1.4.2第1课时　用空间向量研究距离问题 导学案答案

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题第1课时用空间向量研究距离问题【课前预习】知识点1.|AP|2.AP·n诊断分析(1)×(2)√(3)√【课中探究】探究点一例1(1)C(2)D[解析](1)连接PA,PA=(-2,-6,2),PA·n=6+8=14,|n|=9+16=5,|PA|=4+36+4=211,所以P到直线l的距离为|PA|2-PA·n|n|(2)连接DE,如图,以A为原点,建立空间直角坐标系,则P(0,0,1),D(0,1,0),E1,12,0,所以PD=(0,1,-1),DE=1,-12,0,所以|DE|=52,|PD|=2,DE·PD|PD|=-1变式解:(1)证明:如图,作PD∥AC,交BC于点D,则由A1Q=AP,得BP=QC1,∵PD∥AC,∴PDAC=BPAB,即PD=BP=QC1,∴PD∥QC1且PD=QC1,连接DC∴四边形C1QPD为平行四边形,∴PQ∥C1D.∵PQ⊄平面BCC1B1,且C1D⊂平面BCC1B1,∴PQ∥平面BCC1B1.(2)取AC的中点O,连接A1O,BO,∵AO=12AC=1,AA1=2,∠A1AO=60°,∴根据余弦定理得A1O2=AA12+AO2-2AA1·AO·cos60°=4+1-2×2×1×12=3,∴A则A1O⊥AC,又平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC,∴A1O⊥平面ABC.∵△ABC是等边三角形,∴BO⊥AC,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),B(3,0,0),A1(0,0,3),P32,-12,0,Q(0,1,3),B∴QP=32,-32,-3∴cos<QP,QB1>=QP·QB1|QP|·|QB1|=326×3=24,∴探究点二例2解:(1)证明:以D为原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,2),F(1,0,0),B(2,2,0),E(0,1,1),D(0,0,0),所以FP=(-1,0,2),FB=(1,2,0),DE=(0,1,1),所以DE=12FP+又因为DE⊄平面PFB,所以DE∥平面PFB.(2)由(1)可知,DE∥平面PFB,所以点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离.设平面PFB的法向量为n=(x,y,z),则n·FB=0,n·FP=0,即x因为FD=(-1,0,0),所以点D到平面PFB的距离d=|FD·n||n|=26=6变式解:(1)证明:因为PA⊥底面ABCD,CD⊂底面ABCD,所以PA⊥CD,又AD⊥CD,PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,又AF⊂平面PAD,所以AF⊥CD.因为PA=AD,点F是棱PD的中点,所以AF⊥PD,又PD∩CD=D,PD,CD⊂平面PCD,所以AF⊥平面PCD,又EF⊂平面PCD,所以AF⊥EF.(2)由题意知AB,AD,AP两两垂直,如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(3,0,0),E(1,3,0),F0,3故AB=(3,0,0),AE=(1,3,0),AF=0,设平面AEF的法向量为n=(x,y,z),则n·AE=x+3y=0,所以n=(3,-1,1)是平面AEF的一个法向量,所以点B到平面AEF的距离为|n·AB||拓展解:因为平面ADF⊥平面ABCD,平面ADF∩平面ABCD=AD,DC⊥AD,DC⊂平面ABCD,所以DC⊥平面ADF,又因为DF⊂平面ADF,所以DC⊥DF,又因为AD⊥DF,所以DA,DC,DF两两垂直,以D为原点,DA,DC,DF所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(6,0,0),C(0,6,0),F(0,0,6),E(6,6,6),所以AC=(-6,6,0),AF=(-6,0,6),AE=(0,6,6).设平面ACF的法向量为n=(x,y,z),则n所以-6x令x=1,则y=1,z=1,所以n=(1,1,1)是平面ACF的一个法向量.设点E到平面ACF的距离为d,则d=AE·n|n|=123=43,所以点E探究点三例3解:(1)因为OA⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,所以AB,AD,AO两两垂直.以点A为坐标原点,AB,AD,AO所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则C(2,2,0),D(0,2,0),O(0,0,2),N(2,1,0).因为M,R分别为OA,AD的中点,所以MR∥OD,又因为MR⊄平面OCD,OD⊂平面OCD,所以MR∥平面OCD.因为AD∥BC且AD=BC,R,N分别为AD,BC的中点,所以CN∥RD且CN=RD,所以四边形CDRN为平行四边形,所以RN∥CD.因为RN⊄平面OCD,CD⊂平面OCD,所以RN∥平面OCD.因为MR∩RN=R,MR,RN⊂平面MNR,所以平面MNR∥平面OCD.因为MN⊂平面MNR,所以MN∥平面OCD,所以直线MN到平面OCD的距离等于点N到平面OCD的距离.设平面OCD的法向量为n=(x,y,z),又DC=(2,0,0),DO=(0,-2,2),则n·DC=2x=0,又NC=(0,1,0),所以直线MN到平面OCD的距离d1=|NC·n||(2)由(1)知平面MNR∥平面OCD,所以平面MNR与平面OCD的距离d2=d1=|NC·n||变式解:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C(0,2,0),所以CB1=(2,0,2),DA1=(2,0,2),DB=(2,2,0),所以CB1∥DA1,又CB1⊄平面A1BD,DA1⊂平面A1BD,所以CB1∥平面A1BD,所以直线B1C到平面A1BD的距离等于点B1到平面A1BD的距离.设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),则n·DA1=2x+2z=0,又A1B所以点B1到平面A1BD的距离d=|A1B1·n||n|=23=23(2)由(1)知B1C∥平面A1BD,同理可得D1B