2. (◆探究点一空间向量的数量积运算例1如图所示,在棱长为1的正四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求:(1)EF·BA;(2)EF·BD;(3)EF·DC;(4)AB·CD.变式(1)(多选题)设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则有 ()A.AB·C1A=-a2 B.AB·A1CC.BC·A1D=a2 D.AB·C(2)正四面体P-ABC的棱长为2,点D是△PAB的重心,则PD·BC=.

[素养小结](1)空间向量数量积运算的两种方法:①已知a,b的模及a与b的夹角,直接代入数量积公式计算.②如果要求的是关于a与b的多项式形式的数量积,可以先利用数量积的运算律将多项式展开,再利用a·a=|a|2及数量积公式进行计算.(2)在几何体中求空间向量数量积的步骤:①首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.②利用向量的运算律将数量积展开,转化为已知模和夹角的向量的数量积.③代入a·b=|a||b|cos<a,b>求解.◆探究点二利用向量的数量积解决夹角问题例2如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中.(1)求BC1与CA(2)求异面直线BC1与CA所成角的大小.变式(1)已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°(2)已知BB1⊥平面ABC,且△ABC是以AC为底边的等腰直角三角形,▱ABB1A1和▱BB1C1C的对角线都分别相互垂直,求异面直线BA1与AC所成角的大小.[素养小结](1)求两个空间向量的夹角的两种方法:①结合图形,平移向量,利用空间向量的夹角定义来求,但要注意向量夹角的范围.②先求a·b,再利用公式cos<a,b>=a·b|a||b|求cos<a(2)用向量法求两直线的夹角:①取向量:在两直线上分别取方向向量a,b;②运算:求cos<a,b>=a·③结论:设两直线的夹角为θ,则cosθ=|cos<a,b>|,进而得到θ.◆探究点三利用向量的数量积解决长度问题例3已知线段AB在平面α内,线段AC⊥α,线段BD⊥AB,且与α所成的角是30°,如果AB=a,AC=BD=b,求C,D间的距离.变式(1)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都是60°,若M是PC的中点,则|BM|= ()A.62 B.C.34 D.(2)如图,在平行四边形ABCD中,AB=AC=1,∠ACD=90°,沿着它的对角线AC将△ACD折起,使AB与CD所成的角为60°,求此时B,D间的距离.[素养小结]求两点间的距离或线段的长度的步骤:(1)将两点间的连线(或此线段)用向量表示;(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量;(3)利用|a|=a2,计算出|a|,即得所求距离或长度◆探究点四利用空间向量的数量积判断或证明垂直问题例4如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,CD'与DC'相交于点O,求证:(1)AO⊥CD';(2)AC'⊥平面B'CD'.变式如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABC